Analiza-1

prof. dr hab. Hanna Marcinkowska

Analiza matematyczna
(funkcje jednej zmiennej)

Książka w jednym pliku PDF (7,3 MB)

SPIS RZECZY

• Przedmowa . . . . . . . . . . . . . 9
  • Plik PDF
• Rozdział 1. Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . 11
  • 1.1. Aksjomatyczne wprowadzenie zbioru liczb rzeczywistych . . . 11
    • 1.1.1 Aksjomaty zbioru liczb rzeczywistych (12)
    • 1.1.2. Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej (15).
    • 1.1.3. Interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych (16).
    • 1.1.4. Przedziały na osi liczbowej (17).
    • 1.1.5. Liczby naturalne (18).
    • 1.1.6. Zasada indukcji zupełnej (18)
    • 1.1.7. Nierówność Bernouillego (19).
    • 1.1.8. Dwumian Newtona (20).
    • 1.1.9. Liczby całkowite, wymierne, niewymierne (22).
    • Zadania (24)
    • Plik PDF
  • 1.2. Aksjomat kresu i jego konsekwencje . . . . . . . . . . 28
    • 1.2.1. Zbiory ograniczone. Kres górny i dolny zbioru (28).
    • 1.2.2. Aksjomat kresu (30).
    • 1.2.3. Własności kresu górnego i dolnego zbioru (31).
    • 1.2.4. Zasada Dedekinda (33).
    • 1.2.5. Funkcja część całkowita (entier) (34).
    • 1.2.6. Liniowa gęstość zbioru liczb wymiernych (35).
    • 1.2.7. Istnienie pierwiastka arytmetycznego z liczby dodatniej (36).
    • Zadania (38)
    • Plik PDF
• Rozdział 2. Ciągi nieskończone . . . . . . . . . . 40
  • 2.1. Definicja i podstawowe własności ciągów . . . . . . 40
    • 2.1.1. Ciąg nieskończny jako funkcja. (40)
    • 2.1.2. Granica ciągu (41).
    • 2.1.3. Ciąg ograniczony (43).
    • 2.1.4. Działania na granicach (44).
    • 2.1.5. Ciągi rozbieżne do nieskończoności (47).
    • 2.1.6. Przykłady obliczania granic ciągów (48).
    • 2.1.7. Przechodzenie do granicy w nierównościach (53).
    • 2.1.8. Prosta rozszerzona $\bfR_{\infty$ i definicja otoczeniowa granicy ciągu (56).
    • Zadania (57)
    • Plik PDF
  • 2.2. Dalsze własności ciągów . . . . . . . . . . . . 62
    • 2.2.1. Ciągi monotoniczne i ciągi ograniczone (62).
    • 2.2.2. Zstępujące ciągi przedziałów (62).
    • 2.2.3. Ciągi wybrane, podciągi i twierdzenie Bolzano-Weierstrassa (64).
    • 2.2.4. Twierdzenie o ciągu monotonicznym (68).
    • 2.2.5. Liczba e (68).
    • 2.2.6. Warunek Cauchy'ego (71).
    • 2.2.7*. Ułamki łańcuchowe (64).
    • 2.2.8*. Ciąg $a_n = \{nx\$ (81).
    • 2.2.9*. Zastosowanie ułamków łańcuchowych do aproksymacji (85).
    • 2.2.10. Twierdzenie Stolza (88).
    • 2.2.11. Granica górna i dolna ciągu (93).
    • Zadania (100)
    • Plik PDF
• Rozdział 3. Funkcje zmiennej rzeczywistej . . . . . . . . . . 107
  • 3.1. Funkcje elementarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
    • 3.1.1. Przykłady funkcji (107).
    • 3.1.2. Wielomiany (109).
    • 3.1.3. Funkcje wymierne (109).
    • 3.1.4. Funkcje monotoniczne i funkcja odwrotna (109).
    • 3.1.5. Funkcja $\root{n\of{x$ (111).
    • 3.1.6. Potęga o wykładniku wymiernym (112).
    • 3.1.7. Potęga o dowolnym wykładniku rzeczywistym (118).
    • 3.1.8. Funkcje: wykładnicza, logarytm i potęgowa (124).
    • 3.1.9. Funkcje trygonometryczne (125).
    • 3.1.10. Funkcje odwrotne do trygonometrycznych (127).
    • 3.1.11. Funkcja złożona (superpozycja) (127).
