O seminarium

Terminy i tematyka spotkań

środa, 29-03-2017 - 16:15, 604
Model i jego podzbiór
Ludomir Newelski (Uniwersytet Wrocławski)

Załóżmy, że M jest strukturą przeliczalną, zaś Q jest jej
typowo-definiowalnym podzbiorem. Kiedy struktura M jest wyznaczona
jednoznacznie przez strukturę Q? W odczycie udzielimy odpowiedzi na to
pytanie. Udowodnimy także, że tego rodzaju relatywna kategoryczność jest
dość powszechnym zjawiskiem.

środa, 22-03-2017 - 16:15, 604
Własności grup topologicznych postaci L_0(G)
Aleksandra Kwiatkowska (Uniwersytet Wrocławski)

Dla grupy topologicznej G rozważamy grupę topologiczną L_0(G) składającą się z funkcji mierzalnych określonych na ([0,1],λ), gdzie λ jest miarą Lebesgue'a, o wartościach w G. Mnożenie jest punktowe, bierzemy metrykę zbieżności w mierze.

W czasie wykładu skoncentrujemy się na grupach G które są automorfizmami struktur przeliczalnych oraz skupimy się na pojęciach i własnościach związanych z klasami sprzężoności, takich jak topologiczne klasy podobieństwa i istnienie gęstej cyklicznej klasy sprzężoności. 

Przedstawię wyniki otrzymane we wspólnej pracy z Maciejem Malickim.

środa, 01-03-2017 - 16:15, 604
Wymiar Hausdorffa przestrzeni metrycznych definiowalnych w o-minimalnych wzbogaceniach ciała liczb rzeczywistych (według J. Maříkovej i E. Weinberga)
Roman Wencel (Uniwersytet Wrocławski)

Niech R będzie o-minimalnym wzbogaceniem ciała liczb rzeczywistych. Podczas seminarium zostanie omówione twierdzenie mówiące, że wymiar Hausdorffa dla R-definiowalnej rodziny przestrzeni metrycznych jest definiowalną funkcją parametrów definiujących daną przestrzeń metryczną.

środa, 01-02-2017 - 16:15, 604
O średnicach teorio-modelowych składowych grup
Jakub Gismatullin

Opowiem o średnicach Lascara składowej G∞ w kilku konkretnych przypadkach, np. dla grup nilpotentnych, rozwiązalnych i innych (np. grup torsyjnych, skończenie generowanych). Podam odpowiedzi na pewne wcześniej zadane pytania. Część zaprezentowanych metod będzie operała się na tw. Petera-Weyla o reprezentacjach unitarnych.

środa, 18-01-2017 - 16:15, 604
Średniowalność, spójne składowe i G-zwartość
Krzysztof Krupiński (Uniwersytet Wrocławski)

W ciągu kilku najbliższych seminariów omówię moją najnowszą pracę wspólną z A. Pillayem. Rozwijamy w niej dynamikę topologiczną dla grup topologicznych definiowalnych w strukturach pierwszego rzędu. W szczególności wprowadzamy pewne nowe topologiczno-teoriomodelowe spójne składowe.

Dowodzimy, że średniowalność grupy w różnych kontekstach implikuje równość pewnych spójnych składowych (odpowiednich dla rozważanego kontekstu), w szczególności odpowiadając na pytanie z mojej wcześniejszej pracy z A. Pillayem i mojej pracy z J. Gismatullinem. Używając tego, uzyskujemy główny wynik pracy: jeśli grupa automorfizmów struktury ω-kategorycznej jest średniowalna (jako grupa topologiczna), to teoria tej struktury jest G-zwarta. Istotnym elementem dowodu, który jest ciekawy sam w sobie, jest przedstawienie grup Galois rozważanej teorii jako ilorazów grupy automorfizmów, zinterpretowanej w modelu monstrum pewnej bogatej struktury, przez odpowiednie spójne składowe przez nas wprowadzone.

środa, 30-11-2016 - 16:15, 604
Średniowalność, spójne składowe i G-zwartość
Krzysztof Krupiński

W ciągu kilku najbliższych seminariów omówię moją najnowszą pracę wspólną z A. Pillayem. Rozwijamy w niej dynamikę topologiczną dla grup topologicznych definiowalnych w strukturach pierwszego rzędu. W szczególności wprowadzamy pewne nowe topologiczno-teoriomodelowe spójne składowe.

