...$p,q,r,\dots$^1.1

Zdanie to formalnie rzecz biorąc jest równoważnością: $\alpha(p,q,r,\dots)$ jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy jest zdaniem prawdziwym dla dowolnych zdań $p,q,r,\dots$ W potocznym języku matematycznym w definicjach często zastępuje się jednak zwrot ``wtedy i tylko wtedy, gdy'' krótszymi spójnikami ``gdy'' lub ``jeśli''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... prawdziwe^3.1

Należy tu ostrzec czytelnika, że zbiór taki nie zawsze istnieje (przykład podajemy później).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... współrzędną^5.1

Używa sie tu również notacji $(a,b)$. Podobna uwaga dotyczy trójek, czwórek i $n$-ek uporzadkowanych.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uniwersalnym)^6.1

symbol ten jest odwrócona litera A, od której zaczyna sie angielskie sowo ``all''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... eg\-zys\-ten\-cjalnym)^6.2

$\exists$ to odwrócona litera E, od której zaczyna sie angielskie sowo ``exists''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oś^7.1

Często te same obiekty w różnych kontekstach mają różne nazwy.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...)^8.1

Widzimy znów, że w celu formalizacji musieliśmy najpierw przeformułować zdanie ``$b$ jest najmniejszym ograniczeniem górnym $A$''.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...)^8.2

Symboliczny zapis tego warunku pozostawiamy jako ćwiczenie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... rzeczywistych^8.3

Dokładniej, z aksjomatu Archimedesa, który mówi, że każda liczba rzeczywista jest mniejsza od pewnej liczby naturalnej.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$X$^9.1

Rodziną zbiorów nazywamy zbiór, którego elementami są zbiory

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... zbiór^10.1

W tym zapisie $f^{-1}$ nie oznacza funkcji odwrotnej.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^13.1

Ten przykład zakomunikował mi dr J.Wróblewski.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Przypuśćmy^13.2

To przypuszczenie nazywamy założeniem indukcyjnym.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.