Dyskretna analiza harmoniczna i niekomutatywna probabilistyka

Niech $G=(V,E)$ będzie spójnym grafem prostym. Zanurzeniem kwadratowym nazywamy takie odwzorowanie $\varphi: V \to H$, że dla wszystkich $x,y \in V$ spełniony jest warunek $$\|\varphi(x) - \varphi(y)\|^2=d(x,y),$$ gdzie $(H,\|\cdot\|)$ jest pewną przestrzenią Hilberta, a $d(x,y)$ to odległość grafowa. Mówimy, że graf jest klasy QE, jeśli spełnia zanurzenie kwadratowe, w przeciwnym razie jest klasy non-QE. Ponadto, graf klasy non-QE jest nazywany primary, jeśli nie zawiera izometrycznie zanurzalnego podgrafu właściwego klasy non-QE. Pokażemy, że dla każdej liczby wierzchołków większej, bądź równej 5 istnieje graf primary. Wykład oparty na wspólnej pracy z Wojciechem Młotkowskim i Michałem Wojtylakiem.

Znany od lat 30. XX wieku wzór Levy'ego-Chinczyna umożliwia klasyfikację generatorów procesów Levy'ego na $\mathbb{R}^n$ i w szczególności pokazuje, że rozkładają się one na część ciągłą (gaussowską) i część skokową. W swoim referacie omówię problem istnienia analogicznego rozkładu dla generatorów procesów Levy'ego na $*$-bialgebrach i zwartych grupach kwantowych. Okazuje się, że jeśli grupa kwantowa ma tzw. własność (AI), to będzie także miała rozkład Levy'ego-Chinczyna.

I will carefully introduce "quantum graphs", perhaps better "noncommutative graphs", which can be viewed in a number of different ways. Firstly, they arise as certain "quantum relations" in the sense of Weaver. Secondly, as "quantum adjacency matrices", certain operators on finite-dimensional $C^*$-algebras. Thirdly, as projections in certain tensor product algebras. I will give an account of how these different pictures are bijective. We will then discuss automorphisms and quantum automorphisms of such objects.

Free probability of type $B$ was invented by Biane-Goodman-Nica, and then it was generalized by Belinschi-Shlyakhtenko and Février-Nica to infinitesimal free probability. The latter found its applications to eigenvalues of perturbed random matrices in the work of Shlyakhtenko and Cébron-Dahlqvist-Gabriel. This paper offers a new framework, called ``free probability of type $B$ prime'', which appears in the large size limit of independent unitarily invariant random matrices with perturbations. Our framework is related to boolean, free, (anti)monotone, cyclic-(anti)monotone, and conditionally free independences. We then apply the new framework to the principal minor of unitarily invariant random matrices, which leads to the definition of a multivariate inverse Markov-Krein transform. This talk is based on a joint work with Katsunori Fujie.

W referacie podamy wersję operatorową nierówności Chinczyna ze wspołczynnikami operatorowymi. Pokażemy ją dla szerokiej klasy zmiennych losowych typu Gaussowskiego jak: Wolne, Kestena, t-transformacje, s-transformacje Yoshidy z zastosowaniami do zmiennych q-Gaussowskich ciągłych i dyskretnych związanych z wielomianami q-Hermite'a typu ciągłego i dyskretnego. Jako zastosowanie pokażemy że algebry von Neumanna generowane przez te zmienne są nie injektywnymi algebrami czyli w algebrach grupowych von Neumannna VN(G) są to dokladnie grupy grupy bez średnich Banacha (non-amenable groups).

W referacie przestawię pewną konstrukcje operatorów typu Poissona oraz ich związków z kumulantami typu B.

W referacie przestawię pewną konstrukcje operatorów typu Poissona oraz ich związków w kumulantami typu B.

Streszczenie: $q$-wyznacznik definiujemy jako $$ det_q(A)=\sum_{\sigma\in S_n}q^{inv(\sigma)}a_{1\sigma(1)}\ldots a_{n\sigma(n)}. $$ Wspomnimy o kilku jego istotnych własnościach (np. dodatnia określoność). Skupimy się na rozwinięciu q-wyznacznika względem cykli w grafie skierowanym $D(A)$ dla macierzy $A$. $(i,j)$ jest krawędzią w $D(A)$ gdy $a_ij$ jest różne od $0$ w $A$. Rozszerza to, przy dodatkowym założeniu, analogicznie rozwinięcie dla wyznacznika i pozwala na pokazanie monotoniczności $q$-wyznacznika dla $q$ pomiędzy $-1$ i $1$, dla macierzy dodatnio określonych których graf nieskierowany $G(A)$ jest drzewem. Wspomnimy, kiedy rozwinięcie to działa dla "kolorowego" $q$-wyznacznika, zależnego od liczby różnych generatorów permutacji.

W referacie opiszemy zachowanie się symetryzatorów postaci $$P(\alpha,q) (x) = \alpha^{l_{1}(x)} q^{l_{2}(x))},$$ dla pewnych naturalnych długości $l(i) ,i=1,2$, na grupie $B(n)$ . Zbadamy kiedy te symetryzatory sa odwracalne i podamy zastosowania do konstrukcji nowych przestrzeni Focka. Podamy zwiazki z przestrzeniami q-Focka i przestrzeniami t-Focka,ktore badalismy z Januszem Wysoczanskim. Beda tez problemy z tej tematyki. Praca wspolna z Wiktorem Ejsmontem.

W czasie referatu opowiem o tym, jak można wyznaczyć grupy kohomologii Hochschilda uniwersalnych unitarnych grup kwantowych U+(F) (F jest odwracalną macierzą zespoloną), znając rozkład kojedynki (resolution of the counit) dla grupy kwantowej O+E (podaną przez J. Bichon w 2013). Będę prezentować wyniki uzyskane wspólnie z I.~Baraquinem, U.~Franzem, M.~Gerholdem i M.~Tobolskim.

I will talk about the limit of weighted sums of Boolean commutators and anticommutators and I will show that the shifted generalized tangent function appears in a limit theorem. In the way of proof I will present a formula for the Boolean cumulants of quadratic forms which exhibits an interesting connection to the isomorphism between interval partitions of r+1 elements with special kind of interval partitions of 2r points. I will show that this result can be apply to obtain a several theorems about quadratic forms in the Boolean probability theory.

