O seminarium

Terminy i tematyka spotkań

czwartek, 27-06-2024 - 12:15, 606
Bartłomiej Błaszczyszyn (INRIA, Paris)
Prof. Bartłomiej Błaszczyszyn wizytuje nasz instytut w ramach programu "profesorów wizytujących" IDUB. Hyperuniformity characterizes random spatial structures that exhibit slower growth in variance at large scales compared to Poisson structures emerging as a consequence of the complete independence assumption. Initially conceptualized in statistical physics by Torquato and Stillinger (2003), hyperuniform systems have garnered significant interest due to their unique position between perfect crystals, liquids, and glasses. These distinctive properties make them valuable for designing innovative materials, Monte Carlo numerical integration, and they have gained attention in various applied contexts, offering insights into phenomena ranging from DNA and the immune system to photoreceptors, urban systems, and cosmology. Detecting and quantifying hyperuniformity is crucial across these diverse domains. Despite this, statistical tests for hyperuniformity have only recently gained attention. In ongoing work with F. Lavancier and G. Mastrilli, we address the challenge of estimating the "strength" of hyperuniformity, related to the exponent of the spectrum at zero wavelength, in a class of stationary point processes in Euclidean. The mathematical core concept is that the variance of linear statistics, which are based on smooth and rapidly decreasing functions, grows in a way that explicitly involves this exponent. By leveraging the multivariate central limit theorem for many of these statistics, which involve orthogonal functions at different scales (wavelets), one obtains an asymptotically consistent estimator of the "strength" of hyperuniformity, based on a single realization of the point process, with explicit confidence intervals. We investigate this approach through numerical simulations using point process models and a real dataset.
czwartek, 13-06-2024 - 12:15, 606
Negative "probabilities" (in the theory of duality of Markov chains) and set-valued dual chains
Paweł Lorek (Uniwersytet Wrocławski)
We will present preliminary results on i) negative "probabilities" (focusing on duality in Markov chains) and ii) set-valued dual Markov chains. i) Paul Dirac and Richard Feynman have argued for the validity and utility of negative "probabilities." While these have been useful tools for solving complex problems, they have not been associated with real processes. We propose a method for "realizing" processes that represent transition probabilities with "negative entries." This method emerged from work on dualities in Markov chains, aiding in modeling and simulating processes where traditional methods fall short, especially in systems lacking monotonicity. However, its applications are potentially much broader. ii) To address problems for a given Markov chain (e.g., winning probability, rate of convergence to stationarity), we can compute a dual chain (strong stationary dual or Siegmund dual) to solve potentially easier problem (e.g., stationary distribution or absorption time). For chains lacking specific types of monotonicity, instead of resorting to negative "probabilities," we demonstrate a construction of a set-valued dual chain that always exists. This talk is a preliminary report on joint work with Bartłomiej Błaszczyszyn (INRIA, Paris). It will mainly present the ideas and methods, applied to 2 or 3 state chains.
czwartek, 16-05-2024 - 13:15, 602
Random walks in cones
Vitali Wachtel (Bielefeld University)
In this talk I am going to discuss the behaviour of walks constrained to some parts of the space. I will concentrate on two rather simple examples which however show the depth of the corresponding area of mathematics. I will begin with the classical Ballot problem, which can be seen as a walk conditioned to stay positive. I will then turn to a model for gambler's ruin problem with many players.
czwartek, 09-11-2023 - 12:15, 603
Extremes of multivariate locally-additive Gaussian random fields
Pavel Ievlev (Université de Lausanne)
In this talk, I am going to present some of my recent results in joint work with Nikolai Kriukiv on the extremes of multivariate Gaussian random fields. I will begin with the 2019 paper by K. Dębicki, E. Hashorva, and L. Wang, which laid the groundwork for further investigations in the area of multivariate Gaussian extremes. I will explain that some of the assumptions of this paper may not hold in cases that are practically important, and I will discuss how these issues can be amended by considering second-order contributions — I will clarify this terminology during the talk. Next, we will explore what is, in a sense, the simplest extension of these results from processes (indexed by R) to fields (indexed by R^n), which we refer to as 'locally-additive'. As an application of this extension, I will present an exact asymptotic result for the probability that a real-valued process first hits a high positive barrier and then a low negative barrier within a finite time horizon.
czwartek, 26-10-2023 - 12:15, 603
Ekstrema pól gaussowskich z nie-addytywną strukturą zależności, z zastosowaniem do "performance tables" i wartości własnych gaussowskich macierzy unitarnych
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Zbadamy dokładną asymptotykę rozkładu supremum pewnej klasy pól gaussowskich, które posiadają lokalnnie nie-addytywną strukturę zależności. Uzyskane wyniki zilustrujemy zastosowaniem do badania wartości własnych gaussowskich macierzy unitarnych. Wykład oparty jest na wspólnej pracy z Pengiem Liu (Univ. of Essex) i Longiem Bai (Univ of Nankai).
czwartek, 29-06-2023 - 13:15, 603
The Classical Laplace Distribution: Fundamental Properties, Extensions, and Applications
Tomasz J. Kozubowski (University of Nevada, Reno)
We review basic facts about the classical Laplace distribution and its asymmetric generalization. Both distributions naturally arise in connection with random summation and quantile regression settings, and offer an attractive and flexible alternative to the normal (Gaussian) distribution in a variety of setting, where the assumptions of symmetry and short tail are too restrictive. The growing popularity of the Laplace-based models in recent years is due to their fundamental properties, which include a sharp peak at the mode, heavier than Gaussian tails, existence of all moments, infinite divisibility, and, most importantly, random stability and approximation of geometric sums. Since the latter arise quite naturally, these distributions provide useful models in diverse areas, such as biology, economics, engineering, finance, geosciences, and physics. We review fundamental properties of these models, which give insight into their applicability in these areas, and discuss their various extensions, including Laplace-based time series and stochastic processes. This is a joint work with K. Podgorski.
czwartek, 29-06-2023 - 12:15, 603
The Greenwood statistic, stochastic dominance, clustering and heavy tails
Anna K. Panorska (University of Nevada, Reno)
The Greenwood statistic Tn and its functions, including sample coefficient of variation, often arise in testing exponentiality or detecting clustering or heterogeneity. We provide a general result describing stochastic behavior of Tn in response to stochastic behavior of the sample data. Our result provides a rigorous base for constructing tests and assuring that confidence regions are actually intervals for the tail parameter of many power-tail distributions. We also present a result explaining the connection between clustering and heaviness of tail for several classes of distributions and its extension to general heavy tailed families. Our results provide theoretical justification for Tn being an effective and commonly used statistic discriminating between regularity/uniformity and clustering in presence of heavy tails in applied sciences. We also note that the use of Greenwood statistic as a measure of heterogeneity or clustering is limited to data with large outliers, as opposed to those close to zero.
czwartek, 15-06-2023 - 12:15, 603
A group theoretic approach to convex hulls and (K,G)-convex hulls: basic properties, examples and applications
Oleksandr Marynych (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
The standard convex closed hull of a subset of the Euclidean space is defined as the intersection of all images, under the action of a group of rigid motions, of a half-space containing the given set. We propose a generalization of this classical notion, that we call a (K,H)-hull, and which is obtained from the above construction by replacing a half-space with some other convex closed subset K of the Euclidean space, and a group of rigid motions by a subset H of the group of invertible affine transformations. The above construction encompasses and generalizes several known models in convex stochastic geometry and allows us to gather them under a single umbrella.
czwartek, 11-05-2023 - 12:15, 603
Simulation of uniformly distributed points on some geometrical objects
Tomasz Rolski (Uniwersytet Wrocławski)
We will survey various methods for simulation of uniformly distributed points on geometrical objects. In particular we consider d-dimensional balls, d-1-dimensional spheres. Interesting and not obvious problems appear when simulating random points on ellipses or ellipsoids. We conclude with a "numerical methods" for generating random points on parametrized objects like hyper-ellipsoids.
czwartek, 30-03-2023 - 12:15, 603
From slash distributions to generalized convolutions
Marek Arendarczyk (Uniwersytet Wrocławski)
An $\alpha$-slash distribution built upon a random variable $X$ is a heavy tailed distribution corresponding to $Y=X/U^{1/\alpha}$, where $U$ is standard uniform random variable, independent of $X$. We point out and explore a connection between $\alpha$-slash distributions, which are gaining popularity in statistical practice, and generalized convolutions, which come up in probability theory in connection with generalizations of the standard concept of convolution of probability measures. In particular, we show that the maximum of independent random variables with $\alpha$-slash distributions is also a random variable with an $\alpha$-slash distribution and discuss possible generalizations of this observation. Our theoretical results are illustrated by several examples involving standard and novel probability distributions.
czwartek, 02-03-2023 - 12:15, 603
Ekstrema odbitych procesów gaussowskich w dyskretnym czasie
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Dla odbitego (w 0) procesu gaussowskiego o stacjonarnych przyrostach, badamy asymptotyki ogona rozkładu supremum i infimum, gdy czas jest dyskretny. Referat oparty jest na wspólnej pracy z Grigorijem Jasnovidovem (University of Lausanne).
czwartek, 01-12-2022 - 12:15, 603
Spacery losowe w rzadkim losowym środowisku
Alicja Kołodziejska (Uniwersytet Wrocławski)
Spacer losowy w rzadkim losowym środowisku to prosty spacer na zbiorze liczb całkowitych. Środowisko, w którym się porusza, zadane jest przez losowy wybór punktów, w których prawdopodobieństwo pójścia w prawo jest również wybrane losowo; w pozostałych punktach spacer porusza się jak symetryczny spacer losowy. Podczas referatu przedstawię pokrótce dotychczasowe wyniki dotyczące tego modelu oraz opowiem o słabych twierdzeniach granicznych, jakie uzyskaliśmy w ramach wspólnej pracy z Dariuszem Buraczewskim i Piotrem Dyszewskim.
czwartek, 17-11-2022 - 12:15, 603
Dualności w łańcuchach Markowa z częściowo uporządkowaną przestrzenią stanów
Paweł Lorek (Uniwersytet Wrocławski)
Wystąpienie będzie składało się z dwóch części.

Część 1. Będzie to przegląd wyników dotyczących: i) dualności Siegmunda, która pozwala badać prawd. ruiny w modelach typu "zagadnienie ruiny gracza"; ii) tzw. strong stationary duality (SSD), która pozwala badać prędkość zbieżności do stacjonarności; iii) "Intertwining" -- pozwala na studiowanie czasu do pochłonięcia. Podamy idee konstrukcji takich łańcuchów dualnych w przypadku częściowo uporządkowanej przestrzeni stanów. Podamy np. wzory na prawdopodobieństwo wygrania w pewnych wielowymiarowych modelach, nowe wzory na wartość oczekiwaną czasu do pochłonięcia (oraz tzw. warunkowego czasu do pochłonięcia) w jednowymiarowych modelach. Wszystkie trzy dualności będą użyte do podania tzw. optymalnego czasu do stacjonarności dla symetrycznego błądzenie po okręgu -- co jest poprawieniem wyniku Diaconisa i Filla.

