q-wyznaczniki i grafy macierzy

Streszczenie: $q$-wyznacznik definiujemy jako $$ det_q(A)=\sum_{\sigma\in S_n}q^{inv(\sigma)}a_{1\sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)}. $$ Wspomnimy o kilku jego istotnych własnościach (np. dodatnia określoność). Skupimy się na rozwinięciu q-wyznacznika względem cykli w grafie skierowanym $D(A)$ dla macierzy $A$. $(i,j)$ jest krawędzią w $D(A)$ gdy $a_ij$ jest różne od $0$ w $A$. Rozszerza to, przy dodatkowym założeniu, analogicznie rozwinięcie dla wyznacznika i pozwala na pokazanie monotoniczności $q$-wyznacznika dla $q$ pomiędzy $-1$ i $1$, dla macierzy dodatnio określonych których graf nieskierowany $G(A)$ jest drzewem. Wspomnimy, kiedy rozwinięcie to działa dla "kolorowego" $q$-wyznacznika, zależnego od liczby różnych generatorów permutacji.