Plan zajęć

Najbliższe konsultacje: poniedziałek 12:00 zapraszam - pok. 308.

Dydaktyka

Równania różniczkowe A1.

Lista numer 1.

Lista numer 2.

Lista numer 3.

Lista numer 4.

Lista numer 3.

Lista numer 5.

Programowanie matematyczne i optymalizacja.

Zadanie 1. Oblicz inf/min funkcji $f(x,y)=xy$ oraz $f(x,y)=x^2+y^2$ na zbiorach $[-1,1]^2$ oraz $\mathbb{R}^2$.

Użyj wolphramalpha.com do wizualizacji.

Zadanie 2. Wyznaczyć min i max funkcji $f(x,y)=3x-y$ na zbiorze $$\{(x,y)\in \mathbb{R}_+^2:x+y\le 8, y-x\le 1, x-2y\le 2\}.$$ Zastosuj metodę bezpośrednią oraz algorytm sympleks.

Zadanie 3. Wyznaczyć najkrótszą krzywą łączącą punkty $(0,0)$ oraz $(1,1)$ minimalizując po wykresach funkcji $u\in C^1$ funkcjonał $$J(u)=\int_0^1 \sqrt{1+u'(x)^2} dx.$$ Wsk. Dokonaj zamiany zmiennych wykorzystując intuicyjne rozwiązanie.

Zadanie 4. Obliczyć wartość funkcjonału $$J(u)=\int_0^\pi \sqrt{1+u'(x)^2} dx$$ dla funkcji $u_n(x)=\frac{1}{n}\sin(nx)$. Zminimalizuj funkcjonał $J$ po funkcjach klasy $C^1$ takich, że $u(0)=u(\pi)=0$.

Zadanie 5. Zminimalizować wartość funkcjonału $$J(u,v)=\int_0^1 g(u(x),v(x))\sqrt{u'(x)^2+v'(x)^2} dx$$ dla funkcji $g(u,v)=a, v\ge 0, g(u,v)=b, v<0$ oraz $(u(0),v(0))=A, (u(1),v(1))=B$, gdzie $v(0)>0>v(1)$. Wsk. Rozważyć układ dwóch równań Eulera-Lagrange'a względem funkcji $u$ oraz $v$.

Zapoznać się z Kot.pdf oraz One.pdf.

Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru $a$ i $p$ funkcjonał $$J(u)=\int_0^1 u'(x)^2+au(x)^p dx$$ jest dobrze określony; wypukły; koercytywny; ciągły; różniczkowalny na: $H^1$ lub $C^1$. Kiedy posiada minimum? Kiedy posiada strukturę przełęczy górskiej?

Zadanie 7. Przeanalizuj następujące przykłady ilustrujące twierdzenie o przełęczy górskiej $$f(x,y)=x^2-y^2,\; f(x,y)=xy,\; f(x,y)=x^4+y^4-4xy,\; f(x,y)=(x^2-y^2-a)e^{-x^2-y^2}\,.$$

Zapoznać się z mpt.pdf, eke.pdf, def.pdf, var.pdf, kol.pdf, pas.pdf oraz maw.pdf.

Zadanie 8. Przeanalizuj następujący przykład "piekielnych wrót" porównując z twierdzeniem o przełęczy górskiej w dwóch wersjach: Couranta i Ambrosettiego-Prodiego $$f(x,y)=(y-\sin(1/x))^2x^4.$$

Zadanie 9. Wstęp do powierzchni minimalnych w obrazkach.

Publikacje

Konferencje