Część 2. Pokażemy jak można wykorzystać dualność Siegmunda i SSD do podania wzorów na prawdopodobieństwa przejścia między stanami w dokładnie $n$ krokach. Metodę zastosujemy do błądzenia po hiperkostce. Krótko opowiemy o jednym ze "skutków ubocznych", jakim jest pewna tożsamość algebraiczna, z której m.in. wynika nowy dowód na inną znaną tożsamość, a także nowa postać liczb Stirlinga drugiego rodzaju.
czwartek, 27-10-2022 - 12:15, 603
Pułapki w analizie danych peptydowych
Michał Burdukiewicz (Autonomiczny Uniwersytet w Barcelonie/Uniwersytet Medyczny w Białymstoku)
Peptydy to krótkie łańcuchy aminokwasowe, które pełnią wiele ważnych biologicznych funkcji (np. przeciwdrobnoustrojowe). Z tych względów badacze poszukują nowych peptydów o potencjalnie istotnych funkcjach, co jednak jest bardzo czaso- i kosztochłonne w warunkach laboratoryjnych. Dlatego też często stosuje się metody uczenia maszynowego, począwszy od modeli liniowych, po uczenie głębokie, które umożliwiają szybkie i tanie wykrywanie określonych grup peptydów w danych genomicznych i metagenomicznych. W mojej prezentacji pokazuję nie tylko proces tworzenia takich narzędzi, ale również problemy z tym powiązane takie jak brak odpowiednich danych (10.1093/nar/gkac882) oraz nierzetelne benchmarki (10.1093/bib/bbac343).
czwartek, 20-10-2022 - 12:15, 603
Prawdopodobieństwo symultanicznej ruiny w wielowymiarowym gaussowskim modelu ruiny
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Zanalizujemy dokładną asymptotykę prawdopodobieństwa jednoczesnej ruiny skorelowanych procesów ryzyka modelowanych przez procesy gaussowskie o stacjonarnych przyrostach z liniowym dryfem. Przedstawione wyniki są owocem wspólnej pracy z Krzysztofem Bisewskim (Univ. of Lausanne) oraz Nikolaiem Kriukovem (Univ. of Lausanne).
czwartek, 13-10-2022 - 12:15, 602
H-pochodne od sup-funkcjonałów od ułamkowego ruchu Browna
Tomasz Rolski (Uniwersytet Wrocławski)
We consider a family of sup-functionals of (drifted) fractional Brownian motion with Hurst parameter $H\in(0,1)$. This family includes, but is not limited to: expected value of the supremum \begin{align*} {\mathcal M}_H(T,a) := {\mathbf E}\Big(\sup_{t\in[0,T]} B_H(t) - at\Big), \end{align*} the Wills functional, and the Piterbarg-Pickands constant. Explicit formulas for the first derivative of these functionals as functions of Hurst parameter evaluated at $H=\tfrac{1}{2}$ are established.
czwartek, 09-06-2022 - 12:15, 602
Optimality of impulse control problem in refracted Lévy model with Parisian ruin and transaction costs
Adam Kaszubowski (Uniwersytet Wrocławski)
We will consider optimal dividend problem for a company, whose underlying process is modeled by the spectrally negative Lévy process. We will assume that after each payment there will be a transaction cost implied and as a result cumulative dividend process will be a pure jump process. Therefore, instead of the traditional barrier or refracted payment strategy, we will consider so-called impulse strategy. In addition, when the controlled risk process will be below zero there will be an additional drift imposed to save the process from falling into a Parisian-type ruin. This will imply that the controlled risk process will be driven by the refracted-type SDE. Our aim will be to concentrate on proving the optimality of the impulse strategy with the use of standard steps of the Verification Lemma. We will show how and when natural assumptions arise and how they are connected with the scale functions. The talk is based on the joint work with Irmina Czarna.
czwartek, 02-06-2022 - 12:15, 602
Selfdecomposable variables, their background driving distributions(BDDF), log-gamma variables and some graphs
Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
Selfdecomposable variables (distributions) or Lévy class L, arise as a natural generalization of the central limit theorem. It is a quite large class and includes many classical distributions such as stable, gamma, log-gamma, t-Student, logistic, stochastic area under planar Brownian motion, Bessel-K, Bessel densities, Fisher z-distribution, etc. All class L distributions admit the random integral representation - a random integral with respect to some Lévy process Y , called as background driving Lévy process, in short BDLP. Probability distribution of Y(1) is called background driving distribution, in short: BDDF. In the lecture we will present the formulas for BDDF (and for some variables) in a such way that might be more useful for a simulation. References: [1] zjj (2022) Theory Probab. Appl. vol. 67(1), pp. 105-117; [2] zjj (2021) Mathematica Applicanda, vol. 49(2), pp. 85-109.
czwartek, 26-05-2022 - 12:15, 602
Central limit theorem for random circle rotations
Klaudiusz Czudek (Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu)
I am going to talk about a Markov process arising when circle rotations are applied randomly. The central limit theorem for additive functionals of this random walk will be discussed. It depends on two factors: Diophantine properties of the angle of rotation and the regularity of an observable.
czwartek, 19-05-2022 - 12:15, 602
Pochodna funkcjonałów typu supremum dla ułamkowego ruchu Browna w H=1/2
Tomasz Rolski (Uniwersytet Wrocławski)
We consider a family of sup-functionals of (drifted) fractional Brownian motion with Hurst parameter H. This family includes, but is not limited to: expected value of the supremum, expected workload, Wills functional, and Piterbarg-Pickands constant. Explicit formulas for the derivatives of these functionals as functions of Hurst parameter evaluated at H = 1/2 are established. In order to derive these formulas, we develop the concept of derivatives of fractional alpha-stable fields introduced by Stoev & Taqqu (2004) and propose Paley-Wiener-Zygmund representation of fractional Brownian motion. The talk is based on joint work with Krzysztof Bisewski and Krzysztof Debicki
czwartek, 05-05-2022 - 12:15, 602
Branching random walks and point processes
Piotr Dyszewski (Uniwersytet Wrocławski)
We will investigate the convergence of a branching random walk from the viewpoint of random measures. We will show that the case of stretched exponential (Weibull) displacements provides a continuous transition between the domain of one big jump and its complement. The talk is based on a joint work with Nina Gantert (TUM).
czwartek, 28-04-2022 - 12:15, 602
Pochodna wartości oczekiwanej supremum ułamkowego ruchu Browna w H=1
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Supremum S(T,H) ułamkowego ruchu Browna z parametrem Hursta H na odcinku [0,T] gra istotną rolę w wielu modelach probabilistycznych. Rozkład zmiennej losowej S(T,H) znany jest jedynie gdy H=1/2 lub H=1. W wykładzie skupimy się na własnościach pochodnej względem parametru H wartości oczekiwanej S(T,H) w H=1. Przedstawione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Krzysztofem Bisewskim (University of Lausanne) i Tomaszem Rolskim.
czwartek, 21-04-2022 - 12:15, 602
Componentwise Finite-Time Ruin In Two-Dimensional Brownian Risk Model
Konrad Krystecki (Uniwersytet Wrocławski)
The aim of this dissertation is to study a particular finite-time risk model for the ruin probability of two insurance companies that partially share the same risk. The model assumes that the company’s cash flows are modelled by a random and a deterministic part. The accumulated claims are modelled by the Brownian motion and the deterministic premiums are modelled by the linear drift. The connection between the two companies is modeled through a constant correlation. In the first part the company is considered to be ruined if the cash flows of the company at any point in the given interval overcome the initial capital of the company. The thesis investigates the probability of both companies being ruined as their initial capitals are growing larger. In the subsequent parts we consider generalizations of the aforementioned notion of ruin. The new definition of ruin states that the ruin occurs only if the cash flows of the company are above the initial capital for a certain period of time, which is called time in red. We differentiate two cases – where we either count the time in red consecutively or cumulatively. The dissertation focuses on a particular length of the time that the cash flows spend above the initial capital, which is connected to the height of initial capital through a simple function. We prove that for that particular function we obtain results that are of the same order as the results from the first part. In the final chapter the thesis considers much more general cases of the time in red for the case of positively correlated companies.
czwartek, 20-01-2022 - 12:15, 602
Norms of randomized circulant matrices
Witold Świątkowski (Uniwersytet Wrocławski)
Opowiem o oszacowaniach norm macierzy losowych z niezależnymi współrzędnymi. Zacznę od zaprezentowania twierdzenia A. Bandeiry, R. Latały i R. van Handela, dającego obustronne oszacowanie normy, niezależne od wymiaru, w przypadku gaussowskim. Następnie zajmiemy się przypadkiem zero-jedynkowym. Pokażę, że zachodzi podobne oszacowanie dolne. Opowiem też, co już wiemy, a co chcielibyśmy wiedzieć o górnym oszacowaniu.
czwartek, 13-01-2022 - 12:15, 602
On the number of occupied boxes in an infinite occupancy scheme
Alexander Iksanov (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
I intend to provide an elementary introduction into an infinite balls-in-boxes scheme a.k.a. Karlin's occupancy scheme. Also, two generalizations of the scheme will be discussed. The core of the talk will be devoted to weak convergence of the number of occupied boxes. After presenting Dutko's (1989) criterion for the one-dimensional convergence I shall turn to more recent advances concerning weak convergence of finite-dimensional distributions. The talk should be accessible to a wide audience with some knowledge of basic Probability Theory.
czwartek, 25-11-2021 - 12:15, 602
Limit laws for depths and heights of random trees
Piotr Dyszewski (Uniwersytet Wrocławski)
We will revisit the random split-trees introduced by Devroye "Universal limit laws for depths in random trees." SIAM Journal on Computing 28, no. 2 (1998): 409-432, and show how one can use an embedding into a continuous setting to present a new treatment of the model. We will illustrate our approach by giving a new proof of the central limit theorem for the depth of a split-tree. Moreover we will give a new result in the form of a limit theorem for the height of a split-tree. The talk is based on a joint work in progress with C. Mailer (University of Bath).
czwartek, 21-10-2021 - 12:15, 602
Ekstrema pól gaussowskich o nieaddytywnej strukturze zależności
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Zanallizujemy dokładną asymptotykę ogona rozkładu supremum dla klasy pól gaussowskich z niestandardową strukturą zależności. Wyniki zostaną zilustrowane dwoma przykładami: - asymptotycznymi własnościami "performance table" i związanymi z nią zagadnieniami własności wartości własnych macierzy GUE; - asymptotykami procesów "chi". Wystąpienie oparte jest na wspólnej pracy z L. Bai (Nankai Univ.) and P.Liu (Univ. of Essex).
czwartek, 17-06-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Proportional Parisian Reinsurance with many-fBm inputs
Pavel Levlev (Université de Lausanne)
Consider the proportional reinsurance process with two (or more) companies sharing one risk process, modeled by large number of independent fractional Brownian motions. There are recent results on classical, joint and “at least one” ruin for this process, whereas the Parisian ruin seems to have not been studied before. In the talk I shall address the exact first order asymptotics in this case, which is motivated by a recent paper “Proportional reinsurance for fractional Brownian risk model” by Krzysztof Kępczyński.
czwartek, 10-06-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Extensions of Korshunov inequality for multidimensional processes
Nikolai Kriukov (Université de Lausanne)
This talk is focused on the generalization of Korshunov inequality, which is helpful in simplifying the proof of double sum negligibility in ruin problems. It provides a non-asymptotic upper bound for the classical ruin probability of Brownian motion, which turns out to be asymptotically precise. The presenting results extend this inequality for the case of hitting some specific set and non-centered processes. In particular, we discuss applications to k-th simultaneous ruin probabilities.
czwartek, 20-05-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Fluctuations of Biggins' martingales at complex parameters
Matthias Meiners (Justus-Liebig-Universität Gießen)
The long-term behavior of a supercritical branching random walk can be described and analyzed with the help of Biggins' martingales, parametrized by real or complex numbers. If certain sufficient conditions for the convergence of the martingales to non-degenerate limits hold, there are three different regimes of fluctuations of Biggins' martingales around their limits. First, for parameters with small absolute values, the fluctuations are Gaussian and the limit laws are scale mixtures of the real or complex standard normal laws. Second, there is a region in the parameter space in which the martingale fluctuations are determined by the extremal positions in the branching random walk. Finally, there is a critical region (typically on the boundary of the set of parameters for which the martingales converge to a non-degenerate limit) where the fluctuations are stable-like and the limit laws are the laws of randomly stopped Lévy processes satisfying invariance properties similar to stability. In my talk, I will present the fluctuations in all three regions in the special case of a branching random walk with binary splitting and independent Gaussian increments.
czwartek, 06-05-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Czas pobytu pól losowych nad wysoką barierą
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Dokonamy asymptotycznej analizy czasu przebywania pola losowego powyżej wysokiej bariery. Przy dość ogólnych założeniach pokażemy, że istnieje interesujący związek między asymptotykami ogona czasu przebywania powyżej bariery i supremum. Ogólną teorię zilustrujemy przykładami. Wystąpienie oparte jest na wspólnej pracy z E. Hashorvą, P. Liu oraz Z. Michną.
czwartek, 22-04-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Ruin probability for Discrete and Continuous Gaussian Risk Models
Grigori Jasnovidov (Université de Lausanne)
In this presentation we focus on computation of the asymptotics of the ruin probabilities of Gaussian processes under the discrete time setup. We also study some properties of the Pickands constants appearing in the asymptotics.
czwartek, 15-04-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
The largest and smallest fragment in a k-regular self-similar fragmentation
Piotr Dyszewski (Technische Universität München)
We study the asymptotics of the $k$-regular self-similar fragmentation process. For $\alpha \geq 0$ and an integer $k\geq 2$, this is the Markov process $(I_t)_{t\geq 0}$ in which each $I_t$ is a union of open subsets of $[0,1)$, and independently each subinterval of $I_t$ of size $u$ breaks into $k$ equally sized pieces at rate $u^\alpha$. Let $k^{-m_t}$ and $k^{-M_t}$ be the respective sizes of the largest and smallest fragments in $I_t$. By relating $(I_t)_{\geq 0}$ to a branching random walk, we find that there exist explicit deterministic functions $g(t)$ and $h(t)$ such that $|m_t-g(t)|\leq 1$ and $|M_t-h(t)|\leq 1$ for all sufficiently large $t$. The talk is based on a joint work with Nina Gantert, Samuel G. G. Johnston, Joscha Prochno and Dominik Schmid.
czwartek, 08-04-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Weak convergence of random geometric objects in non-Euclidean spaces
Alexander Marynych (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
The analysis of conventional convex hulls of random points sampled from the uniform distribution on a compact convex subset of the d-dimensional Euclidean space is the classical topic in stochastic geometry. In the past years there has been a splash of activity around various generalized concepts of convexity both in geometric and probabilistic communities. The talk is devoted to the discussion of two particular models of this kind. In the first model we consider a sample picked from the uniform distribution on the upper semi-sphere and analyze its spherical convex hull. In the second model the sample is taken from the uniform distribution in a convex body K in the d-dimensional Euclidean space and we focus on the analysis of its K-convex hull, that is, intersection of all affine translates of K which contain the sample. Considered from an appropriate viewpoint, these two models incorporating generalized notion of convexity exhibit a similar behavior which turns out to be very different from such in the classical setting.
czwartek, 01-04-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Gałązkowy spacer losowy
Dariusz Buraczewski (Uniwersytet Wrocławski)
Podczas wykładu opowiem o gałązkowym spacerze losowym i przedstawię podstawowe własności dotyczące zachowania jego maksimum. W opisie tego procesu kluczową rolę odgrywa tzw. martyngał pochodny. Opowiem o nowych wynikach otrzymanych wspólnie z Aleksandrem Iksanovem (Kijów) oraz Bastienem Mallein (Paryż).
czwartek, 25-03-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Extreme positions of regularly varying branching random walk in random environment
Ayan Bhattacharya (Indian Institute of Technology)
In this article, we consider a Branching Random Walk (BRW) on the real line where the underlying genealogical structure is given through a supercritical branching process in i.i.d. environment and satisfies Kesten-Stigum condition. The displacements coming from the same parent are assumed to have jointly regularly varying tails. Conditioned on the survival of the underlying genealogical tree, we prove that the appropriately normalized (depends on the expected size of the n-th generation given the environment) maximum among positions at the n-th generation converges weakly to a scale-mixture of Frechét random variable. Furthermore, we derive the weak limit of the extremal processes composed of appropriately scaled positions at the n-th generation and show that the limit point process is a member of the randomly scaled scale-decorated Poisson point processes (SScDPPP). Hence, an analog of the predictions by Brunet and Derrida (2011) holds. This is a joint work with Zbigniew Palmowski.
czwartek, 18-03-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
On the renewal theorem for maxima on trees
Zbigniew Palmowski (Politechnika Wrocławska)
We consider the distributional fixed-point equation: \[R \stackrel{\mathcal{D}}{=} Q \vee \left( \bigvee_{i=1}^N C_i R_i \right), \] where the $\{R_i\}$ are i.i.d.~copies of $R$, independent of the vector $(Q, N, \{C_i\})$, where $N \in \mathbb{N}$, $Q, \{C_i\} \geq 0$ and $P(Q > 0) >0$. By setting $W = \log R$, $X_i = \log C_i$, $Y = \log Q$ it is equivalent to the high-order Lindley equation \[W \stackrel{\mathcal{D}}{=} \max\left\{ Y, \, \max_{1 \leq i \leq N} (X_i + W_i) \right\}.\] It is known that under Kesten assumptions, \[P(W > t) \sim H e^{-\alpha t}, \qquad t \to \infty,\] where $\alpha>0$ solves the Cram\'er-Lundberg equation $E \left[ \sum_{j=1}^N C_i ^\alpha \right] = E\left[ \sum_{i=1}^N e^{\alpha X_i} \right] = 1$. The main goal of this paper is to provide an explicit representation for $P(W > t)$, which can be directly connected to the underlying weighted branching process where $W$ is constructed and that can be used to construct unbiased and strongly efficient estimators for all $t$. Furthermore, we show how this new representation can be directly analyzed using Alsmeyer's Markov renewal theorem, yielding an alternative representation for the constant $H$. We provide numerical examples illustrating the use of this new algorithm. This is a joint work with Bojan Basrak, Michael Conroy and Mariana Olvera-Cravioto.
czwartek, 11-03-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
On nested occupancy scheme in random environment
Alexander Iksanov (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