Dowodzimy, że średniowalność grupy w różnych kontekstach implikuje równość pewnych spójnych składowych (odpowiednich dla rozważanego kontekstu), w szczególności odpowiadając na pytanie z mojej wcześniejszej pracy z A. Pillayem i mojej pracy z J. Gismatullinem. Używając tego, uzyskujemy główny wynik pracy: jeśli grupa automorfizmów struktury ω-kategorycznej jest średniowalna (jako grupa topologiczna), to teoria tej struktury jest G-zwarta. Istotnym elementem dowodu, który jest ciekawy sam w sobie, jest przedstawienie grup Galois rozważanej teorii jako ilorazów grupy automorfizmów, zinterpretowanej w modelu monstrum pewnej bogatej struktury, przez odpowiednie spójne składowe przez nas wprowadzone.

środa, 16-11-2016 - 16:15, 604
Lematy o regularności
Tomasz Rzepecki

Lemat Szemerédiego o regularności, w pewnym uproszczeniu, mówi że każdy dostatecznie duży graf można podzielić na pewną skończną liczbę części (niezależną od wielkości grafu) o prawie jednakowym rozmiarze, tak że prawie każda para części zachowuje się jak "graf losowy". Znajduje on zastosowanie w teorii grafów, teorii liczb oraz kombinatoryce ekstremalnej.

Wadą lematu jest to, że wielkość grafu konieczna do uzyskania pożądanej "losowości" rośnie bardzo szybko (szybciej niż każda funkcja wykładnicza). Okazuje się jednak, że gdy ograniczymy stopień skomplikowania grafu (np. gdy zażądamy, by był on definiowalny w ciele skończonym, lub rzeczywistym), można uzyskać dużo lepsze szacowania.

W czasie seminarium opowiem o niektórych wariantach i wnioskach z lematu Szemerédiego dla teorii stabilnych i NIP, wraz z powiązaną terminologią, oraz udowodnię wersję lematu dla teorii stabilnych w wersji udowodnionej przez Malliaris oraz Pillay'a.

środa, 26-10-2016 - 16:15, 604
Modele atomowe teorii nieprzeliczalnych
Ludomir Newelski

Pokażę niesprzecznosć z ZFC+\neg CH następujących twierdzeń:

  1. Istnieje teoria mocy \aleph_1 z jedynym modelem atomowym, który jednak nie jest konstruowalny
  2. Każda zupełna teoria mocy \aleph_1, która ma nieprzeliczalne modele atomowe, lecz nie ma modeli konstruowalnych, ma 2^{\aleph_1} modeli mocy \aleph_1.

Dowody używają kombinatoryki na \aleph_1 (słaby diament) oraz na prostej
rzeczywistej, odwołują się do metod Shelaha. Są to wyniki Douglasa Ulricha.

wtorek, 18-10-2016 - 16:15, 604?
Differential Galois theory and differential Galois cohomology.
Anand Pillay (University of Notre Dame)

We relate a differential field K having fundamental systems of
solutions for all linear differential equations, to K having trivial
differential Galois cohomology with respect to linear differential algebraic groups.

The model theory of groups of finite Morley rank and superstable groups,
plays a role. 

środa, 12-10-2016 - 16:15, 604
Modelowy towarzysz działań Galois grup wirtualnie wolnych, cz. 2
Piotr Kowalski

Teoria ciał z automorfizmem ma modelowego towarzysza (aksjomatyzującego egzystencjalnie domknięte ciała z automorfizmem): teorię ACFA (Chatzidakis-Hrushovski, Macintyre). Innymi słowami, modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois grupy Z. Wiadomo też, że modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois skończenie generowanej grupy wolnej oraz że nie istnieje dla działań Galois grupy Z\times Z. Poza tym, modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois grup skończonych (Sjorgen, Hoffmann-Kowalski) oraz działań Galois Q (Medvedev).

