Opracowania dotyczące symetrii i parkietaży

Dział 1: Rozmaite rodzaje symetrycznych parkietaży płaszczyzny

Zamieszczone w tym dziale opracowania dotyczą różnych rodzajów symetrycznych parkietaży.

Prace [P1], [P3] i [P4] dotyczą różnych rodzajów parkietaży za pomocą wielokątów foremnych (niekoniecznie jednakowych). Wśród nich są parkietaże FOREMNE zwane też PLATOŃSKIMI (omówione w [P1]), parkietaże PÓŁFOREMNE zwane też ARCHIMEDESOWYMI (opisane i sklasyfikowane również w [P1]), a także tzw. parkietaże 2-ARCHIMEDESOWE (przeanalizowane w [P3]), i w końcu tzw. parkietaże EKWITRANZYTYWNE (omówione i sklasyfikowane w [P4]).

W pracach [P1] i [P2] omówione są parkietaże o dowolnych wielokątnych płytkach mające specjalne własności symetrii zwane ODBICIOWOŚCIĄ (omówione w [P1]) oraz PÓŁOBROTOWOŚCIĄ (omówione w [P2]).

[P2] Parkietaże półobrotowe

Anna Zwęglińska, "Parkietaże półobrotowe", praca licencjacka, 2017. plik pdf

Parkietaż półobrotowy to taki parkietaż wielokątami, w którym dowolne dwie płytki sąsiadujące przez krawędź są do siebie półobrotowo symetryczne względem środka tej krawędzi. Znaczy to, że każda z tych płytek jest obrazem drugiej w obrocie o kąt 180 stopni względem środka ich wspólnej krawędzi. W pracy znalezione zostają wszystkie takie parkietaże, wraz z opisaniem wszystkich możliwych kształtó ich płytek. Okazuje się na przykład, że płytki takich parkietaży mogą być tylko trójkątami, czworokątami lub sześciokątami. Okazuje się, że płytką parkietażu półobrotowego może być dowolny trójkąt oraz dowolny czworokąt (także niewypukły!), natomiast niedowolny sześciokąt. W pracy opisane są więc także wszyskie sześciokąty mogące być płytkami półobrotowych parkietaży.

[P3] Parkietaże 2-archimedesowe

Julia Bugiel, "Klasyfikacja parkietaży 2-Archimedesowych", praca magisterska, 2017. plik pdf

Parkietaże 2-archimedesowe składają się z płytek będących niejednakowymi wielokątami foremnymi rozmieszczonymi w taki sposób, że naokołom wierzchołków pojawiają się dokładnie dwie różne konfiguracje tych płytek. W pracy znalezione zostały (czyli sklasyfikowane) wszystkie pary konfiguracji płytek wokół wierzchołków realizowane w parkietażach 2-archimedesowych. Okazuje się, że jest 16 takich par konfiguracji. W pracy jest też pokazane, że dla czterech spośród tych par konfiguracji realizujące je parkietaże 2-archimedesowe są jednoznaczne, natomiast dla pozostałych dwunastu par liczba istotnie różnych parkietaży 2-archimedesowych realizujących takie pary jest nieskończena. W tej pracy korzysta się z przeprowadzonej w pracy [P1] klasyfikacji 21 konfiguracji wielokątów foremnych szczelnie otaczających pojedynczy wierzchołek.

[P4] Parkietaże ekwitranzytywne o foremnych płytkach

Weronika Buchar, "Klasyfikacja ekwitranzytywnych parkietaży za pomocą wielokątów foremnych", praca magisterska, 2017. plik pdf

Parkietaż nazywamy ekwitranzytywnym jeśli dla dowolnych dwóch płytek tego samego kształtu istnieje symetria całego parkietażu przekształcająca jedną z tych płytek na drugą (poglądowo znaczy to, że te płytki o tym samym kształcie są położone w taki sam sposób względem reszty parkietażu). W pracy analizowane są parkietaże ekwitranzytywne, w których wszystkie płytki są wielokątami foremnymi. Przekonujemy się, że istnieją dokładnie 22 takie parkietaże. Również w tej pracy korzysta się z przeprowadzonej w pracy [P1] klasyfikacji 21 konfiguracji wielokątów foremnych szczelnie otaczających pojedynczy wierzchołek.