A nested occupancy scheme in random environment is a generalization of the Karlin infinite balls-in-boxes occupancy scheme in random environment (with random probabilities). Unlike the Karlin scheme in which the collection of boxes is unique, there is a nested hierarchy of boxes, and the hitting probabilities of boxes are defined in terms of iterated fragmentation of a unit mass. We say that the boxes belong to the jth level provided that their hitting probabilities are given by the j-fold fragmentation. Assuming that the number of balls is n, we shall present functional limit theorems for the number of occupied boxes in the jth level in two different settings: 1) j is fixed; 2) j=j(n) diverges to infinity and j(n)=o((\log n)^{1/2}) as n tends to infinity. The talk is based on recent joint works with D. Buraczewski, B. Dovgay, A. Gnedin, A.Marynych and I.Samoilenko.
czwartek, 25-02-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Twierdzenia graniczne dla procesów gałązkowych
Konrad Kolesko (Uniwersytet Wrocławski)
Dla gałązkowego spaceru losowego $\{S(u)\}_{u \in \mathbb T} $ o przyrostach dodatnich oraz funkcji $\phi:[0,\infty) \mapsto \mathbb R$ definiujemy proces Crumpa-Mode’a-Jagersa $Z^\phi_t$ wzorem: $$Z^\phi_t:=\sum_{u\in\mathbb T}\phi(t-S(u)).$$ W swojej pracy O. Nerman (1981) udowodnił, że przy pewnych naturalnych założeniach istnieje parametr $\alpha>0$, taki że $$e^{-\alpha t} Z^\phi_t \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} \int \phi(s)e^{-\alpha s}ds \cdot W\quad \text{p.n.}$$ dla pewnej zmiennej losowej $W$. Podczas wykładu zaprezentuję twierdzenia graniczne dla procesu $Z^\phi_t$. Przedstawione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Matthiasem Meinersem oraz Aleksandrem Iksanovem.
czwartek, 28-01-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Two-dimensional ruin for correlated brownian motions with drift dependant on initial capital
Konrad Krystecki (Uniwersytet Wrocławski)
Denote by $(W_1(s), W_2(t)), s,t\ge 0$ a bivariate Brownian motion with standard Brownian motion marginals and constant correlation $\rho \in (-1,1).$ In this contribution we study the asymptotics following ruin probability model $$p_{\alpha,\rho}(\boldsymbol c, a) = \mathbf{P}\left(\sup_{t \in [0,T]}W_1(t)-c_1 u^{1+\alpha} t > u, W_2(t)-c_2 u^{1+\alpha} t > au\right),$$ as $u \to \infty.$ Constants $c_1,c_2, \alpha \in \mathbf{R}$ model the behaviour of the drift function, which is dependent on the initial capitals $u, au, a \le 1.$ Moreover, we give the connection and give asymptotics for the two-dimensional many-source ruin model $$\mathbf{P}\left(\sup_{t \in [0,T]}\sum_{i=1}^N B_i(t)-c_1 t > N, \sum_{i=1}^N B_i'(t)-c_2 t > N\right),$$ where $B_i, B_i'$ are standard Brownian motions, $Cov(B_i(t),B_i'(t))=\rho t,$ as $N \to \infty.$
czwartek, 07-01-2021 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Procesy gałązkowe w losowym środowisku
Dariusz Buraczewski (Uniwersytet Wrocławski)
Podczas wykładu opowiem o procesach losowych w losowym środowisku. Jest to proces gałązkowy, w którym cząsteczki reprodukują się niezależnie od pozostałych względem rozkładu losowanego co jedną generację. Będę rozważać proces w sytuacji superkrytycznej, a więc, gdy populacja przeżyje z dodatnim prawdopodobieństwem i rośnie wykładniczo szybko na zbiorze przeżycia. W niedawnej pracy z Ewą Damek wprowadziliśmy metody, które pozwalają na użycie technik fourierowskich do badania tych procesów. Dzięki nim można udowodnić szereg twierdzeń granicznych.
czwartek, 10-12-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Kolejki gaussowskie w losowym oknie czasu
Krzysztof Kępczyński (Uniwersytet Wrocławski)
W referacie zbadamy asymptotyczne zachowanie procesu wypełnienia bufora dla stacjonarnej kolejki gaussowskiej $$\sup\limits_{-\infty < s \leq t \leq T} (B_H(t) - B_H(s) - c(t-s)),$$ gdzie $\{B_H(t) : t \geq 0\}$ jest standardowym ułamkowym ruchem Browna (fBm) z parametrem Hursta $H,$ a $T$ jest zmienną losową niezależną od $B_H(\cdot).$ Rozpatrzymy cztery sceniariusze ze względu na ciężkość $T.$ Przedstawione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Krzysztofem Dębickim (Uniwersytet Wrocławski) i Michelem Mandjesem (University of Amsterdam).
czwartek, 03-12-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Limit theorems for a stable sausage
Wojciech Cygan (TU Dresden / Uni. Wrocław)
The talk concerns the limit behavior of the volume of a stable sausage defined via a $d$-dimensional rotationally invariant $\alpha$-stable process. I will present a functional central limit theorem (in the case when $d/\alpha>3 /2$) with a standard one-dimensional Brownian motion in the limit and Khintchine's and Chung’s laws of the iterated logarithm (in the case when $d/\alpha>9 /5$). This is a joint work with N. Sandrić and S. Šebek (Uni. Zagreb).
czwartek, 26-11-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Oszacowania wartości oczekiwanej supremum ułamkowego ruchu Browna z dryfem
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
W referacie przedstawimy górne oraz dolne oszacowania dla $$M(H):=E [\sup_{t>0} (B_H(t)-ct)],$$ gdzie $\{B_H(t):t>0\}$ jest standardowym ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta $H$. Następnie zbadamy asymptotyczne zachowanie $M(H)$, gdy $H\to 0$ oraz gdy $H\to 1$. Przedstawione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Krzysztofem Bisewskim (University of Lausanne) i Michelem Mandjesem (University of Amsterdam): Bisewski, K., Dębicki, K., & Mandjes, M. (2020). Bounds for expected supremum of fractional Brownian motion with drift. przyjęte do publikacji w JAP.
czwartek, 19-11-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Uogólnienie testu Kolmogorova-Smirnova za pomocą częściowego sortowania
Krzysztof Bisewski (University of Lausanne)
Test Kolmogorova-Smirnowa jest jednym z najbardziej popularnych testów sprawdzających, czy dane losowe $X_1,\ldots,X_n$ są niezależne i pochodzą z tego samego, danego teoretycznego rozkładu $F()$. Test KS bazuje na twierdzeniu, że odpowiednio zeskalowane supremum absolutnej różnicy dystrybuanty empirycznej $F_n()$ i teoretycznej $F()$, t.j. $D_n := \sup_t |F_n(t)-F(t)|$ zbiega do rozkładu KS, który jest niezależny od wyjściowej dystrybuanty $F()$. Od strony informatycznej, dystrybuantę empiriczną danego rozkładu można zintepretować jako całkowicie posortowany wektor wejściowych danych losowych. Okazuje się, że nawet częściowe sortowanie wystarczy, aby skonstruować test podobny do KS, którego statystyka również asymptotycznie nie będzie zależeć od F(). Podczas seminarium pokażę, w jaki sposób można skonstruować odpowiedni test korzystając z algorytmu sortowania bąbelkowego i zbadam asymptotyczne zachowanie tego testu. Wspólna praca z Marijn Jansen, TU Delft oraz Yoni Nazarathy, University of Queensland.
czwartek, 12-11-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Random walk in a sparse random environment
Piotr Dyszewski (Technische Universität München)
We'll investigate a nearest neighbour random walk on the set of integers with random transition probabilities. The random walk moves symmetrically with exception of some random, marked sites, where a random drift is imposed. If the distance between the marked sites is of finite mean, the asymptotic behaviour of the random walker resembles that in the classical case, where one gets a stable limit law. The complementary case, when distance between the marked sites is of infinite mean, reveals new behaviour. The random walk scales like a simple symmetric random walk, but the corresponding limit distribution is non-stable. The talk is based on a joint work with Dariusz Buraczewski, Alexander Iksanov and Alexander Marynych.
czwartek, 05-11-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
O empirycznym rozkładzie widmowym dla pewnych uogólnień macierzy kowariancji z próby
Anna Lytova (Uniwersytet Opolski)
Badamy asymptotyczne zachowanie empirycznych miar spektralnych pewnych klas macierzy losowych, gdy rozmiar macierzy dąży do nieskończoności. W szczególności dowodzimy dla macierzy z łącznie niezależnymi kolumnami, że empiryczne miary wartości osobliwych zbiegają słabo według prawdopodobieństwa do rozkładów związanych z rozkładem Marczenki-Pastura i rozkładem Wignera. Uzyskujemy to bez założenia stałości macierzy kowariancji kolumn. Wykład jest oparty na wspólnej pracy z Alicją Dembczak-Kołodziejczyk.
czwartek, 29-10-2020 - 12:15, zoom (kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl)
Prędkość zbieżności do rozkładu normalnego
Grzegorz Serafin (Politechnika Wrocławska)
Referat będzie dotyczył oszacowań prędkości zbieżności ogólnych funkcjonałów niezależnych zmiennych losowych do rozkładu normalnego. W szczególności przedstawione zostaną zastosowania do U-statystyk, grafów losowych oraz form kwadratowych.
czwartek, 18-06-2020 - 12:15, Zoom, kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl
Non-simultaneous finite time ruin probability for correlated Brownian motions
Konrad Krystecki (Uniwersytet Wrocławski)
Let $(W_1(s), W_2(t)), s,t\ge 0$ be a bivariate Brownian motion with standard Brownian motion marginals and constant correlation $\rho \in (-1,1)$ and define the joint survival probability of both supremum functionals $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)$ by $$\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)=\mathbb{P}(\sup_{s \in [0,1]} \left(W_1(s)-c_1s\right)>u,\sup_{t \in [0,1]} \left(W_2(t)-c_2t\right)>v) ,$$ where $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ and $u,v$ are given positive constants. Approximation of $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v) $ is of interest for the analysis of ruin probability in bivariate Brownian risk model as well as in the study of bivariate test statistics. We derive tight bounds for $\pi_\rho(c_1,c_2; u, v)$ in the case $\rho \in (0,1)$ and obtain precise approximations by letting $u\to \infty$ and taking $v= au$ for some fixed positive constant $a$ and $\rho \in (-1,1).$
czwartek, 04-06-2020 - 12:15, Zoom, kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl
Limit theorems for the least common multiple of random integer sets
Alexander Marynych (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
In my talk I shall consider two models for random integer sets and derive limit theorems for the least common multiple of their elements. In the first model a random set is defined by the Bernoulli sieving of $\{1,2,\ldots,n\}$ with a constant rate $\theta\in(0,1)$. In the second model the set consists of k independent uniform random variables on $\{1,2,3,\ldots,n\}$.
czwartek, 21-05-2020 - 12:15, Zoom, kontakt: michal.krawiec@math.uni.wroc.pl
Branching random walk and stretched exponential tails
Piotr Dyszewski (UWr, TU Munich)
We will consider a branching process with a spacial component on the real line. After birth each individual performs an independent step according to the step size distribution. During the talk the step size distribution will be a stretched exponential (or Weibull) law. We will give a detailed description of the asymptotic behaviour of the position of the rightmost particle. If time permits we will discuss the convergence of an associated point process. The talk is based on a ongoing project with Nina Gantert and Thomas Höfelsauer.
czwartek, 12-03-2020 - 12:15, 602
Limit theorems for the least common multiple of random integer sets
Alexander Marynych (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
In my talk I shall consider two models for random integer sets and derive limit theorems for the least common multiple of their elements. In the first model a random set is defined by the Bernoulli sieving of $\{1,2,\ldots,n\}$ with a constant rate $\theta\in(0,1)$. In the second model the set consists of k independent uniform random variables on $\{1,2,3,\ldots,n\}$.
czwartek, 05-03-2020 - 12:15, 602
Some remarks on associated random fields, random measures and point processes
Ryszard Szekli (Uniwersytet Wrocławski)
In this paper, we first show that for a countable family of random elements taking values in a partially ordered Polish space with a closed partial order (POP space), association (both positive and negative) of all finite dimensional marginals impliesthat of the infinite sequence. Our proof proceeds via Strassen’s theorem for stochastic domination and thus avoids the assumption of normally ordered on the product space as needed for positive association in [38]. We use these results to show on POP spaces that finite dimensional negative association implies negative association of the random measure and negative association is preserved under weak convergence of random measures. The former provides a simpler proof in the most general setting of Polish spaces complementing the recent proofs in [47] and [40] which restrict to point processes inRdand locally compact Polish spaces respectively. We also provide some examples of associated random measures which shall illustrate our results as well. Work joint with G. Last and D. Yogeshwaran
czwartek, 06-02-2020 - 12:15, 602
Structural Properties of a Conditioned Random Walk on a Multivariate Integer Lattice with Random Local Constraints
Sergey Foss (Heriot-Watt University and Novosibirsk State University and Sobolev Institute of Mathematics)
We consider a random walk on a multidimensional integer lattice with random bounds on local times, conditioned on the event that it hits a high level before its death. We introduce an auxiliary “core” process that has a regenerative structure and plays a key role in our analysis. We obtain a number of representations for the distribution of the random walk in terms of the similar distribution of the “core” process. Based on that, we prove a number of limiting results by letting the high level to tend to infinity. In particular, we generalise results for a simple symmetric one-dimensional random walk obtained earlier in the paper by Benjamini and Berestycki (2010). This is a joint work with Alexander Sakhanenko (Novosibirsk)
czwartek, 30-01-2020 - 12:15, 602
Sieving random iterative function systems
Ilya Molchanov (University of Bern)
It is known that backward iterations of independent copies of a contractive random Lipschitz function converge almost surely under mild assumptions. By a sieving (or thinning) procedure based on adding to the functions time and space components, it is possible to construct a scale invariant stochastic process. We study its distribution and paths properties. In particular, we show that it is c\`adl\`ag and has finite total variation. We also provide examples and analyse various properties of particular sieved iterative function systems including perpetuities and infinite Bernoulli convolutions, iterations of maximum, and random continued fractions. Based on joint work with Alexander Marynych.
czwartek, 16-01-2020 - 12:15, 602
How long is the convex minorant of a one-dimensional random walk?
Alexander Marynych (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
In the talk I will prove several distributional limit theorems for the length of the largest convex minorant of a one-dimensional random walk. The proofs utilise a connection between convex minorants of random walks and uniform random permutations, that goes back to Sparre Andersen, Spitzer and Goldie, and which will also be discussed in details.
czwartek, 09-01-2020 - 12:15, 602
Prawdopodobieństwo ruiny w 2-wymiarowym modelu brownowskim
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Dla procesu ryzyka modelowanego przez skorelowany 2-wymiarowy ruch Browna z dryfem zanalizujemy asymptotykę ogona rozkładu prawdopodobieństwa ruiny w nieskończonym horyzoncie czasu. Omówione wyniki oparte są na wspólnej pracy z Lanpengiem Ji (Leeds) oraz Tomaszem Rolskim.
czwartek, 12-12-2019 - 12:15, 602
Functional limit theorems for Galton–Watson processes with very active immigration
Alexander Iksanov (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
I am going to discuss weak convergence in the Skorokhod space of Galton–Watson processes with immigration, properly normalized, under the assumption that the tail of the immigration distribution has a logarithmic decay. It will be explained that the limits are extremal shot noise processes. Interestingly, both the behavior in mean and the survival probability (especially in the subcritical case) of the underlying Galton-Watson processes without immigration affect the asymptotics in question. The talk is based on the recent SPA paper Iksanov and Kabluchko (2018).
czwartek, 05-12-2019 - 12:15, 602
O asymptotyce błędu detekcji dla supremum procesu Lévy'ego na odcinku
Krzysztof Bisewski (University of Amsterdam)
Rozpatrujemy supremum procesu Lévy'ego na odcinku [0,1], dokładniej, chcemy znaleźć prawdopodobieństwo $w(u)$, że supremum przekroczy dany poziom $u$. Wzór na $w(u)$ nie jest w ogólności znany i przybliżamy go używając $w_n(u)$ - które jest odpowiednikiem pradopodobieństwa przekroczenia poziomu $u$ dla procesu zdyskretyzowanego, t.j. obserwowanego w $n$ równo-odłegłych punktach. Wzór na $w_n(u)$ również nie jest znany, ale może być przybliżony do dowolnej dokładości za pomocą metod Monte Carlo. Przy łagodnych założeniach, pokażemy dokładną asymptotykę błedu detekcji, t.j. $|w(u)-w_n(u)|$, gdy $n$ dąży do nieskończoności. Jest to wspólna praca z Jevgenijs Ivanovs (Aarhus University).
czwartek, 28-11-2019 - 12:15, 602
Perkolacja na grupach hiperbolicznych: wymiar brzegu klastra (kontynuacja)
Jan Czajkowski (Uniwersytet Wrocławski)
Bazując na odczycie L. Wanga w IM UWr z 18 IV 2019 próbuję zweryfikować pewną własność klastrów w perkolacji Bernoulliego na grupach hiperbolicznych związanych z przestrzenią hiperboliczną H³ (np. Coxeterowskich grupach odbiciowych ograniczonego wielościanu w H³). Brzeg Gromowa takiej grupy (czyli przestrzeń ,,punktów w nieskończoności'') jest homeomorfioczny ze sferą S². Pytanie jest następujące: czy brzeg klastra jest p.n. zerowymiarowym podzbiorem S², gdy prawdopodobieństwo otwierania krawędzi w perkolacji jest większe od prawdopodobieństwa krytycznego, ale mu bliskie? Staram się tego dowieść, dominując stochastycznie klaster perkolacji przez trajektorię rozgałęziającego się spaceru losowego takiego jak u Wanga i rozważając wymiar Hausdorffa brzegu klastra.
czwartek, 14-11-2019 - 12:15, 602
Perkolacja na grupach hiperbolicznych: wymiar brzegu klastra
Jan Czajkowski (Uniwersytet Wrocławski)
Bazując na odczycie L. Wanga w IM UWr z 18 IV 2019 próbuję zweryfikować pewną własność klastrów w perkolacji Bernoulliego na grupach hiperbolicznych związanych z przestrzenią hiperboliczną H³ (np. Coxeterowskich grupach odbiciowych ograniczonego wielościanu w H³). Brzeg Gromowa takiej grupy (czyli przestrzeń ,,punktów w nieskończoności'') jest homeomorfioczny ze sferą S². Pytanie jest następujące: czy brzeg klastra jest p.n. zerowymiarowym podzbiorem S², gdy prawdopodobieństwo otwierania krawędzi w perkolacji jest większe od prawdopodobieństwa krytycznego, ale mu bliskie? Staram się tego dowieść, dominując stochastycznie klaster perkolacji przez trajektorię rozgałęziającego się spaceru losowego takiego jak u Wanga i rozważając wymiar Hausdorffa brzegu klastra.
czwartek, 07-11-2019 - 12:15, 602
Steinhausowskie Seminarium Matematyki Stosowanej
Władysław Szczotka (Uniwersytet Wrocławski)
czwartek, 24-10-2019 - 12:15, 602
Asymptotyki rozkładów supremum dwuwymiarowych procesów gaussowskich
Krzysztof Kępczyński (Uniwersytet Wrocławski)
czwartek, 10-10-2019 - 12:15, 602
Historia procesu Poissona i wkład C. Ryll Nardzewskiego do teorii
Tomasz Rolski (Uniwersytet Wrocławski)
czwartek, 16-05-2019 - 12:15, 602
A) RiffleScrambler -- a memory-hard password storing function. B) Using svn repositories (installed on hera) and Mendeley in daily work with LaTeX.
Paweł Lorek (Uniwersytet Wrocławski)
A) Making a function for calculating password slow is often not enough. Such a function can be evaluated several dozen times faster on GPUs than on CPUs and even several thousand times faster on ASICs (application-specific integrated circuit). A "good" function (memory-hard) should consume lots of memory (GPUs and ASICs would not help then). We introduce RiffleScrambler -- a new family of directed acyclic graphs and a corresponding memory hard function. We prove its memory hardness in the random oracle model. B) We show how to efficiently use SVN (subversion system) -- a software versioning and revision control system (installed on hera) and Mendeley (Reference Manager) in daily work with LaTeX. In particular, we show how one can allow multiple users access our SVN repository on hera.
czwartek, 25-04-2019 - 12:15, 602
Generalized diffusion processes: construction, limit theorems, approximation methods
Ludmila Zaitseva (Uniwersytet im. Tarasa Szewczenki, Kijów)