    • Zadania (129)
    • Plik PDF
  • 3.2. Granica funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
    • 3.2.1. Definicja granicy funkcji (131).
    • 3.2.2. Sąsiedztwo punktu (135).
    • 3.2.3. Działania na granicach (137).
    • 3.2.4. Definicja Cauchy'ego granicy funkcji (139).
    • 3.2.5. Granica jednostronna funkcji (143).
    • 3.2.6. Twierdzenie o zbieżności monotonicznej (149).
    • 3.2.7. Warunek Cauchy'ego istnienia granicy (151).
    • Zadania (155)
    • Plik PDF
  • 3.3. Funkcje ciągłe i ich własności . . . . . . . . . . 159
    • 3.3.1. Ciągłość funkcji w punkcie (159).
    • 3.3.2. Ciągłość jednostronna (160).
    • 3.3.3. Ciągłość funkcji w przedziale (162).
    • 3.3.4. Działania na funkcjach ciągłych i ciągłość funkcji elementarnych (163).
    • 3.3.5. Jednostajna ciągłość funkcji (167).
    • 3.3.6. Funkcje ograniczone, kres górny i dolny funkcji (171).
    • 3.3.7. Własność Darboux (174).
    • 3.3.8. Ciągłość funkcji odwrotnej (178).
    • 3.3.9. Wykresy funkcji: wykładniczej, logarytmicznej i potęgowej (183).
    • 3.3.10. Własności kresu górnego i dolnego funkcji (185).
    • Zadania (188)
    • Plik PDF
  • 3.4. Pochodna funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
    • 3.4.1. Pochodna i jej interpretacja geometryczna (194).
    • 3.4.2. Różniczkowalność funkcji (199).
    • 3.4.3. Działania na funkcjach różniczkowalnych (201).
    • 3.4.4. Inne oznaczenia pochodnej (205).
    • 3.4.5. Pochodne funkcji elementarnych (206).
    • 3.4.6. Ekstrema funkcji (215).
    • 3.4.7. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego (218).
    • 3.4.8. Znak pochodnej a monotoniczność funkcji (226).
    • 3.4.9. Nieoznaczoności i reguły de l'Hospitala (231).
    • 3.4.10. Symbole Landaua (241).
    • 3.4.11. Zastosowanie pochodnej do badania ekstremów funkcji (242).
    • Zadania (246)
    • Plik PDF
  • 3.5. Pochodne wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . 259
    • 3.5.1. Pochodna rzędu $k$ i wzór Leibniza (259).
    • 3.5.2. Wzór Taylora i wzór Maclaurina (260).
    • 3.5.3. Szczególne przypadki wzoru Taylora (262).
    • 3.5.4. Ekstrema i punkty przegięcia (267)
    • 3.5.5. Funkcje hiperboliczne (273).
    • 3.5.6. Asymptoty wykresu funkcji (277).
    • 3.5.7. Badanie przebiegu funkcji (281).
    • 3.5.8*. Przybliżone rozwiązywanie równań - metoda siecznych (regula falsi) (287).
    • 3.5.9*. Przybliżone rozwiązywanie równań - metoda stycznych (Newtona) (290).
    • 3.5.10*. Funkcje wypukłe (293).
    • 3.5.11*. Funkcje ściśle wypukłe (302).
    • Zadania (303)
    • Plik PDF
• Rozdział 4. Szeregi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
  • 4.1. Podstawowe własności szeregów . . . . . . . . . . . . . 313
    • 4.1.1. Szereg nieskończony i jego suma (313).
    • 4.1.2. Niektóre działania na szeregach (316).
    • 4.1.3. Warunek Cauchy'ego (319).
    • 4.1.4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej jako szereg (322).
    • 4.1.5*. Rozwinięcie liczby naturalnej przy dowolnej podstawie (325).
    • 4.1.6*. Rozwinięcie liczby rzeczywistej dodatniej przy dowolnej podstawie (328).
    • 4.1.7*. Rozwinięcia liczb wymiernych (335).
    • Zadania (342)
    • Plik PDF
  • 4.2. Szeregi o wyrazach dodatnich . . . . . . . . . . . . . . 347
    • Zadania (355)
    • Plik PDF
  • 4.3. Szeregi o wyrazach dowolnego znaku . . . . . . . . . . . 365
    • 4.3.1. Przekształcenie Abela (365).