Dział 2: Matematyczna analiza różnych rodzajów parkietaży w stylu grafik M.C. Eschera

Opracowania [E1], [E2] i [E3] dotyczą parkietaży, których płytki mogą mieć bardzo nieregularne kształty - nie muszą być nawet wielokątami. Parkietaże tego rodzaju pojawiają się np. w twórczości holenderskiego grafika M.C. Eschera. Opracowania zawierają matematyczne opisy i klasyfikacje różnych typów takich parkietaży. Prace te mogą stanowić podstawę do projektowania własnych parkietażowych kompozycji o takich typach symetrii, jakie nie pojawiły się w twórczości Eschera. Praca [E1] dotyczy parkietaży, w których wszystkie płytki mają ten sam kształt, natomiast praca [E2] analizuje parkietaże z płytkami o dwóch różnych kształtach. W pracy [E3] rozważającej jeszcze inny rodzaj symetrii parkietaży, pojawiają się przykłady zarówno z jednym jak i z dwoma kształtami płytek. Opracowanie [E4], choć na pierwszy rzut oka nie ma związku z kompozycjami Eschera, w rzeczywistości także stanowi źródło możliwych inspiracji do tworzenia tego typu kompozycji, przy czym w tym przypadku wszystkie płytki mają ten sam kształt, zaś omówione tu typy parkietaży są różne od tych omówionych w opracowaniu [E1].

[E1] Parkietaże regularne oparte na foremnym (platońskim) parkietażu kwadratami

Emilia Chmielewska, "Parkietaże typu Eschera na płaszczyźnie", praca magisterska, 2002. plik pdf

Holenderski grafik M.C. Escher stworzył liczne kompozycje, które nazywał "regularnymi podziałami płaszczyzny". W tych kompozycjach płaszczyzna jest zapełniana w sposób szczelny, zgodnie z pewnymi precyzyjnymi regułami przekształceń, jednakowymi nieregularnymi figurami, którym Escher nadaje formę ptaków, ryb, jaszczurek, aniołów, łodzi żaglowych lub innych rozpoznawalnych obiektów. W prezentowanej pracy przeprowadzony został matematyczny opis, oraz analiza i klasyfikacja, pewnej sporej rodziny parkietaży mających takie cechy jak wspomniane kompozycje Eschera. Są to parkietaże, w których płytki rozmieszczone są w kombinatorycznie podobny sposób jak kwadratowe płytki w parkietażu foremnym, ale reguły ich przekształcania na siebie mogą być rozmaite i skomplikowane.

[E2] Parkietaże 2-regularne naprzemienne (zainspirowane twórczością M.C. Escher'a)

Diana Krawczyńska, "O pewnej klasie regularnych parkietaży z dwoma rodzajami płytek", praca magisterska, 2019. plik pdf

Klasa parekietaży opisana w tej pracy zainspirowana została grafikami holenderskiego artysty M.C. Escher'a. Parkietaż nazywamy regularnym jeśli dla każdych dwóch płytek istnieje symetria parkietażu przeprowadzająca jedną z tych płytek na drugą. Kształty płytek nie muszą być przy tym regularne ani symetryczne, nie muszą też być wielokątami. Parkietaż nazywamy 2-regularnym, jeśli składa się z dwóch rodzajów płytek, i dla dowolnych dwóch płytek TEGO SAMEGO RODZAJU istnieje symetria parkietażu przeprowadzająca jedną z tych płytek na drugą. Parkietaż 2-regularny nazywamy naprzemiennym, gdy płytki sąsiadujące ze sobą przez krawędź są zawsze dwóch różnych rodzajów. Jest to własność ulubiona przez Eschera, gdyż pozwala pomalować płytki dwoma kolorami w taki sposób, że płytki tego samego rodzaju mają ten sam kolor, zaś płytki sąsiadujące przez krawędź mają różne kolory. W pracy znalezione zostały wszystkie typy takich parkietaży, a jest ich jak się okazuje aż 37. Analiza grafik Eschera pokazuje, że artysta ten wykorzystał w swoich kompozycjach jedynie 12 spośród wszystkich 37 typów takich parkietaży. Pozostałe typy czekają jeszcze na swoje artystyczne realizacje.