The talk is devoted to the notion of generalized difusion process, which is an extension of the Kolmogorov's classical definition of a diffusion process, with the drift vector and diffusion matrix possibly being generalized functions. Analytic background of the theory of generalized diffusion processess will be outlined, and a probabilistic approach to the construction of generalized diffusion processes will be presented in details. Within the probabilistic approach, the required process is constructed as the strong solution to an SDE which involves the local times of the unknown process. Various limit theorems for generalized difusion processes will be presented, together with perspectives in simulation procedures for SDEs involving local times of the unknown process.

czwartek, 18-04-2019 - 12:15, 602
Branching random walks on hyperbolic groups: volume growth rate and limit set
Longmin Wang (Uniwersytet w Nankai, Chiny)
Let $\Gamma$ be a nonelementary hyperbolic group equipped with a word metric. Consider a branching random walk (BRW) on $\Gamma$ with mean offspring $\lambda < \infty$ and let $\rho$ be the spectral radius of the base motion. It is known that, if and only if $\lambda > \rho^{-1}$, the BRW is recurrent in the sense that every point is visited infinitely often by the particles in BRW. In this talk, we focus on the transient regime $\lambda \in [1,\, \rho^{-1}]$ and study the critical behavior for the volume growth rate and the Hausdorff dimension of the limit set of BRW. More precisely, we prove that both of them exhibit phase transitions at $\lambda = \rho^{-1}$ and have critical exponent $1/2$. The talk is based on a joint work with Z. Shi, V. Sidoravicius and K. Xiang.
czwartek, 11-04-2019 - 12:15, 602
Poisson process approximation of thinnings of stationary point processes
Moritz Otto (Karlsruher Institut für Technologie)
We consider stationary point processes that arise as a dependent thinning from a stationary Poisson process. Based on the assumption that the thinning depends only locally on the underlying process, we derive a result for Poisson process approximation of an appropriate scaling of the thinned process. In its proof we construct an adequate coupling between the thinned process and a Palm version of itself. We discuss implications of our result for the theory of extremes of random spatial structures and present an application in the context of random geometric graphs.
czwartek, 04-04-2019 - 12:15, 602
Dwustronne oszacowania momentów chaosów gaussowskich o wartościach wektorowych
mgr Rafał Meller (Uniwersytet Warszawski)
Chaosem gaussowskim nazwiemy zmienna losową S będącą wielomianem jednorodnym od wektora gaussowskiego. Zakładamy, że współczynniki wielomianu pochodzą z ustalonej przestrzeni Banacha. Okazuje się, że możemy podać dwustronne oszacowania na p-ty moment zmiennej S w pewnej klasie przestrzeni Banacha (zawierającej przestrzenie L_q). Omówimy niektóre zastosowania otrzymanych oszacowań, w szczególności pokażemy nierówność typu Hansona-Wrighta w przestrzeniach wektorowych. W celu uproszczenia notacji skupimy się na przypadku wielomianów, będących formami kwadratowymi.
czwartek, 21-03-2019 - 12:15, 602
A single-subject method to detect pathways enriched with alternatively spliced genes
A. Grant Schissler (University of Nevada)
czwartek, 14-03-2019 - 12:15, 602
Functional limit theorems for the profile of random recursive trees
prof. Alexander Iksanov (Taras Shevchenko National University of Kyiv)
Let $X_n(k)$ denote the number of vertices at level $k$ in a random recursive tree with $n+1$ vertices. I am going to discuss a functional limit theorem for the vector-valued process $(X_{[n^t]}(1),\ldots, X_{[n^t]}(k))_{t\geq 0}$ , for each $k\in\mathbb{N}$. It will be explained that, after proper centering and normalization, this process converges weakly to a vector-valued Gaussian process whose components are integrated Brownian motions. The other topic of my interest is the asymptotic behavior of $X_n(k)$ for intermediate levels $k=k_n$ satisfying $k_n\to\infty$ and $k_n=o(logn)$ as $n\to\infty$. It turns out that the finite-dimensional distributions of the process $(X_n ([k_n u]))u>0$, properly normalized and centered, converge weakly as $n\to\infty$. The limit is a centered Gaussian process with explicitly known covariance. Both results are deduced from new functional limit theorems for Crump-Mode-Jagers branching processes generated by increasing random walks with increments that have finite second moment. The talk is based on two recent papers joint with Zakhar Kabluchko.
czwartek, 07-03-2019 - 12:15, 602
Stałe Pickandsa-Piterbarga, funkcjonały Willisa i procesy max-stabilne
prof. Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Przedstawimy własności nowej rodziny stałych Pickandsa-Piterbarga a także ich związki w funkcjonałami Willisa oraz max-stabilnymi procesami Browna-Resnicka. Referat oparty jest na wspólnych pracach z E. Hashorvą i K. Tabisiem.
czwartek, 17-01-2019 - 12:15, 602
Alternatywne modele ruiny dla procesów typu Levy'ego
mgr Adam Kaszubowski (Uniwersytet Wrocławski)
Podczas tej prezentacji rozpatrzymy zagadnienie ruiny dla firmy ubezpieczeniowej. W klasycznym podejściu proces nadwyżki finansowej modelowany jest przy użyciu procesu Cramera-Lundberga z roszczeniami rozłożonymi wykładniczo. Przyjmuje się również definicje momentu ruiny jako pierwszej chwili, gdy proces nadwyżki przekroczy poziom zero. Niniejsze założenia doczekały się wielu uogólnień. W szczególności rozważano spektralnie ujemne procesy Levy'ego jako klasy procesów modelujących proces nadwyżki, jak i również przeformułowano definicję ruiny, rozróżniając techniczną ruinę od faktycznego momentu bankructwa. W tym wystąpieniu rozważać będziemy kolejne uogólnienia, badając przy tym wpływ podjętych założeń na prawdopodobieństwo ruiny, jak i na zagadnienia wyjścia procesu ze zbioru. W szczególności, przy założeniu paryskiego modelu ruiny, podamy nowe wzory na funkcje skalujące dla załamanego (ang. refracted) liniowego procesu Browna oraz załamanego procesu Cramera-Lundberga z wykładniczymi roszczeniami. Następnie pochylimy się nad modelem ruiny typu omega, pokazując między innymi, że prawdopodobieństwo ruiny tego typu jest liniową funkcją prawdopodobieństwa klasycznej ruiny przy modelowaniu procesem Cramera-Lundberga z wykładniczymi roszczeniami. Prezentacja ta opiera się w większości na pracach: 1) "Fluctuation identities for omega-killed Markov additive processes and dividend problem" I. Czarna, A. Kaszubowski, S. Li, Z. Palmowski (praca wysłana), 2) "Omega bankruptcy for different Levy models" A. Kaszubowski (praca wysłana) oraz 3) "Optimality of impulse control problem in refracted Levy model with Parisian ruin and transaction costs" I. Czarna, A. Kaszubowski (praca w przygotowaniu).
czwartek, 10-01-2019 - 12:15, 602
Warunkowe zagadnienie ruiny gracza z zastosowaniami
dr Paweł Lorek
Rozpatrujemy łańcuch urodzin i śmierci na przestrzeni $\{0,...,N\}$ z przejściami $P(i,i+1)=p(i)>0$, $P(i,i-1)=q(i)>0$, $P(i,i)=1-(p(i)+q(i))>=0$, $i=1,...,N-1$, a stany $0$ oraz $N$ są pochłaniające (jest to tzw. zagadnienie ruiny gracza). Interesuje nas warunkowy czas trwania gry $T_i$, tj. czas do pochłonięcia w stanie $N$ startując z $i$. Beyer i Waterman (1977) pokazali, że dla klasycznego zagadnienia ruiny gracza (tj. $p(i)=p, q(i)=q$) rozkład $T_i$ jest symetryczny ze względu na $p$ i $q$ (tzn. jest taki sam dla $p'=q, q'=p$). Na seminarium podamy wzór na wartość oczekiwaną $ET_i$ w języku parametrów $p(i)$ oraz $q(i)$, pokażemy też, że implikuje on, iż $ET_i$ jest symetryczne ze względu na $p(i)$ i $q(i)$ (tj. jest takie samo dla $p'(i)=q(i), q'(i)=p(i)$) o ile tylko $q(i)/p(i)$ nie zależy od $i$. Używając natomiast wyników Mao, Zhang (2016) pokażemy, że w tym przypadku również rozkład $T_i$ jest symetryczny. Na koniec pokażemy jak niektóre z wyników dotyczących zagadnienia ruiny gracza można zastosować do niesymetrycznego błądzenia po okręgu. Wystąpienie będzie w znaczącym stopniu bazowało na: Lorek, P., Markowski, P. Conditional gambler's ruin problem with arbitrary winning and losing probabilities with applications. (Preprint 2018)
czwartek, 29-11-2018 - 12:15, 602
Ujemne zależności i własność "hyperuniformity" dla procesów punktowych
prof. Ryszard Szekli (Uniwersytet Wrocławski)
Podamy dwie równoważne definicje ujemnego stowarzyszenia dla procesów punktowych. Jako przykłady procesów punktowych ujemnie stowarzyszonych opiszemy procesy tzw. "determinantal" oraz procesy "mixed sampled". Przypomnimy związki procesów "determinantal" z procesami punktowymi Gibbsa i z rozkładem wartości własnych pewnych macierzy losowych. Przypomnimy własność "hyperuniformity" dla procesów punktowych ilustrując ją klasycznymi i nowymi przykładami.
czwartek, 29-11-2018 - 12:15, 602
Ujemne zależności i własność "hyperuniformity" dla procesów punktowych
prof. Ryszard Szekli (Uniwersytet Wrocławski)
Podamy dwie równoważne definicje ujemnego stowarzyszenia dla procesów punktowych. Jako przykłady procesów punktowych ujemnie stowarzyszonych opiszemy procesy tzw. "determinantal" oraz procesy "mixed sampled". Przypomnimy związki procesów "determinantal" z procesami punktowymi Gibbsa i z rozkładem wartości własnych pewnych macierzy losowych. Przypomnimy własność "hyperuniformity" dla procesów punktowych ilustrując ją klasycznymi i nowymi przykładami.
czwartek, 22-11-2018 - 12:15, 602
Prawdopodobieństwo równoczesnej ruiny w Brownowskim modelu ryzyka
prof. Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Zanalizujemy problem prawdopodobieństwa równoczesnej ruiny w skończonym horyzoncie czasu w przypadku gdy odpowiednie procesy ryzyka modelowane są przez skorelowany ruch Browna. Dodatkowo zbadamy asymptotyczne własności czasu ruiny w rozważanym modelu. Zagadnienia te są podstawą wspólnej pracy z E. Hashorvą i Z. Michną.
czwartek, 08-11-2018 - 12:15, 602
Some closure properties of multivariate regularly varying distributions
dr Piotr Dyszewski (Uniwersytet Wrocławski)
Let X and Y be two independent regularly varying vectors of finite dissension. Take any deterministic bilinear map F and consider Z = F(X,Y). We will present sufficient conditions under which Z is also a regularly varying vector. If time permits, we will apply this results the multidimensional random difference equation and obtain new limit results in the presence of multiplicative noise with regularly varying distribution. The talk is based on a joint work with Thomas Mikosch.
czwartek, 25-10-2018 - 12:15, 602
On a relation between classical and free infinitely divisible transforms
prof. Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
We study two ways (levels) of finding free-probability analogue of classical infinite divisible measures. More precisely, we identify their Voiculescu transforms. For free - selfdecomposable Voiculescu transform we found the formula (a differential equation) for their background driving transforms. We illustrate our methods on the selfdecomposable hyperbolic characteristic functions. As a by-product our approach potentially may produce new formulas for definite integrals of some special functions. (cf. www.arXiv:1707.02540v1 [math.PR])
czwartek, 11-10-2018 - 12:15, 602
Asymptotics of Multivariate Conditional Risk Measures for Gaussian Risks
Chengxiu Ling (Southwest University, Chongqing, China)
This paper is concerned with approximations of marginal moment excess, marginal moment shortfall and conditional tail moment in the framework of multivariate Gaussian system risks. Super-exponential and polynomial convergence speed of those quantities of risk contagions are obtained by its dimension reduction property via the quadratic programming. A sufficient and necessary condition is given to alternate the convergence speed via the risk threshold, correlation matrix and moment order. An interesting application involved in the minimal additional risk capital assigned by risk regulators is given to avoid in finite risk contagions with an illustrating example. Our theoretical results have potential applications in quantitative risk management, including risk allocations and multivariate conditional risk measures of tail covariance, tail skewness with dependence and extremal risk contagions under consideration.
czwartek, 14-06-2018 - 12:15, 602
Wycena dodatkowej informacji w problemie optymalnego zatrzymania
Marek Skarupski (Politechnika Wrocławska)
Problem optymalnego zatrzymania przez osobę decyzyjną (selekcjonera) w swoim podstawowym brzmieniu zakłada, że dysponuje on tylko własną wiedzą na temat przeszłości i podejmuje decyzję na podstawie aktualnej obserwacji. W rozpatrywanej wersji występuje dodatkowo drugi gracz, który zna jakość wszystkich obiektów i może raz w ciągu całego procesu wyboru interweniować w proces decyzyjny. Interwencja ta powoduje uzyskanie przez selekcjonera dodatkowej informacji, która może pomóc lub utrudnić proces wyboru. Naszym zadaniem jest ustalenie optymalnej ceny tej wskazówki. Podany zostanie dokładny opis problemu za pomocą łańcuchów Markowa. Pokażemy jak wygląda strategia optymalna oraz zbiór stanów, które maksymalizują wypłatę gracza interweniującego. Zostaną też zaprezentowane możliwe rozwinięcia tego modelu.
czwartek, 24-05-2018 - 12:15, 602
O wybranych algorytmach uczenia maszynowego
Paweł Lorek (Uniwersytet Wrocławski)
Opowiem o wybranych zagadnieniach dotyczących uczenia maszynowego, wystąpienie będzie głównie bazowało na pracach dyplomowych studentów. Opowiem m.in. o podstawowych klasyfikatorach (naiwny Bayes, LDA, SVM), technikach redukcji wymiaru (PCA, tSNE), ukrytych modelach Markowa (algorytmie Viterbiego i filtrze Kalmana). Całość będzie zobrazowana szeregiem przykładów (głównie opracowanych przez studentów), w tym m.in. podejście "Bag-of-words" do klasyfikacji obrazów.