In the first part of the talk I will report on a recent non-isomorphism result for q-Gaussian von Neumann algebras (and C*-algebras). The main result (due to Caspers) is that the q-Gaussian von Neumann algebra is not isomorphic to the free group factor in the case of infinitely many generators. I will also discuss a version of this non-isomorphism for the corresponding C*-algebras (due to Borst, Caspers, Klisse, and myself). In the second part of the talk I will present a recent complete solution to the factoriality problem of q-Araki-Woods algebras, the non-tracial version of the q-Gaussian algebras, obtained in collaboration with Kumar and Skalski. Our approach combines results of Miyagawa and Speicher about conjugate variables for q-Gaussian variables and abstract von Neumann algebraic results of Nelson.

W referacie przedstawione zostaną nowe rezultaty dotyczące obciętych ciągów momentów na przedziałach $(0,1]$ oraz $(0, \infty)$. W szczególności, podamy charakteryzacje wstecznych rozszerzeń dla takich ciągów. Jako przykład zastosowania przedstawionej teorii zaprezentujemy rozwiązanie problemu subnormalnych oraz całkowicie hiperekspansywnych uzupełnień przesunięć ważonych na drzewach skierowanych z jednym punktem rozgałęzienia. Referat na podstawie wyników własnych: M. Buchała, "Subnormal and completely hyperexpansive completion problem for weighted shifts on directed trees", https://arxiv.org/abs/2207.01593

Celem odczytu będzie zaprezentowanie, w jaki sposób metody martyngałowe prowadzą do nierówności dla pewnej klasy mnożników Fourierowskich na wybranych algebrach grupowych. W szczególności, przedyskutujemy oszacowania w L^p dla transformaty Hilberta na grupie wolnej.

W referacie przedstawię wyniki dotyczące ogólnej metody wyznaczania warunkowych wartości oczekiwanych rezolwent wielomianów zależnych od wektora wolnych zmiennych losowych. Znajdowanie warunkowych wartości oczekiwanych funkcji od wektora niezależnych zmiennych losowych odpowiada całkowaniu po rozkładzie odpowiedniego podwektora, stąd wynik dotyczący funkcji od wektora wolnych zmiennych losowych może być interpretowany jako "wolny rachunek całkowy".

Przedstawiona zostanie konstrukcja kumulant nowego typu, które nazwałem kumulantami Motzkina, odpowiadające im kraty partycji oraz twierdzenie o rozkładzie kumulant wolnych na kumulanty Motzkina.

We investigate the Poisson type limit distribution with respect to the vacuum state of a family of partial sums of non-symmetric position operators under an appropriate scaling on the free toy Fock space. We give a formula for the vacuum moment in relation with the combinatorics of non-crossing partitions with pair or singleton blocks. We show that the vacuum distribution of any single operator has two-points law, whereas, the asymptotic measure associated to the limit of the partial sums of these operators is shown to belong to the free Meixner law with an atomic and an absolutely continuous part.

Given a finite group G and a field k, there are two natural ways to construct a Hopf algebra out of it: the group ring kG and the function algebra Map(G,k). The former gives a covariant functor and the latter yields a contravariant functor. In this spirit, assigning different types of graph algebras to directed graphs leads to both covariant and contravariant functors for each type of graph algebras. Unlike in the case of groups, the difference between the covariant and the contravariant scenarios is only in the way morphisms of graphs induce homomorphisms of algebras, while the objects (graph algebras) are the same. The first aim of this talk is to show optimal assumptions on categories of directed graphs making the constructions of path algebras, Cohn path algebras and Leavitt path algebras covariantly or contravariantly functorial. Our second goal is to explain how to apply the contravariant-functoriality results to obtain optimal pushout-to-pullback theorems, i.e. to unravel when applying contravariant functors to pushouts of graphs produces pullbacks of various graph algebras. Finally, I will hint at applications of all this to the noncommutative topology of graph C*-algebras. (This talk is partially based on joint work with Mariusz Tobolski and Alexander Frei.)

After a minicouse on simplicial sets I will explain how they can be extended to duplicial and the closely related paracyclic ones and why I and a few others care about these. The main topic will then be one possible answer to the question why these more exotic index categories are self-dual while the simplicial category is not. [Based on joint work with John Boiquaye and Philipp Joram].

W abstrakcyjnej definicji C*-algebry zwartej grupy kwantowej Woronowicza iniektywność komnożenia nie jest założona, ale powstała hipoteza, że wynika ona z innych założeń. Kontrprzykładów dla tej hipotezy dostarczają produkty wolne zwartych grup kwantowych wprowadzone przez Wanga. W moim referacie przedstawię dowód, że w przypadku zredukowanej C*-algebry grupowej grupy wolnej na dwóch generatorach problem ten można ominąć przez rozważenie zredukowanego produktu wolnego. Następnie przedstawię definicję zredukowanego złącza zwartych grup kwantowych jako pierwszy krok do zdefiniowania nieprzemiennej przestrzeni klasyfikującej zwartej grupy kwantowej. Pokażę też jak przedstawiona konstrukcja może zostać wykorzystana do sformułowania nowej nieprzemiennej hipotezy typu Borsuka--Ulama sformułowanej przez Bauma, Dąbrowskiego i Hajaca.

We prove a characterisation of the generators of k-positive linear maps on M_n.

The theory of quantum groups/Hopf algebras can be motivated and approached in many ways. This talk is designed as a survey talk and I will present the maybe most elementary one that focuses on actions on rings and avoids the use of tensor products. Towards the end I will sketch the results of a series of joint papers with my PhD students Angela Tabiri, Manuel Martins and Blessing Oni in which we study quantum groups acting on the commutative coordinate rings of singular plane curves.

Young diagrams and Young tableaux are combinatorial objects related to the representation theory of the *finite* symmetric groups $S_n$. Some problems related to the representation theory of the *infinite* symmetric group $S_\infty$ can be naturally expressed in the language of *random* Young diagrams and *Markov chains* on the set of Young diagrams. The Robinson-Schensted algorithm is a convenient tool for generating such random Young diagrams. What can we say about the output of the Robinson-Schensted algorithm applied to a random input?

The star product and comb product of finite graphs is simple enough to allow the explicit calculation spectra, Green's functions and various other parameters. The extension of these formulas to infinite dimensions leads to the abstract notions of cyclic Boolean and monotone independence. The talk reviews the basic aspects of cyclic Boolean independence which we found so far in joint work with O.Arizmendi and T.Hasebe.