[E3] Parkietaże izotoksalne (o symetrii działającej przechodnio na krawędziach)

Małgorzata Moc, "Klasyfikacja parkietaży izotoksalnych o niesymetrycznych krawędziach", praca magisterska, 2019. plik pdf

Wśród parkietaży spotykamy rozmaite rodzaje symetrii. Może się np. zdarzyć, że wszystkie płytki parkietażu są w taki sam sposób położone względem reszty parkietażu (tzw. parkietaże regularne, w których wszystkie płytki muszą mieć jednakowy kształt), albo że jednakowe położenie względem reszty parkietażu mają wszyskie jego wierzchołki (wtedy płytki mogą mieć różne kształty, a przykładami są tu parkietaże półforemne, czyli archimedesowe). Jest też możliwe, że jednakowe położenie względem reszty parkietażu mają jego wszystkie krawędzie. Parkietaże o takim mniej znanym rodzaju symetrii nazywają się IZOTOKSALNYMI. Nietrudno się przekonać, że w takim parkietażu występuje albo jeden albo dwa rodzaje płytek. W pracy analizowane są parkietaże izotoksalne o dodatkowej własności "niesymetryczności" krawędzi. Ponieważ płytki w takich parkietażach mogą mieć zupełnie nieregularne kształty, i można te kształty modyfikować jednocześnie we wszystkich płytkach bez zmiany istotnych cech parkietażu, w pracy opisane jest pojęcie TYPU KOMBINATORYCZNEGO parkietażu izotoksalnego, odzwierciedlające własnie takie istotne cechy. Znalezione są wszystkie typy kombinatoryczne izotoksalnych parkietaży o niesymetrycznych krawędziach, i okazuje się, że jest ich 13

[E4] Kształty płytek w wielokątowych parkietażach izohedralnych

Paweł Gielgier, "Klasyfikacja zakresów kształtów płytek w wielokątowych parkietazach izohedralnych o niesymetrycznych płytkach", praca magisterska, 2020. plik pdf

Regularne parkietaże, będące jednym z ważnych motywów w twórczości M.C. Eschera, zostały gruntownie zbadane przez matematyków. Sklasyfikowane zostały wszystkie możliwe TYPY KOMBINATORYCZNE takich parkietaży (czyli reguły budownia takich parkietaży z pojedynczej płytki pewnego rodzaju), i okazało się, że przy założeniu niesymetyryczności płytki typów takich jest 46. Czytelnik może zapoznać się z pewnym nowym ujęciem tej klasyfikacji, wg pomysłu błyskotliwego brytyjskiego matematyka Johna Conwaya, w opracowaniu [O3] opisanym poniżej. W tu opisywanym opracowaniu [E4], dla wybranej połowy spośród wspomnianych 46 typów, znalezione są wszystkie możliwe wielokątne kształty płytek powalające budować parkietaż analizowanego typu. Można to traktować jak instrukcję tworzenia ciekawych i nietypowych regularnych parkietaży w stylu Eschera, przy czym wskazane wielokątowe kształty można dalej modyfikować, zastępując w systematyczny sposób brzegowe proste segmenty w płytkach zakrzywionymi liniami wg własnego pomysłu. Wybrane do analizy i omówione typy są inne niż te opisane w pokrewnej pracy [E1].