[Uwaga: Wystąpienie jest powtórką z seminarium Zastosowań Matematyki z 26 kwietnia.]
czwartek, 26-04-2018 - 12:15, 602
Occupation times of Gaussian risk processes and Gaussian stationary queues
Peng Liu (University of Lausanne, Switzerland)
We derive exact asymptotics of sojourn time for a class of Gaussian risk processes and Gaussian stationary queues.
czwartek, 19-04-2018 - 12:15, 602
Reprezentacje całkowe zmiennych losowych.
Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
Zmienne losowe/obserwacje opisujemy zwykle przez ich dystrybuanty, rozkłady prawdopodobieństw, gęstości, funkcje charakterystyczne czy transformaty Laplace'a. W wykładzie zmienne losowe opisywane będą jako całki losowe względem procesów Levy'ego.
czwartek, 22-03-2018 - 12:15, 602
Łańcuchy pochłaniające i wielowymiarowe zagadnienie ruiny gracza. Część II: Czas trwania gry.
Paweł Lorek (Uniwersytet Wrocławski)
Dla łańcucha urodzin i śmierci na {1,...,N} rozkład czasu dojścia z 1 do N został podany przez Keilsona (1979). Dowód był czysto analityczny (podał on funkcję tworząca). W przypadku, gdy łańcuch ten jest stochastycznie monotoniczny czas ten jest równy (co do rozkładu) sumie N-1 zmiennych losowych geometrycznych z parametrami będącymi wartościami własnymi macierzy przejść. W takim przypadku Fill (2009) podał inny, probabilistyczny, dowód. Gong, Mao, Zhang w 2012 oraz Mao, Zhang w 2016 rozszerzyli ten wynik dla a) łańcucha startującego z dowolnego stanu; b) dla łańcucha, który ma dodatkowy stan pochłaniający. Podpunkt b) odpowiada klasycznemu zagadnieniu ruiny gracza (rozważa się wówczas często warunkowy czas trwania gry, czyli czas do wygrania lub czas do ruiny). Pokażemy uogólnienie tych wyników la rodziny wielowymiarowych uogólnień zagadanienia ruiny gracza. W wielu przypadkach dowody są również probabilistyczne. Będziemy także korzystali z własności produktu Kroneckera.