Podczas seminarium opiszę aksjomatyzację modelowego towarzysza działań Galois nieskończonej grupy dihedralnej oraz próby uogólnienia tej aksjomatyzacji do działań Galois grup wirtualnie cyklicznych i (ogólniej) grup wirtualnie wolnych. Jest to wspólna praca z Özlem Beyarslan.

środa, 05-10-2016 - 16:15, 604
Modelowy towarzysz działań Galois grup wirtualnie wolnych
Piotr Kowalski

Teoria ciał z automorfizmem ma modelowego towarzysza (aksjomatyzującego egzystencjalnie domknięte ciała z automorfizmem): teorię ACFA (Chatzidakis-Hrushovski, Macintyre). Innymi słowami, modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois grupy Z. Wiadomo też, że modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois skończenie generowanej grupy wolnej oraz że nie istnieje dla działań Galois grupy Z\times Z. Poza tym, modelowy towarzysz istnieje dla działań Galois grup skończonych (Sjorgen, Hoffmann-Kowalski) oraz działań Galois Q (Medvedev).

Podczas seminarium opiszę aksjomatyzację modelowego towarzysza działań Galois nieskończonej grupy dihedralnej oraz próby uogólnienia tej aksjomatyzacji do działań Galois grup wirtualnie cyklicznych i (ogólniej) grup wirtualnie wolnych. Jest to wspólna praca z Özlem Beyarslan.

środa, 21-09-2016 - 16:15, 602
An application of descriptive set theory to Kripke models
Shashi Srivastava (Indian Statistical Institute, Kolkata)

We show that logical equivalence, behavioral equivalence and
bisimilarity are equivalent for Kripke models. This is a joint work with E. E. Doberkat.

środa, 08-06-2016 - 16:15, 604
Rzeczywisty ślad grup definiowalnych w strukturach o-minimalnych
Grzegorz Jagiella (University of Haifa)

Klasyczne wyniki pokazują, że gdy G jest definiowalnie zwartą grupą
definiowalną w strukturze o-minimalnej, to G/G00 z topologią logiczną jest
zwartą grupą Liego o wymiarze równym o-minimalnemu wymiarowi G. Na
spotkaniu omówię uogólnienie tych wyników do dowolnych grup działających
wiernie i tranzytywnie na zbiorze definiowalnie zwartym.

W szczególności pokażę, że w tej sytuacji G ma ind-definiowalną podgrupę zawierającą
typowo definiowalną podgrupę, taką że ich iloraz \bar{G} jest grupą Liego
odpowiedniego wymiaru o następującej własności: dla każdego wiernego i
tranzytywnego działania G na definiowalnie zwartym zbiorze X, istnieje
rzeczywista, zwarta rozmaitość \bar{X} (uzyskana jako iloraz X) taka, że
działanie G na X redukuje się do indukowanego działania \bar{G} na
\bar{X}.

(Praca wspólna z K. Peterzilem.)

środa, 11-05-2016 - 16:15, 603
Definable sets and regular types in linear orderings
Slavko Moconja (University of Belgrade)

In the talk we present joint work with Dejan Ilić and Predrag Tanović. We
discuss complete theories of linear orderings with unary predicates and
convex equivalence relations (equivalence relations with convex classes). We
study two problems: the description of definable sets and the number of
non-isomorphic countable models.

We define the notion of strong linear binarity of linearly ordered
structures and their complete theories. We prove that any complete theory of
a linear ordering with unary predicates and convex equivalence relations is
strongly linearly binary, and also that every strongly linearly binary
structure is definitonally equivalent to a linear ordering with unary
predicates and convex equivalence relations. In the proof we give the
description of definable sets in linear orderings with unary predicates and
convex equivalence relations.

Further, we study regular types (in the sense of Pillay and Tanović) in
theories of linear orderings with unary predicates and convex equivalence
relations. We prove that every non-algebraic, global, invariant 1-type is
regular and that every non-algebraic complete 1-type over a small set A has
precisely two A-invariant global extensions. As an application we obtain
that these theories have either finitely many or continuum many
non-isomorphic countable models.