[O1] Mozaiki, czyli regularne wzory płaskie, i ich 17 typów symetrii

Kalina Kijewska, "O symetriach wzorów płaskich", praca magisterska, 2014. plik pdf

Typy symetrii płaskich regularnych wzorów (powtarzalnych w dwóch różnych kierunkach) zostały zbadane i opisane pod koniec XIX wieku. Okazało się, że jest 17 typów takich wzorów, jeśli brać pod uwagę tylko istotne cechy ich symetrii. Pod koniec XX wieku John Conway zaproponował zupełnie nowy i koncepcyjnie bardzo piękny dowód tego faktu. Choć dający się opowiedzieć w sposób przystępny, dowód ten nie doczekał się kompletnego opisu w prostym języku. Praca [O1] jest próbą takiego właśnie opisu, i wydaje się dostępna nawet jako materiał dla interesujących się matematyką uczniów szkoły średniej.

Orbifold wzoru płaskiego to pewna powierzchnia, z oznaczonymi punktami specjalnymi, która koduje "sposób w jaki wzór jest symetryczny". Mówiąc nieco bardziej zaawansowanym językiem, orbifold to przestrzeń orbit grupy symetrii wzoru. Orbifoldowa klasyfikacja typów symetrii wzorów płaskich wykorzystuje znajomość klasyfikacji powierzchni, i jest to najbardziej zaawansowane matematyczne narzędzie wykorzystywane przy tej klasyfikacji. Klasyfikacja powierzchni jest przytoczona w sposób przystępny w tej pracy. Dodatkowym wykorzystywanym narzędziem jest, także przytoczone i omówione w pracy, pojęcie charakterystyki Eulera powierzchni.

W pracy znalezione są wszystkie typy parkietaży izohedralnych, metodą zaproponowaną przez Johna Conwaya, wykorzystującą pojęcie orbifoldu dla grupy symetrii parkietażu. O orbifoldach jest mowa we wspomnianej powyżej pracy [O1], ale i w tej pracy są one wyczerpująco przypomniane, opisane i omówione. Dużą rolę w pracy odgrywa też analiza powierzchni i tego co z nimi się dzieje pod wpływem rozcinania wzdłuż pewnych krzywych. Teoria powierzchni, ich klasyfikacja, a także pojęcie charakterystyki Eulera powierzchni, są przystępnie wprowadzone w tym zakresie, w jakim są potrzebne do przeprowadzania rozumowań i analiz dotyczących parkietaży izohedralnych.

Na rusynku obok można zobaczyć, że kształt płytki parkietażu izohedralnego, nawet gdy jest to kaształt wielokąta, może być całkiem niebanalny. Zamieszczona tu praca zawiera analizę wszystkich możliwych wielokątowych kształtów płytek dla poszczególnych rodzajów (typów) parkietaży izohedralnych. W istocie jest tu przeanalizowana w pełni połowa spośród aż 46 typów takich parkietaży. Pracę można traktować jako uzupełnienie poprzedniej pracy [O3]. Można ją też czytać jak instrukcje tworzenia intersujących parkietaży, dostarczającą wielokątowe schematy, które można poddawać dalszym twórczym przeróbkom we własnym zakresie.

[S1] Odbiciowe parkietaże przestrzeni za pomocą jednakowych płytek w kształcie czworościanów
        i odbiciowe parkietaże sfery za pomocą trójkątów sferycznych

Paulina Górska, "Odbiciowe parkietaże przestrzeni o czworościennych klepkach", praca magisterska, 2020. plik pdf