Do wysłuchania wystąpienia znajomość Części I. nie jest potrzebna.

P. Lorek, P. Markowski (2018) Absorption probability and time for family of multidimentional gambler models. (Wysłana)

czwartek, 15-03-2018 - 12:15, 602
CLT w przestrzeniach Euklidesowych dla unormowań macierzami
Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
(Kursowy) Wykład teorii p-stwa (zwykle) kończy się centralnym twierdzeniem granicznym (CLT) dla rzeczywistych zmiennych losowych, przy założeniu warunku Lindeberga. Czasem fakt ten jest uzupełniany (dopełniany) Twierdzeniem Fellera, które stwierdza,że przy założeniu infinitezymalności składników, warunek Lindeberga jest też warunkiem koniecznym.

W wykładzie powyższe zagadnienie omówione będzie dla WEKTORÓW losowych i unormowań MACIERZAMI (deterministycznymi) w skończenie wymiarowych przestrzeniach Euklidesowych.

czwartek, 08-03-2018 - 12:15, 602
On functions bounded by Karamata functions
Edward Omey (KU Leuven at Campus Brussels, Belgium)
The class $M(\rho)$ is the class of functions satisfying $\log U(x)= \log x \rightarrow \rho$ as $x \rightarrow 1$. This class of functions extends the class of regularly varying functions (which were introduced by Karamata). It can be proved that $U \in M(\rho)$ implies that $U$ is bounded by regularly varying functions with the same index $\rho$. We extend this class and define a new class of positive and measurable functions that are bounded by general regularly varying functions. We study integrals and Laplace transforms of these functions. We use the results to study the tail of convolutions of distribution functions. The results are extended to functions that are bounded by O-regularly varying functions.

The talk will be based on joint work with M. Cadena and M. Kratz.

czwartek, 01-03-2018 - 12:15, 602
Czas ostatecznej ruiny w gaussowskim modelu ryzyka.
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
Zanalizujemy rozkład różnicy pomiędzy pierwszym i ostatnim momentem przebywania procesu gaussowskiego z dryfem powyżej wysokiej bariery oraz pokażemy związki z zagadnieniami teorii ruiny. Przedstawione wyniki są owocem wspólnej pracy z Pengiem Liu (Uniwersytet w Lozannie).
czwartek, 15-02-2018 - 12:15, 602
Fractionally integrated inverse stable subordinators
Aleksander M. Iksanov (University of Kyiv)
A fractionally integrated inverse stable subordinator (FIISS) is the convolution of an inverse stable subordinator, also known as a Mittag-Leffler process, and a power function. I am going to discuss various path properties of FIISS including Hoelder continuity and laws of iterated logarithm. I will explain that the FIISS is a quite natural probabilistic object, for it arises as a functional weak limit for appropriate shot noise processes. The talk is based on a joint paper with Z. Kabluchko, A. Marynych, G. Shevchenko (SPA, V. 127 (2017), 80-106).
czwartek, 25-01-2018 - 12:15, 602
Double continuation regions for American and Swing options with negative discount rate in Lévy models
Joanna Tumilewicz (Uniwersytet Wrocławski)
I will study perpetual American put option in an exponential L\'evy model. I will consider a negative effective discount rate which arises in a number of financial applications including stock loans and real options, where the strike price can potentially grow at a higher rate than the original discount factor. I will show that in this case a double continuation region arises and we identify the two critical prices. I will also generalize this result to multiple stopping problems of swing type, that is when successive exercise opportunities are separated by i.i.d. random refraction times. The talk will be based on joint work with M. de Donno and Z. Palmowski.
czwartek, 18-01-2018 - 12:15, 602
Quickest drift change detection in Lévy-type force of mortality model
Michał Krawiec (Uniwersytet Wrocławski)
I will present the quickest drift change detection problem for a Lévy process consisting of both a continuous Gaussian part and a jump component. I will consider a Bayesian framework with an exponential a priori distribution of the change point and an optimality criterion based on a probability of false alarm and an expected delay of the detection. The approach is based on the optimal stopping theory and solving some boundary value problem. The talk will be supplemented by a numerical analysis related with the construction of the Generalized Shiryaev-Roberts statistics. In particular, I will show how to apply this method (after appropriate calibration) to analyse life tables and to model the force of mortality in population with a drift changing in time. The talk will be based on joint work with Z. Palmowski and Ł. Płociniczak.
czwartek, 18-01-2018 - 12:15, 602
Quickest drift change detection in Lévy-type force of mortality model
Michał Krawiec (Uniwersytet Wrocławski)
I will present the quickest drift change detection problem for a Lévy process consisting of both a continuous Gaussian part and a jump component. I will consider a Bayesian framework with an exponential a priori distribution of the change point and an optimality criterion based on a probability of false alarm and an expected delay of the detection. The approach is based on the optimal stopping theory and solving some boundary value problem. The talk will be supplemented by a numerical analysis related with the construction of the Generalized Shiryaev-Roberts statistics. In particular, I will show how to apply this method (after appropriate calibration) to analyse life tables and to model the force of mortality in population with a drift changing in time. The talk will be based on joint work with Z. Palmowski and Ł. Płociniczak.
czwartek, 11-01-2018 - 12:15, 602
Omega-killed Markov additive processes
Adam Kaszubowski (Uniwersytet Wrocławski)
In this talk, we will consider the exit problems for Markov additive process $(X,J)$ exponentially killed with the respect to the intensity $\omega_i(x)$, which is positive and bounded function for every $i \in E$, where $E$ is a finite state space of J. We assume that intensity $\omega_i(x)$ depends on the state $i$ of the Markov chain $J$ and the position of the process $X$. In the classical approach we set $\omega_i(x) = q$, for every $i \in E$, which can be understood as a killing by independent exponentially distributed random variable with the parameter $q$. Furthermore, all identities will be given in the terms of the $(\omega)$-scale matrices, which are extending general scale functions. Finally, we will apply derived results to the dividends problem as well as present numerical results for particular examples of $\omega_i (x)$.
czwartek, 04-01-2018 - 12:15, 602
Extremes of Gaussian chaos processes with trend.
Long Bai (University of Lausanne)
Let X(t) = (X_1(t), . . . , X_d(t)) be a Gaussian vector process and g(x), x ∈ R_d a homogenous function. In this paper we are concerned with the exact tail asymptotics of the chaos process g(X(t)) with trend over [0, S]. Both scenarios that X(t) is locally stationary and non-stationary are considered. Important examples include Π^d_{i=1} X_i(t) − ct and chi-processes with trend, i.e., (\sum^d_{i=1} b_i X^2_i(t) )− ct. Based on joint work with Enkelejd Hashorva and Dmitry Korshunov.
czwartek, 14-12-2017 - 12:15, 602
Procesy punktowe ujemnie stowarzyszone.
Ryszard Szekli (Uniwersytet Wrocławski)
Omówione będą na wstępie różne definicje ujemnie skorelowanych zmiennych losowych i ich relacje do ujemnego stowarzyszenia. Następnie wprowadzone będą dwie klasy procesów punktowych, które są w pewnym sensie ujemnie stowarzyszone (determinantal point processes - wyniki znane, mixed sampled point processes - wyniki własne). Wspomniane będą możliwe zastosowania własności ujemnego stowarzyszenia do badania procesów punktowych (clustering properties, void probabilities, concentration inequalities).
czwartek, 07-12-2017 - 12:15, 602
A generalized Sibuya distribution.
Tomasz J. Kozubowski (University of Nevada)
The Sibuya distribution arises as the distribution of the waiting time for the first success in Bernoulli trials, where the probabilities of success are inversely proportional to the number of a trial. We study a generalization that can be viewed as the distribution of the excess random variable N-k given N>k, where N has the Sibuya distribution and k is an integer. We summarize basic facts regarding this distribution and provide several new results and characterizations, shedding more light on its origin and possible applications. This is joint work with K. Podgorski.
czwartek, 23-11-2017 - 12:15, 602
Wykorzystanie procesów anomalnej dyfuzji do modelowania powietrza wewnętrznego.
Rafał Połoczański (Politechnika Wrocławska)
W pierwszej części wprowadzone zostaną trzy procesy subordynowane, mianowicie ułamkowy ruch Browna subordynowany procesami gamma, odwrotnym Gaussowskim oraz temperowanym stabilnym. Zaprezentowane zostaną główne własności wymienionych procesów, w szczególności struktura zależności, asympotytczne zachowanie momentów absolutnych oraz własność długiej pamięci. Następnie przedstawimy właności statystyczne ułamkowego ruchu Browna subordynowanego procesami odwrotnymi do wymienionych powyżej. Kolejnym krokiem jest zaproponowanie nowej techniki estymacji parametrów odwrotnego subordynatora opartej na zdyskretyzowanym rozkładzie. Za pomocą wysymulowanych danych pokazano skuteczność zaproponowanej techniki w porównaniu z innymi estymatorami. Finalnie, rozważyliśmy proces stochastyczny, który może zostać użyty do modelowania stężenia dwutlenku węgla będącego głównym czynnikiem wpływającym na jakość powietrza w pomieszczeniach.

W wystąpieniu przedstawione zostaną wyniki z rozprawy doktorskiej.
czwartek, 16-11-2017 - 12:15, 602
Large deviations for random walk in random environment
Piotr Dyszewski (Uniwersytet Wrocławski)
We will consider a one-dimensional random walk in random environment. After a brief recap of the state of the art concerning the limiting behaviour of the precess in question we will show how to improve large deviation results established previously by Y. Peres, A. Dembo and O. Zeituni ”Tail estimates for one-dimensional random walk in random environment”, Comm. Math. Phys, 1996. The talk is based on a joint work with D. Buraczewski available at https://arxiv.org/abs/1710.01075.

Keywords: random walk, random environment, first passage time, branching process with immigration, precise large deviations.
czwartek, 09-11-2017 - 12:15, 602
Łańcuchy pochłaniające i wielowymiarowe zagadnienie ruiny gracza. Część I: prawdopodobieństwo wygrania.
Piotr Markowski (Uniwersytet Wrocławski)
Dla rodziny wielowymiarowych uogólnień zagadnienia ruiny gracza pokażemy rozwiązanie oparte o dualność w sensie Siegmunda. W dowodzie skorzystamy z własności produktu Kroneckera.

