Geometryczna Teoria Grup

Listy zadań:   lista 1   lista 1+   lista 2   lista 2+   lista 3   lista 4   lista 5   lista 6

Geometryczna teoria grup to żywo rozwijający się dział matematyki badający nieskończone grupy (głównie dyskretne) metodami geometrycznymi: albo traktując te grupy jak odpowiednio rozumiane obiekty geometryczne, albo jako grupy symetrii rozmaitych geometrycznych przestrzeni i struktur. Badania w tej dziedzinie są silnie reprezentowane w IMUWr - w zakładzie geometrii. Celem wykładu będzie zapoznanie słuchaczy z podstawowymi pojęciami i metodami tej dziedziny, a w szczególności z niektórymi rezultatami osiągniętymi przez nasz wrocławski zespół.

Orientacyjny plan wykladu:
1. Graf Cayleya, metryka słów, quasi-izometrie, niezmienniki quasi-izometrii: wzrost w grupie, wymiar asymptotyczny, teoria końców, dystorsja podgrup, diagramy van Kampena i filling invariants (w tym nierówności izoperymetryczne).
2. Przestrzenie geodezyjne, działania geometryczne grup, lemat Milnora-Svarca.
3. Grupy małych skreśleń.
4. Przestrzenie i grupy o niedodatniej krzywiźnie (CAT(0)), kompleksy kawałkami euklidesowe i kawałkami hiperboliczne, brzegi w nieskończoności.
5. Grupy hiperboliczne w sensie Gromova, brzeg Gromova.

Wymagania wstępne:
1. elementy kombinatorycznej teorii grup - grupy wolne, prezentacje grup, produkty wolne z amalgamacją;
2. elementy topologii algebraicznej - grupy podstawowe, nakrycia.

Pomocna literatura:
1. Clara Loh, "Geometric Group Theory. An Introduction", rozdziały 3-8, plik pdf
2. B. Bowditch, "A course on geometric group theory",   plik pdf
3. N. Touikan, „An introduction to combinatorial and geometric group theory”, rozdziały 2-3,   plik pdf
4. M. Hull, „Geometric group theory. Lecture Notes”, rozdziały 1-4,   plik pdf

Świetny artykuł przeglądowy, zasadniczo bez dowodów (z odsyłaczami do dowodów w literaturze):
W. Lueck, "Survey on Geometric Group Theory", rozdziały 1-8, plik pdf

Trudny ale dobry podręcznik, traktujący geometryczną teorię grup z nieco wyższego punktu widzenia:
C. Drutu, M. Kapovich, "Geometric Group Theory", plik pdf

Programowy obszerny artykuł/esej M. Gromova (uważanego za twórcę geometrycznej teorii grup jako osobnego działu matematyki) napisany około roku 1990:
M. Gromov, "Asymptotic invariants of infinite groups", plik pdf

Wizjonerski esej o geometrycznej teorii grup napisany przez ważnego reprezentanta tej dziedziny badawczej:
M. Bridson, "Geometric Group Theory, non-positive curvature and recognition problems", plik pdf


Notatki wykladow:
Wyklad 1: metryki słów, grafy Cayleya, quasi-izometrie   pdf
Wyklad 2: końce grup i przestrzeni   pdf
Wyklad 2+: grupy o dwóch końcach   pdf
Wyklad 3: wzrost w grupach skończenie generowalnych   pdf
Wyklad 4: wymiar asymptotyczny i grupy hiperboliczne   pdf
Wyklad 5: końce a brzeg grupy hiperbolicznej   pdf
Wyklad 6: brzeg Gromova grupy hiperbolicznej o nieskończenie wielu końcach   pdf
Wyklad 7: quasi-izometryczna niezmienniczość hiperboliczności   pdf