    • 4.3.2. Kryterium Dirichleta i twierdzenie Leibniza o szeregach naprzemiennych (366).
    • 4.3.3. Prawo łączności dla szeregów nieskończonych (369).
    • 4.3.4. Prawo przemienności dla szeregów nieskończonych (371).
    • 4.3.5. Mnożenie szeregów nieskończonych (377).
    • Zadania (382)
    • Plik PDF
• Rozdział 5. Rachunek całkowy . . . . . . . . . . . . . . . 387
  • 5.1. Całka funkcji ciągłej . . . . . . . . . . . . . . . . 387
    • 5.1.1. Obliczanie pola pod wykresem funkcji nieujemnej (387).
    • 5.1.2. Całka funkcji ciągłej w przedziale domkniętym (394).
    • 5.1.3. Własności całki oznaczonej (397).
    • 5.1.4. Zasadnicze twierdzenie rachunku całkowego (401).
    • Zadania (408)
    • Plik PDF
  • 5.2. Całkowanie efektywne . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
    • 5.2.1. Całka nieoznaczona (415).
    • 5.2.2 Wzory rachunkowe dla całek nieoznaczonych (415).
    • 5.2.3. Przykłady obliczania całek nieoznaczonych (418).
    • 5.2.4. Wzory rekurencyjne (425).
    • 5.2.5 Całkowanie ułamków prostych (429).
    • 5.2.6. Całkowanie funkcji wymiernych (431).
    • 5.2.7. Całkowanie pewnych wyrażeń trygonometrycznych (439).
    • 5.2.8. Całkowanie wyrażeń niewymiernych (442).
    • 5.2.9. Jeszcze kilka całek (446).
    • 5.2.10. Całki niewyrażalne przez funkcje elementarne (447).
    • Zadania (448)
    • Plik PDF
  • 5.3. Dalsze własności całki oznaczonej funkcji ciągłej . . 452
    • 5.3.1. Wzory rachunkowe dla całek oznaczonych (452).
    • 5.3.2. Wzory rekurencyjne (456).
    • 5.3.3. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej - pole obszaru płaskiego (458).
    • 5.3.4. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej - długość krzywej płaskiej (460).
    • 5.3.5. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej - objętość i powierzchnia boczna bryły obrotowej (463).
    • 5.3.6. Zastosowania fizyczne całki oznaczonej - momenty statyczne i środek masy (470).
    • 5.3.7. Twierdzenia o wartości średniej rachunku całkowego (477).
    • 5.3.8*. Całkowanie przybliżone (480).
    • 5.3.9*. Oszacowanie błędu całkowania przybliżonego (485).
    • Zadania (488)
    • Plik PDF
  • 5.4. Całka niewłaściwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
    • 5.4.1. Obliczanie pola pod wykresem funkcji nieujemnej i nieograniczonej (495).
    • 5.4.2. Całka niewłaściwa po przedziale ograniczonym (498).
    • 5.4.3. Warunki zapewniające zbieżność całki niewłaściwej (502).
    • 5.4.4. Całka niewłaściwa po przedziale nieograniczonym (504).
    • 5.4.5. Związek między zbieżnością całki niewłaściwej a zbieżnością szeregu nieskończonego (509).
    • 5.4.6. Pewne specjalne całki niewłaściwe (512).
    • Zadania (519)
    • Plik PDF
  • 5.5*. Całka Riemanna funkcji ograniczonej . . . . . . . . . . 523
    • 5.5.1. Całki górna i dolna Darboux (523).
    • 5.5.2. Własności całek Darboux (525).
    • 5.5.3. Całka Riemanna (529).
    • 5.5.4. Klasy funkcji całkowalnych (531).
    • 5.5.5. Całka Riemanna jako granica sum przybliżonych (537).
    • 5.5.6. Własności rachunkowe całki Riemanna(538).
    • Zadania (544)
    • Plik PDF
  • 5.6*. Funkcje o wahaniu skończonym . . . . . . . . . . . . . . 547
    • 5.6.1. Wahanie funkcji (547).
    • 5.6.2. Własności wahania funkcji (553).
    • 5.6.3. Rozkład kanoniczny Jordana (557).
    • 5.6.4. Własności rachunkowe funkcji o wahaniu skończonym (558).
    • Zadania (560)
    • Plik PDF
  • 5.7*. Całka Riemanna - Stieltjesa . . . . . . . . . . . . 565
    • 5.7.1. Całki górna i dolna Darboux - Stieltjesa (565).