The standard approach to dynamical random matrix models relies on the description of trajectories of eigenvalues. Using the analogy from optics, based on the duality between the Fermat principle (rays) and the Huygens principle (wavefronts), we formulate the Hamilton-Jacobi dynamics for large random matrix models, and we relate this dynamics to Voiculescu equation. The resulting formalism describes a broad class of random matrix models in a unified way, including normal (Hermitian or unitary) as well as strictly non-normal dynamics. HJ formalism applied to Brownian bridge dynamics allows one for calculations of the asymptotics of the Harish-Chandra-Itzykson-Zuber integrals.

Graph C*-algebras are universal C*-algebras associated with directed graphs that generalize Cuntz--Krieger algebras. Many examples of C*-algebras turn out to be graph C*-algebras, e.g. matrix algebras, the Toeplitz algebra, the Cuntz algebras, the C*-algebra of compact operators on a separable Hilbert space, q-deformed spheres, q-deformed projective spaces, q-deformed lens spaces. The advantage of this class of C*-algebras is that many of their properties, like simplicity or classification of certain ideals, can be described purely in terms of the underlying graph. There is a natural U(1)-action, called the gauge action, on every graph C*-algebra. In my talk, I will concentrate on this action and its restriction to finite subgroups from the perspective of the recently introduced local-triviality dimension of the action. I will illustrate all results in particular examples.

We discuss various aspects of positive kernel method of quantization of the one-parameter groups $\tau_{t} \in Aut(P, v)$ of automorphisms of a G-principal bundle $P(G, \pi, M)$ with a fixed connection form $v$ on its total space $P$. We show that the generator $\hat{F}$ of the unitary flow $U_{t}= e^{it\hat{F}}$ being the quantization of $\tau_{t}$ is realized by a generalized Kirillov-Kostant-Souriau operator whose domain consists of sections of some vector bundle over $M$, which are defined by suitable positive kernel on $P \times P$. This method of quantization applied to the case when $G = GL(N, \mathbb{C})$ and $M$ is a non-compact Riemann surface leads to quantization of the arbitrary holomorphic flow $\tau_{t}^{hol}\in Aut(P, v)$. For the above case, we present the integral decompositions of the positive kernels on $P × P$ invariant with respect to the flows $\tau_{t}^{hol}$ in terms of spectral measure of $\hat{F}$. These decompositions generalize the ones given by Bochner theorem for a positive kernels on $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ invariant with respect to the one-parameter groups of translations of complex plane.

W referacie zostanie zaprezentowana dokładna postać V-monotonicznego standardo- wego rozkładu gaussowskiego (a konkretnie jego gęstości, gdyż jest to miara absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a na prostej). Wyjdziemy od funkcji tworzącej momenty, która została uzyskana w pracy „V-monotone independence”, a następnie skonstruuje- my analityczne rozszerzenie transformaty Cauchy’ego do górnej półpłaszczyzny. Ze wzoru odwrócenia Stieltjesa otrzymamy gęstość, przy okazji udowadniając bezatomowość miary.

I will talk about indecomposability results for von Neumann algebras. First I will describe Ozawa's fundamental contribution: the notion of solidity and how it is implied by the Akemann-Ostrand property. I will also discuss the notion of strong solidity introduced by Ozawa and Popa; it can be obtained using a strengthening of the Akemann-Ostrand combined with completely bounded approximation property. The Akemann-Ostrand property for group von Neumann algebras is typically proved using boundary actions. I plan to present a more analytic approach utilising quantum Markov semigroups. It turns out that existence of a sufficiently nice quantum Markov semigroup allows to prove the Akemann-Ostrand property. I will give an outline of a proof and provide examples to which this result can be applied, focusing on the q-Gaussian algebras. I will conclude with some related open problems. Based on joint work with Martijn Caspers and Yusuke Isono.

We define and study a spatial (infinite-dimensional) counterpart of Stirling numbers. In classical combinatorics, the Pochhammer symbol $(m)_n$ can be extended from a natural number $m\in\mathbb N$ to the falling factorials $(z)_n=z(z-1)\dotsm (z-n+1)$ of an argument $z$ from $\mathbb F=\mathbb R\text{ or }\mathbb C$, and Stirling numbers of the first and second kinds are the coefficients of the expansions of $(z)_n$ through $z^k$, $k\leq n$ and vice versa. When taking into account spatial positions of elements in a locally compact Polish space $X$, we replace $\mathbb N$ by the space of configurations---discrete Radon measures $\gamma=\sum_i\delta_{x_i}$ on $X$, where $\delta_{x_i}$ is the Dirac measure with mass at $x_i$. The spatial falling factorials $(\gamma)_n:=\sum_{i_1}\sum_{i_2\ne i_1}\dotsm\sum_{i_n\ne i_1,\dots, i_n\ne i_{n-1}}\delta_{(x_{i_1},x_{i_2},\dots,x_{i_n})}$ can be naturally extended to mappings $M^{(1)}(X)\ni\omega\mapsto (\omega)_n\in M^{(n)}(X)$, where $M^{(n)}(X)$ denotes the space of $\mathbb F$-valued, symmetric (for $n\ge2$) Radon measures on $X^n$. There is a natural duality between $M^{(n)}(X)$ and the space $\mathcal {CF}^{(n)}(X)$ of $\mathbb F$-valued, symmetric continuous functions on $X^n$ with compact support. The Stirling operators of the first and second kind, $\mathbf{s}(n,k)$ and $\mathbf{S}(n,k)$, are linear operators, acting between spaces $\mathcal {CF}^{(n)}(X)$ and $\mathcal {CF}^{(k)}(X)$ such that their dual operators, acting from $M^{(k)}(X)$ into $M^{(n)}(X)$, satisfy $(\omega)_n=\sum_{k=1}^n\mathbf{s}(n,k)^*\omega^{\otimes k}$ and $\omega^{\otimes n}=\sum_{k=1}^n\mathbf{S}(n,k)^*(\omega)_k$, respectively. In the case where $X$ has only a single point, the Stirling operators can be identified with Stirling numbers. We derive combinatorial properties of the Stirling operators, present their connections with a generalization of the Poisson point process and with the Wick ordering under the canonical commutation relations. The talk is based on a joint paper with Dmitri Finkelshtein (Swansea), Yuri Kondratiev (Bielefeld) and Maria Joao Oliveira (Lisbon).