B. Błaszczyszyn, P. Lorek, P. Markowski, Z. Puchała (2017) Absorption probability and time for family of multidimentional gambler models. Praca w przygotowaniu.
czwartek, 26-10-2017 - 12:15, 602
Sojourns of Gaussian processes with trend.
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
W wystąpieniu przedstawione zostanie nowe podejście do badania zagadnień związanych z analizą czasu przebywania nad barierą przez niescentrowane procesy gaussowskie. Wystąpienie oparte jest o wspólne badania z E. Hashorvą, P. Liu, Z. Michną.
czwartek, 19-10-2017 - 12:15, 602
Dwa twierdzenia graniczne dla mocno mieszających ciągów zmiennych losowych.
Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
Dla mocno mieszających ciągów rzeczywistych zmiennych losowych przedstawimy dwa twierdzenia. Pierwsze twierdzenie jest dla liniowych (afinicznych) modyfikacji sum częściowych. W granicy otrzymamy tzw. klasy rozkładów samorozkładalnych (klasa Levy'ego L) wśród, których są rozkłady stabilne, rozkłady gamma, t-Studenta, F- Fishera, log-normalny, hiperboliczne funkcje charakterystyczne, etc. Drugie twierdzenie jest dla pewnych nieliniowych modyfikacji postaci $(X - r) ^+$. W terminologii matematyki finansowej jest funkcja wypłaty dla Europejskiej opcji kupna. Dla sum takich modyfikacji podamy centralne twierdzenie graniczne. [Wykład jest na podstawie wspólnych publikacji z Richardem Bradley'em i był pierwotnie wygłoszony w Operation Research and Financial Engineering (ORFE), Princeton University w kwietniu 2017.]
czwartek, 08-06-2017 - 12:15, 605
(Some) Ising models and the selfdecomposability property
Zbigniew J. Jurek (Uniwersytet Wrocławski)
The partition function of 1-D Ising model, as a function of an external field, will be related to some selfdecomposable characteristic function that, in turn, will be represented via random walks in random environment. In the second part of the lecture, we will introduce a new class $\mathcal{L}$ of Ising models, inspired by the selfdecomposable distributions, and determine their critical temperature (phase transition) via weak law of large numbers. (No prior knowledge of physics is required.)

[The lecture is a modified version of the presentation that was given at Princeton University last year.]

czwartek, 01-06-2017 - 12:15, 602
Rozkład supremum dla spektralnie dodatnich procesów Levy'ego
Zbigniew Michna (Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu)

Rozpoczynając od klasycznych wzorów Tacacs'a dla procesów Levy'ego o skończonym wahaniu oraz łącznego rozkładu infimum i procesu w ostatnim punkcie przedziału dla ujemnie spektralnych procesów Levy'ego (o skończonym i nieskończonym wahaniu), wyprowadzimy wzór na rozkład supremum dla spektralnie dodatniego procesu Levy'ego na skończonym i nieskończonym horyzoncie czasowym. Jako przykład rozważymy alfa-stabilny proces Levy'ego. Ponadto znajdziemy rozkład supremum dla procesu Levy'ego ze złamanym dryfem. Jako przykład rozpatrzymy proces Wienera. Uzyskane wyniki zastosujemy to znalezienia prawdopodobieństwa ruiny, gdy dwie firmy ubezpieczeniowe dzielą między sobą roszczenia i składkę.

1) Z. Michna, Z. Palmowski, M. Pistorius (2015) The distribution of the supremum for spectrally asymmetric Levy processes. Electron. Commun. Probab. 20, str. 1-10.

2) K. Dębicki, E. Hashorva, Peng Liu, Z. Michna (2017) Distribution of the supremum for spectrally posititive Levy processes with a broken drift. Praca w przygotowaniu

czwartek, 18-05-2017 - 12:15, 602
Level dependent Levy risk processes
Tomasz Rolski (Uniwersytet Wrocławski)
We consider level dependent Lévy risk process whose dynamics is given by sde $$\mathrm{d}U(t) = \mathrm{d}X(t) - \phi(U(t))dt,$$ where $X$ is a spectrally negative Lévy process. A special case is when $$\phi(x)=\left(\delta_1 \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_1\}}+\delta_2 \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_2\}}+...+\delta_k \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_k\}} \right)\mathrm{d}t , \quad t \geq 0 ,$$ which gives $k$-multi-refracted Levy process. We define a scale function $w^{(q)}$ (and also $z^{(q)}$) as the solutions of some Volterra equations and show that formulas for one and two sided exit problems written in their terms. The major part of the seminar will be devoted to solutions of Volterra equations.
czwartek, 20-04-2017 - 12:15, 602
Sojourns of Gaussian processes
Krzysztof Dębicki (Uniwersytet Wrocławski)
W wystąpieniu przedstawione zostanie nowe podejście do badania zagadnień związanych z analizą czasu przebywania ponad barierą przez proces gaussowski. Wystąpienie oparte jest o wspólne badania z E. Hashorvą, Z. Michną, P. Liu.
czwartek, 30-03-2017 - 12:15, 602
A convergence theorem for stationary heavy tailed sequences
Azra Tafro (University of Zagreb)
Point processes theory is a useful tool for the extremal analysis of stochastic processes. It is well known, for instance, that for an iid sequence of random variables, regular variation of the marginal distribution is equivalent to the convergence of the point process generated by the sequence towards a suitable Poisson point process. That statement then yields many asymptotic distributional properties about the original sequence. There are many extensions of this result to dependent stationary sequences and the point processes generated by them. We will give such a result for a class of weakly dependent regularly varying processes in the multivariate setting. As an application of the result, we will show the invariance principle for the so-called maximal process. This is joint work with Bojan Basrak.
czwartek, 16-03-2017 - 12:15, 602
A drawdown-based regime-switching Lévy insurance model
Shu Li (University of Illinois)
In this talk, we will talk about a drawdown-based regime-switching (DBRS) Lévy insurance model in which the underlying drawdown process is used to model an insurer’s level of financial distress over time, and to trigger regime-switching transitions. By some analytical arguments, we derive explicit formulas for a generalized two-sided exit problem. We specifically state the positive security loading conditions. The regime-dependent occupation time until ruin is later studied. As a special case of the general DBRS model, a regime-switching premium model is given further consideration. Connections with other existing risk models are established.
czwartek, 09-03-2017 - 12:15, 602
On the optimal dividend problem with transaction cost and parisian ruin time for a refracted Lévy process
Adam Kaszubowski (Uniwersytet Wrocławski)
We consider optimal dividend problem for a company, whose risk process is modeled by refracted Levy process. At the beginning I will recall the idea of dividends and historical stochastic approach to this problem. Afterwards I will formally define model, problem and dividend strategy, which will be a candidate for being the optimal one. In our setup we choose ruin time to be parisian, which means that ruin occurs when risk process is for the first time below zero longer than some constant $ r > 0$. Additionally we assume that after every dividend, company must pay fixed transaction cost, this causes that classical barrier strategy cannot be optimal anymore. All results will be written in terms of the scale functions and numerical examples of this results will be shown.
czwartek, 23-02-2017 - 12:15, 602
Drawdown insurance contracts
Joanna Tumilewicz (Uniwersytet Wrocławski)
We consider some drawdown insurance contracts with constant permium rate, general reward and penalty functions. The drawdown proces we define as difference between historical maximum and current asset value. We focus on two problem: calculating the fair premium for basic contracts and finding the optimal stopping rule for polices with additional cancellable feature. We use the fluctuation theory of Lévy processes and theory of optimal stopping.
czwartek, 02-02-2017 - 12:15, 602
Multi-refracted Lévy risk processes
Irmina Czarna (Uniwersytet Wrocławski)

We consider multi-refracted Lévy risk process whose dynamics change by subtracting off a fixed linear drifts whenever the process is above certain levels. Formally, we define a multi-refracted Lévy risk process as a unique strong solution of the SDE (for $k \geq 1$): $$\mathrm{d}U_k(t) = \mathrm{d}X(t) - \left(\delta_1 \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_1\}}+\delta_2 \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_2\}}+...+\delta_k \mathbf{1}_{\{U_k(t) > b_k\}} \right)\mathrm{d}t , \quad t \geq 0 ,$$ where $X$ is a spectrally negative Lévy process, $\delta_1,\ldots,\delta_k$ and $b_1 < b_2 < \ldots < b_n$ are model parameters.

Moreover, we present the formulas for one and two sided exit problems written in terms of the new $q$- scale functions associate with the process $U_k$. We also present new properties of the obtained scale functions. Finally, we extend the theory of multi-refracted processes to processes with general premium rate function $\phi$.

czwartek, 19-01-2017 - 12:15, 602
On classical queueing networks
Ryszard Szekli (Uniwersytet Wrocławski)

I will recall classical mathematical problems related to queueing networks, some classical results related to ergodicity of some related Markov processes, and will discuss questions on the speed of convergence to stationarity and ordering of networks.

The talk will be based on some papers with Hans Daduna or Pawel Lorek, including recent ones but also some older ones, for example:

Correlation formulas for Markovian network processes in a random environment. Adv. in Appl. Probab. 48 (2016)

Computable bounds on the spectral gap for unreliable Jackson networks. Adv. in Appl. Probab. 47 (2015)

Stochastic comparison of queueing networks. Queueing networks, 345–395, Internat. Ser. Oper. Res. Management Sci., 154, Springer, New York, 2011

czwartek, 12-01-2017 - 12:15, 602
Siegmund duality, antiduality and Fastest Strong Stationary Times.
Paweł Lorek
We recall construction of Siegmund dual chain for Mobius monotone Markov chains. In first part of the talk we present 3 types of application of the relation between ergodic chain and its Siegmund dual: A1) solving ruin-like problems; A2) finding stationary distribution; A3) estimating stationary distribution via "stable simulation scheme". In second part of the talk we show how to find Fastest Strong Stationary Time (FSST) of a chain using Siegmund dual chain. The construction of a chain with prescribed FSST will be presented. Exploiting existing results on limiting distribution of "time till all coupons are collected" in several generalizations of coupon collector problem, we present chain exhibiting so-called separation cutoff. The talk will be accompanied by numerous examples.
czwartek, 08-12-2016 - 12:15, 602
Drift change detection in stochastic mortality rate models.
Michał Krawiec

We will consider the theory of optimal change point detection of stochastic processes applied to the mortality rate models. At the beginning there will be some motivations and general description of the topic. Then we will proceed to the first detection model based on Brownian motion, for which at some random time drift changes. The first part of the talk will focus on this model and its applications in analysing Polish life tables. In the second part of the talk we will consider other detection models for Poisson and compound Poisson processes. We will also see some theoretical results for the process consisting of both continuous and jump part.

The talk is based on our joint work with Prof. Z. Palmowski.
czwartek, 01-12-2016 - 12:15, 602
Extremal Markovian sequences of the Kendall type.
Barbara Jasiulis-Gołdyn
W załączonym pliku.
czwartek, 24-11-2016 - 12:15, 602
Random matrix approximation for some non-commutative stochastic processes.
José Luis Pérez Garmendia
A functional limit theorem for the empirical measure-valued process of eigenvalues of a matrix fractional Brownian motion is obtained. It is shown that the limiting measurevalued process is the non-commutative fractional Brownian motion recently introduced by Nourdin and Taqqu. Young and Skorohod stochastic integral techniques and fractional calculus are the main tools used. Also the case of a Non-commutative Fractional Poisson Process will be discussed, in terms of an approximation based on the fractional Wishart process.
czwartek, 10-11-2016 - 12:15, 602
Branching process in random environment an related models.
Piotr Dyszewski

We will discuss one of many population growth models, namely the branching process in random environment. We will show how asymptotic properties of perpetuities affect those of our model. If time allows, we will show some applications to random walks in random environment.

The talk is based mostly on the work of Kesten, Kozlov & Spitzer [1975, Compositio Mathematica].
czwartek, 27-10-2016 - 12:15, 602
Limit theory for geometric statistics of clustering point processes
Bartłomiej Błaszczyszyn

(joint work with D. Yogeshwaran and J. E. Yukich)

Let $P$ be a simple, stationary, clustering point process on the $d$-dimensional Euclidean space, in the sense that its correlation functions factorize up to an additive error decaying exponentially fast with the separation distance. Let $P_n$ be its restriction to the windows of volume $n$. We consider statistics of $P_n$ admitting the representation as sums of spatially dependent terms $H_n=\sum_{x\in P_n} \xi(x,P_n)$, where $\xi(x,P_n)$ is a real valued (score) function, representing the interaction of $x$ with $P_n$. When the score function depends locally on $P_n$ in the sense that its radius of stabilization has an exponential tail, we establish expectation asymptotics, variance asymptotics, and central limit theorems for $H_n$ as the volume n of the window goes to infinity.

This gives the limit theory for non-linear geometric statistics (such as clique counts, the number of Morse critical points, intrinsic volumes of the Boolean model, and total edge length of the $k$-nearest neighbor graph) of determinantal point processes with fast decreasing kernels, including the $\alpha$-Ginibre ensembles. It also gives the limit theory for geometric $U$-statistics of permanental point processes as well as the zero set of Gaussian entire functions. This extends the existing literature treating the limit theory of sums of stabilizing scores of Poisson and binomial input. In the setting of clustering point processes, it also extends the results of Soshnikov (2002) as well as work of Nazarov and Sodin (2012).