środa, 27-04-2016 - 16:15,
Existentially closed fields with finite group actions
Piotr Kowalski

(Joint with Daniel Hoffmann)

We study algebraic and model-theoretic properties of existentially closed fields with an action of a fixed finite group. Such fields turn out to be pseudo-algebraically closed in a rather strong sense. We place this work in a more general context of the model theory of fields with a (finite) group scheme action.

http://arxiv.org/abs/1604.03581

środa, 20-04-2016 - 13:30,
Grupy definiowalnie średniowalne w teoriach z NIP-em
Krzysztof Krupiński

Będzie to cykl wykładów poświęconych pracy „Definably amenable NIP groups” A. Chernikova i P. Simona. Omówione zostaną różne własności grup definiowalnie średniowalnych w teoriach z NIP-em. W szczególności:

  • charakteryzacja definiowalnej średniowalności w terminach typów f-generik oraz ograniczonych orbit;
  • charakteryzacja bycia f-generikiem w terminach formuł słabo generycznych oraz miar;
  • opis miar ergodycznych przy użyciu typów f-generik;
  • dowód hipotezy Newelskiego dla definiowalnie średniowalnych grup z NIP-em.
środa, 06-04-2016 - 16:15,
Relacje równoważności niezmiennicze na działania grup, cz. 2
Tomasz Rzepecki

Będę kontynuował opowiadanie o wynikach ze swojej ostatniej pracy, Equivalence relations invariant under group actions.

W pracy pokazałem, że dla pewnej szerokiej klasy relacji niemienniczych na ciągłe działanie grupy zwartej Hausdorffa, na typowo definiowalne działanie, lub na działanie grupy automorfizmów modelu monstrum, jeżeli wszystkie klasy są domknięte lub typowo definiowalne odpowiednio, to cała relacja jest domknięta lub typowo definiowalna odpowiednio.

Dzięki temu można uzyskać rozszerzenie wyników z mojej ostatniej pracy z K. Krupińskim i A. Pillayem o zastosowaniach dynamiki topologicznej do silnych typów w teorii modeli dotyczące związku między gładkością przestrzeni silnych typów a typową definiowalnością. Ponadto możemy wywnioskować analogiczne twierdzenia dla działań ciągłych grup zwartych (lub, szerzej, działań właściwych grup topologicznych Hausdorffa) na przestrzeniach polskich, oraz dla działań typowo definiowalnych (w miejsce działania grupy automorfizmów).

środa, 30-03-2016 - 18:45,
Around Hrushovski's stabilizer theorem and NTP_2
Pierre Simon (Université Claude Bernard - Lyon 1)

I will discuss some work in progress around Hrushovski's stabilizer theorem from the approximate subgroups paper and applications to NTP2. I will in particular discuss Hrushovski's theorem, present a simpler proof of it and some variations. I will then apply it to definably amenable groups in NTP2 theories.
Joint work with Alf Onshuus and Samaria Montenegro.

środa, 23-03-2016 - 16:15, 603
Relacje równoważności niezmiennicze na działania grup
Tomasz Rzepecki

Opowiem o wynikach ze swojej ostatniej pracy, Equivalence relations invariant under group actions.

W pracy pokazałem, że dla pewnej szerokiej klasy relacji niemienniczych na ciągłe działanie grupy zwartej Hausdorffa, na typowo definiowalne działanie, lub na działanie grupy automorfizmów modelu monstrum, jeżeli wszystkie klasy są domknięte lub typowo definiowalne odpowiednio, to cała relacja jest domknięta lub typowo definiowalna odpowiednio.

Dzięki temu można uzyskać rozszerzenie wyników z mojej ostatniej pracy z K. Krupińskim i A. Pillayem o zastosowaniach dynamiki topologicznej do silnych typów w teorii modeli dotyczące związku między gładkością przestrzeni silnych typów a typową definiowalnością. Ponadto możemy wywnioskować analogiczne twierdzenia dla działań ciągłych grup zwartych (lub, szerzej, działań właściwych grup topologicznych Hausdorffa) na przestrzeniach polskich, oraz dla działań typowo definiowalnych (w miejsce działania grupy automorfizmów).