Klasyczny promień numeryczny operatora T:H-->H ograniczonego na przestrzeni Hilberta H jest określony jako supremum liczb ||, wziętych po wszystkich wektorach jednostkowych x w przestrzeni H. W 2009 Gelu Popescu wprowadził pojęcie wspólnego promienia numerycznego dla n operatorów RF(T(1),… ,T(n)), działających na tej samej przestrzeni Hilberta. Definicja ta jest związana z operatorami kreacji na wolnej przestrzeni Focka. W moim referacie przedstawię nowe, analogiczne, definicje i własności dwóch rodzajów promieni numerycznych dla n operatorów: 1. wspólny monotoniczny promień numeryczny RM(T(1), …, T(n)) związany z operatorami kreacji na słabo monotonicznej przestrzeni Focka oraz 2. wspólny boole’owski promień numeryczny RB(T(1), …, T(n)) związany operatorami kreacji na boole’owskiej przestrzeni Focka. Referat będzie na podstawie wspólnej pracy z Anią Wysoczańską-Kulą.

We explain the concept of characters of the symmetric group with the approximate factorization property, introduced by Biane and developed by Śniady, and its role in the study of the asymptotic behavior of large Young diagrams. We discuss how to extend these ideas to study the asymptotic behavior of deformed Young diagrams, which arise from classical deformations of symmetric functions.

We investigate a number of asymptotic questions related to Robinson-Schensted algorithm applied to a random input and show that the answer for each of themis given by the Poisson process. The first problem concerns the growth of the bottom rows of the Young diagram  which is subject to Plancherel growth process.The second problem concerns the evolution in time of the position of the box with a specified number in the insertion tableau as new numbers are insertedinto the tableau. The third problem concerns the shape of the bumping route when a specified number is inserted into a large Plancherel-distributed tableauand, in particular, the number of the row in which the bumping route enters aspecified column 

W referacie omówię wyniki dotyczące centralnego twierdzenia granicznego. Zostanie podana transformata Cauchy'ego-Stieltjesa V-monotonicznego standardowego rozkładu gaussowskiego oraz część absolutnie ciągła tej miary. Jeśli czas pozwoli, to przejdę do V-monotonicznego poissonowskiego twierdzenia granicznego.

The main result of this talk is a contribution to a popular problem from classical calculus of trigonometric function, namely the evaluation of sums integer powers of the cotangent in closed form and a combinatorial analysis of the coeffcients of the resulting polynomial expressions. These turn out to be positive integer valued polynomials with interesting combinatorial properties. Our main observation is that the cotangent values are the eigenvalue of a simple self-adjoint matrix and therefore the trace method is applicable.

Rozkładem Fussa-Catalana o parametrach $p,r$ nazywam taką miarę $mu(p,r)$ na prostej rzeczywistej dla której ciąg momentów to ciąg Fussa-Catalana o parametrach $p,r$ czyli ciąg $\binom{np+r}{n}\frac{r}{np+r}$. Wiadomo, że taka miara istnieje jeśli $p\ge1$ i $0\le r\le p$. We wspólnej pracy z Noriyoshi Sakumą i Yuki Uedą badamy takie własności rozkładów $mu(p,r)$ jak unimodalność, wolną nieskończoną podzielność i wolną samorozkładalność.

W referacie przypomnimy pojęcie V-monotonicznej niezależności, sformułujemy odpowiednie centralne twierdzenie graniczne oraz omówimy jego kombinatorykę. Zostanie przedstawione podejście do uzyskania rekurencji na momenty parzystego rzędu standardowego V-monotonicznego rozkładu gaussowskiego (przy pomocy odpowiednich operatorów gaussowskich określonych na tzw. ciągłej V-monotonicznej przestrzeni Focka). Z tej rekurencji, rozwiązując odpowiednie zagadnienie początkowe, na które składa się równanie różniczkowe zwyczajne typu Abela (II-go rodzaju), otrzymuje się funkcję tworzącą momenty tego rozkładu w postaci uwikłanej oraz, co za tym idzie, jego część absolutnie ciągłą (także w postaci uwikłanej).

Operatory kreacji i anihilacji na słabo monotonicznej przestrzeni Focka są częściowymi izometriami. W referacie podam własności C*-algebry, którą generują. Opiszę także jej maksymalną abelową C*-podalgebrę (MASA). Dla tej MASA pokażę w jaki sposób można scharakteryzować jej przestrzeń Gelfanda czyli spektrum.

We will present relations between positive definite kernels (also operator valued) and classical and quantum Gaussian processes following the paper of Yanqui Qiu - "On a result of Bozejko on extension of positive definite kernels" - arXiv - 2019 and Bull. London Math.Soc 2019 and the results of E.Hirai, T.Hirai and A.Hora and M.Guta and myself on Thoma representations of central positive definite functions on Coxeter groups of type A and B, i.e. on permutations group and sign-permutation group on infinite many letters.

Historically, complex dynamics and geometrical function theory have been intensively developed from the beginning of the twentieth century. They provide the foundations for broad areas of mathematics. In the last fifty years the theory of holomorphic mappings on complex spaces has been studied by many mathematicians with many applications to nonlinear analysis, functional analysis, differential equations, classical and quantum mechanics. The laws of dynamics are usually presented as equations of motion which are written in the abstract form of a dynamical system: ((dx)/(dt))+f(x)=0, where x is a variable describing the state of the system under study, and f is a vector-function of x. The study of such systems when f is a monotone or an accretive (generally nonlinear) operator on the underlying space has been recently the subject of much research by analysts working on quite a variety of interesting topics, including boundary value problems, integral equations and evolution problems. There is a long history associated with the problem on iterating holomorphic mappings and their fixed points, the work of G. Julia, J. Wolff and C. Carathéodory being among the most important. In this talk we give a brief description of the classical statements which combine celebrated Julia's Theorem in 1920 , Carathéodory's contribution in 1929 and Wolff's boundary version of the Schwarz Lemma in 1926 and their modern interpretations. Also we present some applications of complex dynamical systems to geometry of domains in complex spaces and operator theory.

In this talk, we will first present a result from Diaconis, Shahshahani and Evans. Let M be a random matrix chosen from the unitary group $U(n)$ and distributed according to the Haar measure. Then, for $j\in \mathbb N$, ${\rm Tr}(M^j)$ are independent and distributed as some complex Gaussian random variables when $n\to \infty$. We will look at this type of result in the framework of finite quantum groups and then in the unitary dual group.

Referat odbędzie się w ramach projektu Polonium, współfinansowanego przez Narodową Agencję Wymiany Akademickiej (NAWA).