The proof of the central limit theorem relies on a factorial moment expansion originating in Blaszczyszyn (1995) to show clustering of mixed moments of the score function. Clustering extends the cumulant method to the setting of purely atomic random measures, yielding the asymptotic normality of $H_n$.

czwartek, 20-10-2016 - 12:15, 602
Multivariate models connected with random sums and maxima.
Marek Arendarczyk

In this talk I will consider a stochastic model for $(X,Y,N)$, where $X$ and $Y$ respectively, are the sum and the maximum of $N$ dependent, heavy-tailed Pareto components. Models with this or similar structure are desirable in many applications, ranging from hydro-climatology to finance and insurance. Theoretical results, as well as real data examples, illustrating the usefulness of the model will be presented.

The talk is based on joint work with Tomasz J. Kozubowski and Anna K. Panorska (University of Nevada, Reno).
czwartek, 13-10-2016 - 12:15, 602
Metoda couplingu w badaniu szybkości zbieżności.
Piotr Markowski
Badając prędkość zbieżność rozkładu procesu Markowa do rozkładu stacjonarnego możemy korzystać z metody couplingowej. Okazuje się, że znalezienie markowskiego couplingu (tzn. pary funkcji losowych (X,Y) będącej procesem Markowa) nie zawsze prowadzi do optymalnego oszacowania szybkości zbieżności. Prelegent przypomni kilka znanych i zaprezentuje kilka nowych konstrukcji couplingowych.
czwartek, 06-10-2016 - 12:15, 602
O stałych Pickandsa.
Krzysztof Dębicki

Prelegent opowie o różnych reprezentacjach i kontekstach, gdzie znaleziono te stałe.

Wystąpienie oparte będzie o wspólne prace z Enkelejdem Hashorvą i Sebastianem Engelke.
czwartek, 12-05-2016 - 12:15, 602
Prawdopodobieństwo ruiny dla skorelowanych ruchów Browna.
Krzysztof Dębicki

Niech $\boldsymbol{B}(t)=(B_1(t),\ldots,B_d(t))^{'},t\ge0$ będzie standardowym $d$-wymiarowym ruchem Browna. W prezentacji zanalizujemy dokładną asymptotykę $$ \mathbb{P}\left(\exists\ {t\ge 0}: \boldsymbol{AX}(t)- \boldsymbol{\mu}t> \boldsymbol{\alpha} u \right), $$ gdy $u\to\infty$, gdzie $A$ jest macierzą niesingularną oraz wektory $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\mu}$ spełniają $\boldsymbol{\alpha}>\boldsymbol{0},$ $\boldsymbol{\mu}$, $\max_{1\le i \le d} \mu_i>0$. Dodatkowo zbadamy własności wielowymiarowych odpowiedników stałych Pickands'a, które pojawiają się w uzyskanych asymptotykach.

Wykład oparty jest o wyniki wypracowane wspólnie z E. Hashorwą (Univ. of Lausanne), L. Ji (Univ. of Lausanne) oraz T. Rolskim.
czwartek, 28-04-2016 - 12:15, 602
Fluktuacje spektralnie ujemnego procesu Lévy'ego zabijanego z intensywnością zależną od stanu tego procesu.
Zbigniew Palmowski

W referacie rozwiażemy tzw. problemy wyjścia dla (odbitego w supremum lub infimum) spektralnie ujemnego procesu Lévy'ego $X$ wykładniczo zabijanego z intensywnością będącą pewną funkcją $\omega$ od obecnego stanu tego procesu. Wszystkie tożsamości będą wyrażone poprzez uogólnienia klasycznych funkcji skalujących.

Referat będzie oparty o pracę: B. Li i Z. Palmowski, Fluctuations of Omega-killed spectrally negative Lévy processes, 2016. Złożony do publikacji. http://arxiv.org/abs/1603.07967.
czwartek, 28-04-2016 - 12:15, 602
Problemy wyjścia dla spadków i wzrostów procesów Lévy'ego w wycenie kontraktów ubezpieczeniowych.
Joanna Tumilewicz
/streszczenie w załączniku/
czwartek, 07-04-2016 - 12:15, 602
Paryskie problemy wyjścia dla rozszczepionego procesu Lévy'ego
Irmina Czarna

Podczas referatu zdefiniujemy tzw. rozszczepiony proces Lévy'ego, czyli proces, który zmienia swoje zachowanie w zależności czy jest powyżej czy poniżej z góry określonej bariery. Dla tego procesu wyznaczymy prawdopodobieństwo paryskiej ruiny oraz rozwiążemy tzw. jednostronne i dwustronne problemy wyjścia rozważane do momentu paryskiej ruiny. Przypomnijmy, że paryskie opóźnienie, oznacza zadany z góry, deterministyczny czas $r>0$, przez który badany proces Lévy'ego musi znajdować się w określonym położeniu: na przykład powyżej/poniżej pewnego poziomu (tak zwanej bariery). Natomiast paryska ruina to pierwszy moment kiedy rozważany proces ryzyka pozostaje poniżej zera dłużej niż ustalony horyzont czasowy $r>0$. Prezentowane rezultaty uogólniają te otrzymane w pracy [1]. Ponadto podczas referatu przeanalizujemy otrzymane formuły dla szczególnych przykładów procesów Lévy'ego.

[1] R. Loeffen, I. Czarna, Z. Palmowski, Parisian ruin probability for spectrally negative Lévy processes, Bernoulli 2013, Vol. 19, No. 2, 599-609.
czwartek, 17-03-2016 - 12:15, 602
Wykrywanie punktu zmiany w dwufazowym modelu typu Lévy'ego
Michał Krawiec
Rozważać będziemy proces $X_t$ ulegający zmianie w losowej, nieobserwowalnej chwili $\theta$ o zadanym z góry rozkładzie. To znaczy proces $X_t$ definiujemy w następujący sposób: $X_t = X_t^{(1)}$ dla $t<\theta$ oraz $X_t = X_t^{(2)}$ dla $t>\theta$, gdzie oba procesy $X_t^{(i)}$ ($i=1,2$) są zadanymi procesami Lévy'ego związanymi wykładniczą zamianą miary. Problem wykrywania punktu zmiany procesu rozpatrzymy pod kątem znalezienia optymalnego czasu zatrzymania $\tau$ minimalizującego kryterium postaci: $\inf\{P(\tau<\theta) + cE[(\tau-\theta)^+]\}$. Kluczową rolę dla rozwiązania problemu będzie miał proces $\pi_t$ oparty o prawdopodobieństwo a posteriori względem naturalnej filtracji generowanej przez $X_t$. Znajdziemy generator Markowskiego procesu $\pi_t$ oraz przy jego użyciu sprowadzimy problem optymalnej detekcji do rozwiązania pewnego problemu wariacyjnego równoważnego identyfikacji największego submartyngału spełniającego pewne warunki brzegowe. Powyższa analiza zostanie poparta przykładami związanymi z ruchem Browna i procesem Poissona.
czwartek, 10-03-2016 - 12:15, 602
Extremes of transient Gaussian fluid queues.
Peng Liu
Let $\{X(t),t\geq 0\}$ be a centered Gaussian process with stationary increments, a.s. continuous sample paths and variance function $\sigma^2(t)$. Given $c>0$, we consider the fluid queue \[ Q_x(t):=\max\left(x+X(t)-ct, \sup_{0\le s\le t}\left(X(t)-X(s)-c(t-s)\right)\right),\ \ \ t >0, \] where $X(t)-X(s)$ denotes the total inflow to the system in time interval $(s,t]t$, $c$ is the service rate and $x=Q_x(0)$ . The talk is focused on the asymptotic behaviour of $P(Q_x(T_u)>u) $ and $P(\sup_{t\in[0,T_u]} Q_x(t)>u) $ as $u\to \infty$.
czwartek, 25-02-2016 - 12:15, 602
Siegmund duality for Markov chains on partially ordered state spaces: Generalized Gambler's Ruin Problem
Paweł Lorek

For Markov chains on finite partially ordered state space we show that Siegmund dual exists if and only if the chain is Möbius monotone, in which case we give formula for its transitions. Exploiting the relation between ergodic Markov chain and its Siegmund dual we give a procedure for solving ruin-like problems. As main application we give solution for ruin probability in some Generalized Gambler's Ruin Problem. The generalization is two-folded: i) winning/losing probabilities depend on the  current capital; ii) it is multidimensional, i.e., involves many players.  We also show how to construct a Strong Stationary Dual chain (with link being truncated stationary distribution) by performing appropriate Doob transform of the Siegmund dual of time-reversed chain.

czwartek, 21-01-2016 - 12:15, 602
Wkład prof. C.Ryll-Nardzewskego do probabilistyki, w szczególności do procesów punktowych
Tomasz Rolski
czwartek, 14-01-2016 - 12:15, 602
Estimates of Dirichlet heat kernel for symmetric Markov processes.
Kyung-youn Kim

We consider a large class of symmetric pure jump Markov processes dominated by isotropic unimodal L$\acute{e}$vy processes with weak scaling conditions. We first establish sharp two-sided heat kernel estimates for these processes in $C^{1,\rho}$ open sets, $\rho \in (\overline{\alpha}/2, 1]$ where $\overline{\alpha}$ is the upper scaling parameter in the weak scaling conditions. As a corollary of our main result, we obtain a sharp two-sided Green function estimates and a scale invariant boundary Harnack inequality with explicit decay rates in $C^{1,\rho}$ open sets.

czwartek, 17-12-2015 - 12:15, 602
Smoothing transform and thin tails.
Piotr Dyszewski

Consider a (canonical) solution to the stochastic fixed point equation $X =^d \sum_{k=1}^NT_k X_k +C$, where $X, X_1, X_2 ...$ are iid random variables independent of the random vector $(C, T_1, T_2 ...)$. We will provide conditions on $(C, T_1 , T_2 ...)$ such that this solution exhibits right and/or left Poisson tails and the abscissa of convergence of its moment generating function can be determined. As a particular application, the right tail behavior of the Quicksort distribution is found. The talk is based on a joint work with Gerold Alsmeyer (University of Münster).

czwartek, 29-10-2015 - 12:15, 602
Limit theory for geometric statistics of clustering point processes
dr hab. Bartłomiej Błaszczyszyn

Let $\P$ be a clustering point process on $\R^d$ and let $\P_n:= \P \cap W_n$ be its restriction to windows $W_n \subset \R^d$. We consider the statistic $H_n^\xi:= \sum_{x \in \P_n} \xi(x, \P_n)$ where $\xi(x, \P_n)$ denotes a score function representing the interaction of $x$ with respect to $\P_n$. When $\xi$ depends on local data in the sense that its radius of stabilization is well controlled, we establish expectation asymptotics, variance asymptotics, and central limit theorems for $H_n^\xi$ as well as for the random measures $\sum_{x \in \P_n} \xi(x, \P_n) \delta_{n^{-1/d} x},$ as $W_n \uparrow \R^d$. This gives the limit theory for non-linear geometric statistics of determinantal point processes with fast decreasing kernels, including the Ginibre ensemble, extending the Gaussian fluctuation results of Soshnikov to non-linear statistics. It also gives limit theory for geometric statistics of permanental input as well as the zero set of Gaussian entire functions, extending the central limit theorems of Nararov and Sodin, which are also confined to linear statistics. In this way we obtain limit theory for statistics of simplicial complexes, Morse critical points, germ-grain models, and random graphs whenever the input is clustering. Our approach depends on a factorial moment expansion introducef by Blaszczyszyn in 1995 for expected values of functions of general point processes.

czwartek, 15-10-2015 - 12:15, 602
Branching Random Walks, Stable Point Processes and a Conjecture of Brunet and Derrida.
Ayan Bhattacharya

Stable point processes were introduced and characterized by Davydov, Molchanov and Zuyev (2008). They showed that such point processes can always be represented as a scale mixture of iid copies of one point process with the scaling points coming from an independent Poisson random measure. We obtain such a point process as a weak limit of a sequence of point processes induced by a branching random walk with regularly varying displacements. In particular, we show that a conjecture of two physicists, Brunet and Derrida (2011), remains valid in this setup, and recover a result of Durrett (1983). This talk is based on a joint work with Rajat Subhra Hazra and Parthanil Roy.

czwartek, 14-05-2015 - 12:15, 602
On optimal dividend problem for an insurance risk models with surplus-dependent premiums
Zbigniew Palmowski

In this talk we present an optimal dividend distribution problem for an insurance company with surplus-dependent premium. In the absence of dividend payments, such a risk process is a particular case of so-called piecewise deterministic Markov processes. The control mechanism chooses the size of dividend payments. The objective is to maximize the sum of the expected cumulative discounted dividend payments received until the time of ruin and a penalty payment at the time of ruin which is an increasing function of the size of the shortfall at ruin. A complete solution is presented to the corresponding stochastic control problem. We identify the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation and nd necessary and su cient conditions for optimality of a single dividend-band strategy, in terms of particular Gerber-Shiu functions. A number of concrete examples are analyzed.

Subskrybuj Seminar items