    • 5.7.2. Całka Riemanna - Stieltjesa względem funkcji rosnącej (566).
    • 5.7.3. Całka Riemanna - Stieltjesa względem funkcji o wahaniu skończonym (568).
    • 5.7.4. Własności rachunkowe całki Riemanna - Stieltjesa (573).
    • 5.7.5. Sprowadzanie całki Riemanna - Stieltjesa do całki Riemanna (576).
    • 5.7.6. Monotoniczność całki Riemanna - Stieltjesa (583).
    • Zadania (586)
    • Plik PDF
  • 5.8. Całki zależne od parametru . . . . . . . . . . . . . .593
    • 5.8.1. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych (593).
    • 5.8.2. Ciągłość całki oznaczonej względem parametru (597).
    • 5.8.3. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych (600).
    • 5.8.4. Różniczkowanie całki względem parametru (604).
    • 5.8.5. Całkowanie całki względem parametru (609).
    • Zadania (611)
    • Plik PDF
• Rozdział 6. Ciągi i szeregi funkcyjne . . . . . . . . . . 615
  • 6.1. Ogólne własności ciągów i szeregów funkcyjnych . . . 615
    • 6.1.1. Zbieżność punktowa i zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego (615).
    • 6.1.2. Ciągłość granicy (619).
    • 6.1.3. Jednostajny warunek Cauchy'ego (623).
    • 6.1.4. Przejście do granicy pod znakiem całki (624).
    • 6.1.5. Różniczkowanie ciągów funkcyjnych (626).
    • 6.1.6. Twierdzenie Diniego (628).
    • 6.1.7*. Przejście do granicy w całce Riemanna - Stieltjesa (630).
    • 6.1.8*. Przejście do granicy w całce Riemanna funkcji ograniczonej (634).
    • 6.1.9. Szeregi funkcyjne - zbieżność punktowa i jednostajna (635).
    • 6.1.10. Kryteria jednostajnej zbieżności szeregów funkcyjnych (637).
    • Zadania (642)
    • Plik PDF
  • 6.2. Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
    • 6.2.1. Zbieżność szeregu potęgowego (651).
    • 6.2.2. Regularność sumy szeregu potęgowego (656).
    • 6.2.3. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy (660).
    • 6.2.4. Rozwinięcia w szereg pewnych funkcji (663).
    • 6.2.5. Wzór Cauchy'ego - Hadamarda (672).
    • 6.2.6. Działania na szeregach potęgowych (677).
    • 6.2.7*. Analityczna definicja funkcji trygonometrycznych (678).
    • 6.2.8. Wzory Eulera (683).
    • 6.2.9. Zastosowanie rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy do przybliżonego obliczania jej wartości (684).
    • Zadania (687).
    • Plik PDF
  • 6.3. Szeregi Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .692
    • 6.3.1. Szereg Foriera i współczynniki Fouriera (692).
    • 6.3.2. Całka Dirichleta (694).
    • 6.3.3. Rozszerzanie funkcji do funkcji okresowej (696).
    • 6.3.4. Zbieżność szeregu Fouriera (699).
    • 6.3.5. Rząd malenia współczynników Fouriera (704).
    • 6.3.6. Interpretacja mechaniczna rozwinięcia w szereg Fouriera (707).
    • 6.3.7. Szereg Fouriera funkcji parzystej lub nieparzystej (709).
    • 6.3.8. Rozwijalność w szereg Fouriera funkcji kawałkami ciągłej (710).
    • 6.3.9. Przykłady rozwinięć w szereg Fouriera (712).
    • 6.3.10. Postać zespolona szeregu Fouriera (721).
    • 6.3.11. Rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji o dowolnym okresie (722).
    • 6.3.12. Rozwinięcie w szereg trygonometryczny funkcji określonej w dowolnym przedziale (723).
    • 6.3.13. Twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa (726).
    • 6.3.14*. Zastosowanie szeregów Fouriera - rozchodzenie się ciepła w pręcie (728).
    • 6.3.15*. Zastosowanie szeregów Fouriera - drgania struny sprężystej (734).
    • 6.3.16. Dalsze własności szeregów Fouriera (742).
    • 6.3.17*. Zastosowanie równości Parsevala (745).
    • Zadania (750)
    • Plik PDF
• Wykaz literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
  • Plik PDF
• Skorowidz biogramów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
• Skorowidz nazw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760