Let $H$ be a separable Hilbert space and $T$ be a self-adjoint bounded linear operator on $H^{\otimes 2}$ with norm $\le1$, satisfying the Yang-Baxter equation. Bożejko and Speicher (1994) proved that the operator $T$ determines a $T$-deformed Fock space $\mathcal F(H)=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathcal F_n(H)$. We start with reviewing and extending the known results about the structure of the $n$-particle spaces $\mathcal F_n(H)$ and the commutation relations satisfied by the corresponding creation and annihilation operators acting on $\mathcal F(H)$. We then choose $H=L^2(X\to V)$, the $L^2$-space of $V$-valued functions on $X$. Here $X:=\mathbb R^d$ and $V:=\mathbb C^m$ with $m\ge2$. Furthermore, we assume that the operator $T$ acting on $H^{\otimes 2}=L^2(X^2\to V^{\otimes 2})$ is given by $(Tf^{(2)})(x,y)=C_{x,y}f^{(2)}(y,x)$. Here, for a.a.\ $(x,y)\in X^2$, $C_{x,y}$ is a linear operator on $V^{\otimes 2}$ with norm $\le1$ that satisfies $C_{x,y}^*=C_{y,x}$ and the spectral quantum Yang-Baxter equation. The corresponding creation and annihilation operators describe a multicomponent quantum system. A special choice of the operator-valued function $C_{xy}$ in the case $d=2$ is associated with plektons. For a multicomponent system, we describe its $T$-deformed Fock space and the available commutation relations satisfied by the corresponding creation and annihilation operators. Finally, we consider several examples of multicomponent quantum systems. This is joint work with A. Daletskii, A. Kalyuzhny and D. Proskurin.

Quantum increasing sequences were introduced by S. Curran to characterize free amalgamated independence of an infinite sequence of random variables (over the tail algebra) by means of the so-called quantum spreadability. This is a de Finetti type theorem that in the classical case was first established by C. Ryll-Nardzewski, but the assumptions are formally weaker. The plan of the talk is to discuss the connection of this structure to quantum permutation groups and describe in full generality the quantum subgroups generated by them. This is done by establishing a certain inductive-type framework for generation in quantum groups, a combinatorial description of quantum permutation groups by means of Temperley-Lieb diagrams and recent resolution of Banica's conjecture: there is no intermediate quantum group satisfying $S_5\subset\mathbb{G}\subset S_5^+$.

Przedstawię konstrukcję, która sprowadza niezależność warunkowo monotoniczną Hasebe do niezależności tensorowej. Wynik ten zastosuję do zdefiniowania nowego produktu grafów, związanego z warunkowo monotonicznym splotem miar probabilistycznych ma prostej. Będzie to kontynuacja referatu z dnia 21.03.2019.

Kontynuacja referatu z dnia 28 lutego.

Będziemy rozważać procesy miar empirycznych związanych z wartościami własnymi rozwiązań bardzo ogólnych macierzowych równań różniczkowych. Zbadamy ich zachowanie asymptotyczne w przypadku, gdy rozmiar macierzy rośnie do nieskończoności. Pokażemy ciasność rozważanych rodzin miar przy bardzo ogólnych założeniach na współczynniki odpowiadających im stochastycznych równań różniczkowych. Scharakteryzujemy rozkłady graniczne słabo zbieżnych podciągów jako rozwiązania równań całkowych. Wyniki te posłużą do wyznaczenia klas uniwersalności dla macierzowych procesów stochastycznych. Pokażemy także pewne nowe zjawiska tj. istnienie uogólnionych rozkładów Marchenko-Pastura o nośniku na całej prostej. Wskażemy związek otrzymanych wyników z wolną probabilistyką dowodząc zbieżności badanych obiektów do wolnych dyfuzji. Wyniki pochodzą ze wspólnej pracy z José Luisem Pérezem (CIMAT, Meksyk). Preprint pracy można znaleźć na arXiv pod poniższym linkiem https://arxiv.org/abs/1901.02841.

We revisit the notion of relative entropy for both classical and quantum systems, and provide some new descriptions of this notion, respectively based on the theories of the Connes cocycle derivative, and noncommutative $L^p$-spaces. We then introduce the notion of entropy for a single state of a general quantum system, and show that this notion agrees with von Neumann entropy in the case of semifinite von Neumann algebras.In closing we investigate the relationship between this notion of entropy and relative entropy, and identify an Orlicz space which forms the home for all states with ``good'' entropy. This is a joint work with Adam Majewski.

We obtained some one-to-one correspondences of invariant quantum Markov semigroups acting on expected coideal *-subalgebras and certain convolution semigroups of states on the underlying compact quantum group. This gives an approach to classifying invariant quantum Markov semigroups on these quantum homogeneous spaces. The classical sphere $S^{N-1}$, the free sphere $S^{N-1}_+$, and the half-liberated sphere $S^{N-1}_*$ are considered as examples. On these spheres, we classifying the generators of the invariant quantum Markov semigroups by calculating their eigenvalues and eigenvector spaces. The generators obtained in this way can naturally be viewed as Laplace operators on these spaces.

Referat odbędzie się w ramach projektu Polonium, współfinansowanego przez Narodową Agencję Wymiany Akademickiej (NAWA).

A Schur multiplier on a set $X$ is a function $\varphi:X\times X\to\mathbb{C}$ defining a map $M_\varphi$ on the algebra of bounded operators on $\ell_2(X)$ by $\langle M_\varphi(T)\delta_y,\delta_x\rangle=\varphi(x,y)\langle T\delta_y,\delta_x\rangle$, for all $T\in\mathcal{B}(\ell_2(X))$. In this talk, I will focus on the particular case when $X$ is (the set of vertices of) a graph and the function $\varphi$ depends only on the distance between each pair of vertices. Such functions are said to be radial. For homogeneous trees, radial Schur multipliers were characterised by Haagerup, Steenstrup and Szwarc by the fact that a certain Hankel matrix belongs to the trace class. I will present some extensions of this result to larger classes of graphs: products of trees, CAT(0) cube complexes and products of hyperbolic graphs. The study of such graphs is motivated by some results on weak amenability for groups acting on them.

We will discuss noncommutative versions of the Central Limit Theorem. We will describe the general ideas behind such constructions, along with several recent examples and some current work in progress. Parts of this talk will be based on recent joint work with W. Ejsmont.

Kontynuacja referatu z dnia 22 listopada.

