Plan zajęć

Najbliższe konsultacje oraz egzamin poprawkowy z równań różniczkowych odbędzie się w pok. 308 dnia 7 IX - godzina zostanie ustalona w późniejszym terminie. Uprzejmie proszę o zgłoszenie i potwierdzenie udziału e-mailowo.

Dydaktyka

Równania różniczkowe A1.

Egzamin z równań różniczkowych A1: 21 VI 14:00 HS.

Lista numer 1.

Lista numer 2.

Lista numer 3.

Lista numer 4.

Lista numer 5.

Lista numer 6.

Lista numer 7.

Lista numer 8.

Lista numer 9.

Lista numer 10.

Lista numer 11.

Lista numer 12.

Lista numer 13.

Lista numer 14.

Lista numer 15.

 

Programowanie matematyczne i optymalizacja.

Zadanie 1. Oblicz inf/min funkcji $f(x,y)=xy$ oraz $f(x,y)=x^2+y^2$ na zbiorach $[-1,1]^2$ oraz $\mathbb{R}^2$.

Użyj wolphramalpha.com do wizualizacji.

Zadanie 2. Wyznaczyć min i max funkcji $f(x,y)=3x-y$ na zbiorze $$\{(x,y)\in \mathbb{R}_+^2:x+y\le 8, y-x\le 1, x-2y\le 2\}.$$ Zastosuj metodę bezpośrednią oraz algorytm sympleks.

Zadanie 3. Wyznaczyć najkrótszą krzywą łączącą punkty $(0,0)$ oraz $(1,1)$ minimalizując po wykresach funkcji $u\in C^1$ funkcjonał $$J(u)=\int_0^1 \sqrt{1+u'(x)^2} dx.$$ Wsk. Dokonaj zamiany zmiennych wykorzystując intuicyjne rozwiązanie.

Zadanie 4. Obliczyć wartość funkcjonału $$J(u)=\int_0^\pi \sqrt{1+u'(x)^2} dx$$ dla funkcji $u_n(x)=\frac{1}{n}\sin(nx)$. Zminimalizuj funkcjonał $J$ po funkcjach klasy $C^1$ takich, że $u(0)=u(\pi)=0$.

Zadanie 5. Zminimalizować wartość funkcjonału $$J(u,v)=\int_0^1 g(u(x),v(x))\sqrt{u'(x)^2+v'(x)^2} dx$$ dla funkcji $g(u,v)=a, v\ge 0, g(u,v)=b, v<0$ oraz $(u(0),v(0))=A, (u(1),v(1))=B$, gdzie $v(0)>0>v(1)$. Wsk. Rozważyć układ dwóch równań Eulera-Lagrange'a względem funkcji $u$ oraz $v$.

Zapoznać się z Kot.pdf oraz One.pdf.

Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru $a$ i $p$ funkcjonał $$J(u)=\int_0^1 u'(x)^2+au(x)^p dx$$ jest dobrze określony; wypukły; koercytywny; ciągły; różniczkowalny na: $H^1$ lub $C^1$. Kiedy posiada minimum? Kiedy posiada strukturę przełęczy górskiej?

Zadanie 7. Przeanalizuj następujące przykłady ilustrujące twierdzenie o przełęczy górskiej $$f(x,y)=x^2-y^2,\; f(x,y)=xy,\; f(x,y)=x^4+y^4-4xy,\; f(x,y)=(x^2-y^2-a)e^{-x^2-y^2}\,.$$

Zapoznać się z mpt.pdf, eke.pdf, def.pdf, var.pdf, kol.pdf, pas.pdf oraz maw.pdf.

Zadanie 8. Przeanalizuj następujący przykład "piekielnych wrót" porównując z twierdzeniem o przełęczy górskiej w dwóch wersjach: Couranta i Ambrosettiego-Prodiego $$f(x,y)=(y-\sin(1/x))^2x^4.$$

Zadanie 9. Wstęp do powierzchni minimalnych w obrazkach.

Publikacje

Konferencje