Parkietaż przestrzeni to zapełnienie całej przestrzeni bryłami bez pozostawienia żadnych wolnych miejsc (te bryły są wtedy nazywane płytkami lub klepkami takiego parkietażu). Parkietaż przestrzeni jest ODBICIOWY jeśli jego płytki są wielościanami, i jeśli każde dwie płytki sąsiadujące ze sobą przez ścianę są dla siebie lustrzanie symetryczne względem tej wspólnej ściany. Najprostszym przykładem takiego odbiciowego parkietażu jest podział przestrzeni na jednakowe sześciany (kostki). Nietrudno też od razu zauważyć, że wszystkie płytki dowolnego odbiciowego parkietażu muszą mieć ten sam kształt. W pracy znalezione są i opisane (czyli sklasyfikowane) wszystkie odbiciowe parkietaże przestrzeni, których płytki mają kształt czworościanu. Okazuje się, że są tylko cztery takie parkietaże - tylko cztery kształty czworościanu nadają się do zapełnienia przestrzeni w sposób odbiciowy.
Pomocniczym zagadnieniem przeanalizowanym w tej pracy (i stosowanym później do głównego zagadnienia) są odbiciowe parkietaże powierzchni sfery za pomocą płytek będących tzw, trójkątami sferycznymi. W pracy znalezione zostały wszystkie takie sferyczne parkietaże, a jest ich łącznie 10, i dodatkowo jedna nieskończona seria parkietaży powstających przez podział sfery równikiem i kilkoma południkami (przypominająca obieranie pomarańczy).

[S2] Odbiciowe parkietaże przestrzeni wielościennymi płytkami o kształcie ostrosłupów

Daria Przybylak, "Odbiciowe parkietaże przestrzeni o płytkach będących ostrosłupami",
praca magisterska, 2021. plik pdf

Ta praca jest kontynuacją pracy [S1]. Dotyczy ona nadal odbiciowych parkietaży przestrzeni, czyli takich zapełnień przestrzeni jednakowymi wielościanami, że każde dwa wielościany mające wspólną ścianę są do siebie symetryczne względem płaszczyzny zawierającej tą ścianę.
W poprzedniej pracy [S1] znalezione zostały wszystkie takie odbiciowe parkietaże o płytkach czworościennych. W tej pracy autorka idzie o krok dalej, i znajduje wszystkie parkietaże odbiciowe o płytkach "ostrosłupowych". Oczywiście czworościany to szczególny przypadek ostrosłupów, więc rzecz idzie w istocie o parkietaże z płytkami w kształcie ostrosłupów n-kątnych dla n>3. Ponieważ ostrosłupy różne od czworościanów posiadają wierzchołek o kącie n-ściennym dla n>3, trudność polega na konieczności przeanalizowania dopuszczalnych kształtów takich n-ściennych kątów bryłowych (które nie występowały w czworościanach). To prowadzi autorkę do analizy i pomocniczej klasyfikacji odbiciowych parkietaży sfery za pomocą wielokątów różnych od trójkątów. Dalsza analiza pozwala znaleźć wszystkie poszukiwane parkietaże ostrosłupami, i okazuję się są tylko 3 takie parkietaże, a ich płytki to ostrosłupy czworokątne o trzech różnych kształtach. W szczególności, okazuje się że żaden ostrosłup n-kątny z n większym niż 4 nie może być płytką odbiciowego parkietażu przestrzeni.

[S3] Parkietaże platońskie (foremne) oraz szachownicowe parkietaże archimedesowe (półforemne) płaszczyzny nieeuklidesowej

Mateusz Suwara, "Parkietaże platońskie i szachownice archimedesowskie w geometrii hiperbolicznej", praca magisterska, 2012. plik pdf

Na płaszczyźnie nieeuklidesowej niemożliwe jest skalowanie figur bez zmiany ich kształtu. Ma to różne konsekwencje, ale jedna z nich dotyczy parkietaży. Nie ma na płaszczyźnie nieuklidesowej problemu ze zdefiniowaniem analogonów pojęć parkietaży platońskich i archimedesowych, czyli specjalnych parkietaży których wszystkie klepki są (nieeuklidesowymi) wielokątami foremnymi. Co więcej, takich parkietaży jest na płaszczyźnie nieeuklidesowej dużo więcej niż w zwsykłej geometrii. Jednak rozmiar wielokątów wchodzących w skłąd takich parkietaży jest jednoznacznie zdeterminowany przez rodzaj parkietażu (nie jest możliwe przeskalowanie całego parkietażu). Praca zawiera omówienie wspomnianych powyżej pojęć i zjawisk, a także wyliczenia długości boków i miar kątów w wielokątach foremnych będących klepkami poszczególnych parkietaży.