Omówię paradoksy związane z trajektoriami $x_n := T_n \ldots T_1 x_0$ dla $n \in \mathbb{N}$, gdy $(T_1,T_2,\ldots)$ przebiega ciągi o wyrazach w skończonym zbiorze kontrakcji $\{Q_1,\ldots ,Q_k \}$, w ustalonej przestrzeni Hilberta \textit {H}. Silne metody dają twierdzenia o dylatacjach. Gdy $Q_1, \ldots ,Q_k$ należą do algebry von Neumanna $\mathcal{M}$, decydującą rolę odgrywa istnienie śladu skończonego $\tau$ na $\mathcal{M}$.

Punktem wyjścia referatu jest twierdzenie Wolda, zarówno w pierwotnej wersji dotyczącej procesów stochastycznych jak i w abstrakcyjnej teorio-operatorowej wersji. Podczas referatu przyjrzymy się późniejszym analogicznym wynikom dotyczącym dwuwymiarowych pól losowych jak i niezależnie uzyskiwanym rezultatom dotyczącym rozkładów par izometrii na przestrzeni Hilberta. Przedstawimy znaczenie wyników, uzyskanych w ramach Teorii Operatorów, dla Procesów Stochastycznych i vice versa.

This is the spectral analysis of the Schrödinger operator $H=L-V$ , the perturbation of the Taibleson-Vladimirov multiplier $L=D^{\alpha}$ by a potential $V$. Assuming that $V$ belongs to a class of fast decreasing potentials we show that the discrete part of the spectrum of $H$ may contain negative energies, it also appears in the spectral gaps of $L$. We will split the spectrum of $H$ in two parts: high energy part containing eigenvalues which correspond to the eigenfunctions located on the support of the potential $V$, and low energy part which lies in the spectrum of certain bounded Schrödinger operator acting on the Dyson hierarchical lattice. The spectral asymptotics strictly depend on the transience versus recurrence properties of the underlying hierarchical random walk. In the transient case we will prove results in spirit of CLR theory, for the recurrent case we will provide Bargmann's type asymptotics.

We have two mathematical approaches to chiral conformal field theory. One is theory of vertex operator algebras and started with the Moonshine conjecture. The other is algebraic quantum field theory based on operator algebras. We will show how to relate the two theories directly for the first time.

We introduce a class of graphs called trimmable. Then we show that the Leavitt path algebra of a trimmable graph is graded-isomorphic to a pullback algebra of simpler Leavitt path algebras and their tensor products. Next, specializing the ground field to the field of complex numbers and completing Leavitt path algebras to graph C*-algbras, we prove that the graph C*-algebra of a trimmable graph is $U(1)$-equivariantly isomorphic with an appropriate pullback C*-algebra. As a main application, we consider a trimmable graph yielding the C*-algebra $C(S^{2n+1}_q)$ of the Vaksman-Soibelman quantum sphere, and use the resulting pullback structure of its gauge invariant subalgebra $C(CP^n_q)$ defining the quantum complex projective space to show that the generators of the even K-group of $C(CP^n_q)$ are given by a Milnor connecting homomorphism applied to the (unique up to sign) generator of the odd K-group of $C(S^{2n-1}_q)$ and by the generators of the even K-group of $C(CP^{n-1}_q)$. Based on joint works with Francesco D'Andrea, Atabey Kaygun and Mariusz Tobolski.

I will discuss a realization of the limit joint *-distributions of complex independent Gaussian random matrices in terms of suitably defined creation and annihilation operators living in some direct integral of Hilbert spaces. These operators are decomposed in terms of continuous circular systems of operators acting between the fibers of the considered Hilbert space. This approach leads to a bijective proof of the formula for *-moments of the triangular operator of Dykema and Haagerup, using the enumeration formula of Chauve, Dulucq and Rechnizter for alternating ordered rooted trees.

Pokażę, jak za pomocą kwadratowych harnessów, czyli procesów stochastycznych o kwadratowej strukturze warunkowej drugiego rzędu, można powiązać wielomiany Askey-Wilsona oraz ASEPy (asymmetric simple exclusion process). ASEP to markowski model losowo poruszających się cząstek, które nie mogą zajmować tej samej pozycji i mają większą tendencję do przemieszczania się w prawo niż w lewo. Powiązanie polega na, z jednej strony reprezentacji funkcji generującej rozkładu stacjonarnego zajętości pozycji w ASEPie z momentami kwadratowych harnessów, a z drugiej strony na wykorzystaniu wielomianów Askey-Wilsona do konstrukcji ortogonalnych wielomianów martyngałowych definiujących kwadratowy harness. Pokażę również, jak można wykorzystać omawiane powiązanie do badania własności ASEPów. Są to wyniki prac wspólnych z W. Brycem (Univ. of Cincinnati). Wspomnę też o ciekawych nowych wynikach W. Bryca i Y. Wanga (ostatnio pracujemy nad ich rozszerzeniem) dotyczących asymptotyki ASEPów, w których jako obiekty graniczne pojawiają się wycieczki i meandry brownowskie.

Approximate units have long been a fundamental tool in C*-algebra theory. Often they need to be increasing, not just with respect to the canonical order, but also the stronger transitive relation <<, where a << b means a=ab. However, until now, it was not known if such approximate units always exist even in non-separable C*-algebras. Our work extends the standard existence result from sigma-unital to omega_1-unital C*-algebras. On the other hand, we obtain omega_2-unital counterexamples by modifying a classical construction of Akemann. With extra set theoretic assumptions, namely the existence of Canadian trees and Q-sets, we can also lower the representation density of our counterexamples and make them scattered, improving on results of Farah and Katsura concerning AF and LF algebras. It follows that the question of whether AF and LF C*-algebras can be distinguished in B(H), for separable H, is independent of ZFC.

W referacie wyjaśnię zaskakujący (przynajmniej dla mnie) fakt, że współczynniki wielomianów Fussa-Narayany wielu zmiennych, które są momentami granicznymi macierzy Wisharta, są jednocześnie liczbami odpowiednich łańcuchów w kracie partycji nieprzecinających. Uzasadnienie tej obserwacji oprę na dwóch wprowadzonych przeze mnie bijekcjach oraz wcześniej znanych wynikach.

The analogue of Poisson distribution is constructed by using creation, annihilation and position operators on the bm-discrete Fock space. The latter a kind of "Fock space" generated by all the increasing sequence in some countable, partially ordered set associated with positive symmetric cones in Euclidean spaces, e.g. $\mathbb{R}_{+}^{d}$ or the Lorentz cone $\Lambda_{d}^{1}$ in Minkowski spacetime.