środa, 09-03-2016 - 16:15, 603
Półgrupy stabilne, wg Yatira Halevi, cz. 3
Ludomir Newelski
Będą przedstawione wyniki dotyczące struktury półgrup (typowo) definiowalnych w strukturach stabilnych. Wyniki te polepszają wcześniejsze wyniki L. Newelskiego. W szczególności, zostanie udowodnione, że półgrupa typów grupy stabilnej jest granicą odwrotną półgrup definiowalnych.
środa, 02-03-2016 - 16:15, 603
Półgrupy stabilne, wg Yatira Halevi, cz. 2
Ludomir Newelski

Będą przedstawione wyniki dotyczące struktury półgrup (typowo) definiowalnych w strukturach stabilnych. Wyniki te polepszają wcześniejsze wyniki L. Newelskiego. W szczególności, zostanie udowodnione, że półgrupa typów grupy stabilnej jest granicą odwrotną półgrup definiowalnych.

środa, 24-02-2016 - 16:15, 603
Półgrupy stabilne, wg Yatira Halevi
Ludomir Newelski

Będą przedstawione wyniki dotyczące struktury półgrup (typowo)
definiowalnych w strukturach stabilnych. Wyniki te polepszają wcześniejsze
wyniki L. Newelskiego. W szczególności, zostanie udowodnione, że półgrupa
typów grupy stabilnej jest granicą odwrotną półgrup definiowalnych.

środa, 16-12-2015 - 16:15, 603
Dynamika topologiczna i złożoność silnych typów, cz. 4
Tomasz Rzepecki

W ciągu kilku najbliższych seminariów omówimy główne wyniki z pracy "Topological dynamics and the complexity of strong types" autorstwa K. Krupińskiego, A. Pillaya i T. Rzepeckiego. W teorii modeli istotną rolę odgrywają pewne grupy Galois danej teorii (głównie grupy Galois Shelaha, Kima-Pillaya oraz Lascara) oraz silne typy (głównie Shelaha, Kima-Pillaya i Lascara), które definiujemy jako klasy ograniczonych, niezmienniczych relacji równoważności rozdrabniających relację posiadania tego samego typu. O ile grupa Galois Kima-Pillaya może być naturalnie wyposażona w strukturę zwartej grupy topologicznej Hausdorffa, o tyle na grupie Lascara analogiczna topologia jest zwarta, ale niekoniecznie Hausdorffa. Podobnie dla przestrzeni silnych typów - iloraz przez ograniczoną relację typowo-definiowalną wyposażony w tzw. topologię logiczną jest zwartą przestrzenią Hausdorffa, natomiast na ilorazie przez ograniczoną, niezmienniczą relację równoważności topologia logiczna nie musi być Hausdorffa i może ona nawet być trywialna (a więc zupełnie bezużyteczna). Prowadzi to do bardzo ogólnego pytania: W jaki sposób traktować grupę Galois Lascara oraz przestrzenie silnych typów jako obiekty matematyczne i jak badać ich złożoność? Rozwijając dynamikę topologiczną dla grupy automorfizmów modelu monstrum, otrzymaliśmy głębokie związki między pewnymi pojęciami z dynamiki topologicznej oraz z teorii modeli. W szczególności przedstawiliśmy grupę Galois Lascara oraz przestrzenie silnych typów (na zbiorze realizacji jednego typu zupełnego nad zbiorem pustym) jako ilorazy pewnej zwartej grupy Hausdorffa. Używając tych wyników oraz wiedzy na temat zwartych grup topologicznych i deskryptywnej teorii mnogości uzyskaliśmy bardzo ogólne rezultaty na temat mocy [borelowskich] przestrzeni silnych typów, w szczególności odpowiedzieliśmy na pewne otwarte pytania. Końcowym wnioskiem jest trychotomia w pełni wyjaśniająca związki między fundamentalnymi własnościami (relatywną definiowalnością, typową definiowalnością, gładkością w sensie mocy borelowskich oraz liczbą klas) ograniczonych, niezmienniczych, analitycznych relacji równoważności.

środa, 08-04-2015 - 16:15, 603
Zbiory silnie generyczne, część 4
Ludomir Newelski

Zbiory silnie generyczne to nowe pojęcie wprowadzone przeze mnie w definiowalnej dynamice topologicznej. Może ono być przydatne również w zwykłej dynamice topologicznej. Przedstawię to pojęcie wraz z kilkoma zastosowaniami.