Jack polynomials can be regarded as a deformation of Schur polynomials, a deformation which depends on one parameter. Their combinatorics was investigated by several prominent researchers, including RIchard Stanley. In 1996 Ian P. Goulden and David M. Jackson formulated several conjectures (which remain open until today) and which suggest that Jack polynomials are related to some deformation of the group algebras of the symmetric groups. During the talk I will present some recent results of Maciej Dołęga and Adam Burchardt.

The theory of Locally compact quantum group, as opposed to the theory of compact quantum group, is relatively recent. The beginning of the subject was a paper of S.L. Woronowicz in 1998, where he proposed a possible set of axioms for what could be thought of as a locally compact quantum group. However, the only stumbling block of his theory was that it was not clear how to prove the existence of Haar weights.

In 2001, Kustermans and Vaes proposed another viewpoint for studying locally compact quantum group by assuming the existence of Haar weights, and showed that there approach in particular is a special case of the more general framework of Woronowicz. Although classically they give locally compact groups, it remained as an open problem, whether the two approaches are same i.e. they in essence define the same object.

In this talk we will give an introduction to the subject of locally compact quantum group through working with some classical groups. We will not go into analytical details, this would be a gentle introduction to the major aspects of the subject and will prepare the ground for following talk on Property (T).

Celem odczytu są następujące sprawy:
1. Wolne niezależne projektory, przykłady w iloczynach wolnych grup i ich opis.
2. Elementy logiki Łukasiewicza.
3. q-Entropia Tsallisa.
4. Problemy.

Rodziny miar z jadrem Cauchy'ego mają wiele własności podobnych do rodzin miar z jądrem wykładniczym. (W statystyce rodziny miar z jądrem wykładniczym noszą nazwę naturalnych rodzin wykładniczych - natural exponential families.) W obu przypadkach rodzina miar ma naturalną parametryzację przez średnią i jest jednoznacznie wyznaczona przez tzw. funkcję wariancji, czyli przez wariancję wyrażoną jako funkcja średniej. W referacie skoncentruję się na przypadku, gdy funkcja wariancji jest wielomianem stopnia 3. Konstrukcja takiej rodziny korzysta z analitycznych metod wolnej probabilistyki, w szczególności z multiplikatywnej wolnej potęgi miary Marchenko-Pastura z prac Wojciecha Młotkowskiego i jego współautorów. Są to wyniki wspólne z Raouf Fakhfakh (Sfax, Tunezja) i Wojciechem Młotkowskim (Wrocław)

We will review the current knowledge about monotone convolutions, monotone infinite divisibility, and monotone increment processes. The talk will close with several conjectures and open problems. Based on joint work with Takahiro Hasebe, Ikkei Hotta, and Sebastian Schleissinger.

Wiadomo, że dla niektórych grafów metryka $d(x,y)$ jest ujemnie określona (drzewa, grafy Cayleya grup Coxetera). Dla grafu spójnego $G=(V,E)$ definiujemy stałą $QEC(G)$ (,,quadratic embedding constant'') jako supremum wszystkich sum \[ \sum_{x,y\in V}d(x,y)f(x)f(y), \] gdzie $d(x,y)$ oznacza odległość $x$ od $y$ w grafie $G$ a $f$ przebiega wszystkie funkcje $f:V\to\mathbb{R}$ o nośniku skończonym takie że $\sum_{x\in V}f(x)=0$ oraz $\sum_{x\in V}f(x)^2=1$. Ujemna określoność metryki jest równoważna temu, że $QEC(G)\le0$. W pracy badamy $QEC(G)$ dla gwiazdka produktów grafów.

W referacie opowiem o nieprzemiennych procesach Levy'ego definiowanych na grupach kwantowych i próbach ich klasyfikacji. Jedną z nich jest badanie istnienia rozkładu typu Levy'ego-Chinczyna. Okazuje się, że istnienie takiego rozkładu jest zagwarantowane przez pewne warunki kohomologiczne (choć nie jest im równoważne). Do zobrazowania opisanej teorii posłużą uniwersalne grupy kwantowe.

We will prove that q-Araki-Woods algebras, which are constructed as a combination of two deformations of the free group factors, have the complete metric approximation property. In the proof we transfer the result from the q-Gaussian algebras (one of the deformations mentioned previously) using a certain central limit theorem and ultraproduct techniques.

Let S be a topological space, which is also a semigroup with identity, such that the multiplication is separately continuous. Such semigroups are called semitopological semigroups. These type of objects occur naturally, if onestudies weakly almost periodic compactification of a topological group. Now if we assume the following: (a) The topology of S is locally compact. (b) Abstract algebraically speaking, S is a group (i.e. every element has an inverse). (c) The multiplication is separately continuous as above (no other assumption. This is the only assumption concerning the interaction of the topology with the group structure). Then it follows that S becomes a topological group i.e. : (a) The multiplication becomes jointly continuous. (b) The inverse is also continuous. This extremely beautiful fact was proven by R. Ellis in 1957 and is known in the literature as Ellis joint continuity theorem. In this talk, we will prove a non-commutative version of this result. Upon briefly reviewing the notion of semitopological semigroup, we will introduce ''compact semitopological quantum semigroup'' which were before introduced by M. Daws in 2014 as a tool to study almost periodicity of Hopf von Neumann algebras. Then we will give a necessary and sufficient condition on these objects, so that they become a compact quantum group. As a corollary, we will give a new proof of the Ellis joint continuity theorem as well. This is the joint work with Colin Mrozinski.

The Littlewood-Richardson process is a discrete random point process which encodes the isotypic decomposition of tensor products of irreducible rational representations of GLN(C). Biane-Perelomov-Popov matrices are a family of quantum random matrices arising as the geometric quantization of random Hermitian matrices with deterministic eigenvalues and uniformly random eigenvectors. As first observed by Biane, correlation functions of certain global observables of the LR process coincide with correlation functions of linear statistics of sums of classically independent BPP matrices, thereby enabling a random matrix approach to matrix approach to the statistical study of GLN(C) tensor products. In this paper, we prove an optimal result: classically independent BPP matrices become freely independent in any semiclassical/large-dimension limit. This removes all assumptions on the decay rate of the semiclassical parameter present in previous works, and may be viewed as a maximally robust geometric quantization of Voiculescu's theorem on the asymptotic freeness of independent unitarily invariant random Hermitian matrices. In particular, our work proves and generalizes a conjecture of Bufetov and Gorin, and shows that the mean global asymptotics of GLN(C) tensor products are governed by free probability in any and all GLN(C) tensor products are governed by free probability in any and all semiclassical scalings. Our approach extends to global fluctuations, and thus yields a Law of Large Numbers for the LR process valid in all semiclassical scalings.

General criteria for a graph to admit a quadratic embedding are discussed and, as a quantitative approach, the "QE constant" is introduced. Concrete examples are obtained from well-known graphs with graph operations and the QE constants are determined for all graphs on $n$ vertices, $n\le5$.

Here we deal with the sample covariance (SC) matrices of the form M=YY^T, where columns y_i, i=1,...,m of the matrix Y are independent random vectors in R^n. Under the assumption that all entries of Y are independent, the asymptotic spectral analysis of SC matrices has been actively developed since the celebrated work of Marcenko and Pastur (1967). Less is known about large SC matrices with dependent entries in columns of Y. In papers by Bai and Zhou, Pajor and Pastur, and Yaskov, there were considered limiting spectral distributions of SC matrices with some general dependence structures of y_i. The next natural step is to study asymptotic fluctuations of linear eigenvalue statistics of the form Tr f(M), where f is a test function. We show that if y_1,..., y_m are i.i.d. normalized isotropic random vectors satisfying certain moment conditions, then in the limit when m,n tend to infinity and m/n tends to c>0, the centered linear eigenvalue statistics converge in distribution to a Gaussian random variable.

We formulate and prove the general version of the bm-Central Limit Theorem (CLT) for bm-independent random variables associated with nonsymmetric cones, in particular circular cone $\mathcal{C}_{\theta}^{n}$, such sector $\Omega_{u}^{d}\subset \mathbb{R}^{d}$ and also the Vinberg's cone $\Pi_{v}$ is studied.

Let H be the C*-algebra of a non-trivial compact quantum group acting freely on a unital C*-algebra A. Baum, Dąbrowski and Hajac conjectured that there does not exist an equivariant *-homomorphism from A to the equivariant noncommutative join C*-algebra A*H. When A is the C*-algebra of functions on a sphere, and H is the C*-algebra of functions on Z/2Z acting antipodally on the sphere, then the conjecture becomes the celebrated Borsuk-Ulam Theorem. Recently, Chirvasitu and Passer proved the conjecture when H is commutative. In a simple way, we extend this result to a far more general setting assuming only that H admits a character different from the counit. We show how our result implies a noncommutative Brouwer fixed-point theorem and, in particular, the non-contractibility of such compact quantum groups. Moreover, assuming that our compact quantum group is a q-deformation of a compact connected semisimple Lie group, we prove that there exists a finite-dimensional representation of the compact quantum group such that, for any C*-algebra A admitting a character, the finitely generated projective module associated with A*H via this representation is not stably free. Based on joint work with Sergey Neshveyev.

Twierdzenia Haagerupa-Larsena opisuje związek między wartościami własnymi a wartościami osobliwymi dla operatorów R-diagonalnych, których realizacją są macierze izotropowe. W trakcie wystąpienia pokażę, że w formaliźmie transformat Cauchy'ego o wartościach w macierzach 2x2, znanym też jako kwaternionizacja lub hermityzacja można otrzymać analogiczną wersję twierdzenia H-L dla funkcji korelacji będącej gęstością spektralną ważoną przez długość lewych i prawych wektorów własnych. Prezentacja opiera się na pracy arXiv:1608.04923 [math-ph].

Zostanie omówiona kombinatoryka momentów mieszanych dla kanonicznych bi-wolnych operatorów kreacji i anihilacji na wolnej przestrzeni Focka. Odczyt będzie kontynuacją poprzedniego odczytu.

W referacie zajmiemy się następujacym rodzajem zbieżności (zob. Erdos, Knowles, Yin, et.al. 2014). Mówimy, że ciąg macierzy losowych $X_N$ ma izotropowe prawo graniczne $M(z)$ jeśli rezolwenta  $(X_N - z I_N)^{-1}$ zmierza  w sensie normy maximum do $M(z)$. Dotychczas znane są izotropowe  prawa graniczne dla macierzy Wignera i Marchenki-Pastura. Twierdzenia te wymagają tylko nieco silniejszych probabilistycznych założeń niż klasyczne rezultaty, dając istotnie mocniejszą tezę.  Pokażemy jak, za pomocą skończenie wymiarowych perturbacji, tworzyć nowe izotropowe prawa a następnie zastosujemy ogólną teorię w kilku przypadkach: macierzy H-samosprzężonych, macierzy port-Hamiltonowskich, oraz wielomianów macierzowych.

Charaktery Jacka są uogólnieniem nieredukowalnych charakterów grup permutacji. Wyniki eksperymentów komputerowych sugerują, że stoi za nimi jakaś tajemnicza, bogata struktura kombinatoryczna, prawdopodobnie związana ze zliczaniem grafów narysowanych na powierzchniach. Podczas odczytu przedstawię częsciowe wyniki dotyczące asymptotycznie dominującej części tych charakterów zawarte w preprincie http://arxiv.org/abs/1506.06361 .

The classification of idempotent Fourier multipliers on $H^1(\mathbb{T})$ is known since 1987, due to a theorem of Klemes. Our main result is an example of an idempotent Fourier multiplier on $H^1(\mathbb{T}\times\mathbb{T})$ that is not dervied by manipulation of tensor products of one-dimensional case. The main tool is a new $L^1$ equivalent of the Stein martingale inequality which holds for a special filtration of periodic subsets of $\mathbb{T}$ with some restrictions on the functions involved. We also identify the isomorphic type of the range of the associated operator as the independent sum of dyadic $H^1_n$.

W referacie przedstawię wynik, który mówi o tym, że pewne formy kwadratowe w wolnej probabilistyce zachowują nieskończoną podzielność.

An important role in topology is played by absolute retracts and absolute neighborhood retracts that, roughly speaking, are spaces with good extension properties. In the noncommutative world, the role of spaces with good extension properties is played by C*-algebras with good lifting properties, i.e. projective and semiprojective C*-algebras. Some statements about absolute retracts and neighborhood retracts might be false in the noncommutative setting or hard to prove. We are going to discuss some problems of this sort and their connection with problems in Operator Theory, namely with a question of Akemann, Olsen and Pedersen on best approximation by compact operators. This is joint work with Terry Loring.