MATEMATYKA DLA CHEMIKÓW II (2008) - wykład

• Podstawowe informacje o wykładzie
• Informacje o programie używanym na wykładzie
• Wyniki egzaminu
• Zadania na egzaminie
• Uwagi o egzaminie

• WYKŁAD 13 - rachunek macierzowy
  • Lista zadań (PDF)
  • O macierzach można poczytać na wikipedii w taich artykułach jak wiki:Macierze, wiki:Mnożenie macierzyi
    i innych.
  • Kalkulator macierzowy - należy wcisnąć [Clear Input], a potem wpisać macierze (można wcisnąć
    [Example Matrices], aby zobaczyć, jak to się robi).
  • Animowana ilustracja mnożenia macierzy Dariusza Koniecznego z PWr.
  
  
• WYKŁAD 12 - układy równań różniczkowych (na egzaminie nieobowiązujący)
  • Lista zadań (dodatkowa) (uwaga, w zadaniu 3 pomyliłem zające z rysiami: liczbę ofiar wyraża funkcja x(t),
    a drapieżników y(t), a nie odwrotnie).
  • Dzisiejszy wykład został brutalnie przerwany, ale to, co udało się przerobić wystarczy,
    aby rozwiązać zadania z listy.
    W zadaniu 2. mamy opis liczebności populacji dwóch gatunków, które rywalizują o pożywienie
    - np. lwów (x) i tygrysów (y). To, jak zmienia się populacja lwów zależy od liczby lwów i liczby tygrysów
    (im więcej lwów, tym więcej rodzą lwiątek, więc współczynnik przy x jest dodatni, natomiast im
    więcej tygrysów, tym więcej antylop podjadają one lwom, stąd współczynnik przy y jest ujemny).
    W zadaniu należy rozwiązać podany układ i odkryć, czy któraś z populacji wyginie
    (trzeba przyrównać otrzymane funkcje do 0).
    Jeśli ktoś nie chce rozwiązywać, może wejść na tę stronę i oglądnąć rozwiązania.
    W polu po lewej stronie należy wpisać
    (0.09*y1-0.02*y2),200
    (-0.02*y1+0.06*y2),150
    trzeba też wpisać y-min=0,y-max=300,x-max=20
    i narysować rozwiązania. W tym samym programie można wpisać też model ofiara-drapieżnik z zadania 3.
    W tym samym polu trzeba wpisać np.
    (0.4-0.2*y2)*y1,100
    (0.1*y1=0.3-0.05*y2)*y2,20
    trzeba też wpisać y-min=0,y-max=30,x-max=100.
    Jak zinterpretować ten rysunek?
  • Inną ciekawą stroną o modelu ofiara-drapieżnik jest Nania. Prezentuje ona populacje lisów
    (czerwone kropki) i zajęcy (niebieskie kropki). Zielone kropki to brak lisa i zająca (np. trawa).
    Zające się mnożą. Lisy zjadają zające (tzn. niebieska kropka zmienia się w czerwoną, jeżeli czerwoa
    jest w pobliżu). Jeżeli w pobliżu czerwonej kropki (lisa) nie ma przez pewien czas zająca,
    to lis zdycha (czerwona kropka zamienia się w zieloną). Wszystko odbywa się z pewnymi
    prawdopodobieństwami, którymi można manipulować.
    W polu po lewej stronie można wpisać odpowiednio
    0.1 ("liczba zajęcy" na początku)
    0.01 ("liczba lisów" na początku)
    4 (pozostałe współczynnik opisują, jak mnożą się zające, umierają lisy, itd.)
    0.1
    1.0
    0.02
    i kliknąć Start.
    A co się będzie działo, jeśli liczba lisów będzie równa liczbie królików?
    Spróbuj pobawić się parametrami określającymi początkową liczbę zajęcy i lisów...
  • Inna ciekawa strona (niestety znowu po angielsku) o modelu ofiara-drapieżnik.
    Mamy tu dwa gatunki, które rywalizują ze sobą. Wykres żółty opisuje populację pierwszego,
    czerwony - drugiego z nich. Małe tłumaczenie:
    population density - gęstość populacji na początku;
    exponential growth rate - współczynnik opisujący, jak szybko gatunek się rozmnaża;
    competition coefficient - współczynnik opisujący, jak dobrze gatunek rywalizuje.
    Jak się mają te współczynniki do współczynników z zadania 2?
  
  
• WYKŁAD 11 - równania różniczkowe 2. rzędu.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • O zadaniu ze sprężyną. Na wykładzie wprowadziłem trochę niewygodne oznaczenia, stąd równanie
    nie chciało wyjść w prostej postaci. Najlepiej zacząć tak: niech funkcja y(t) opisuje położenie odważnika
    względem punktu równowagi (tzn. tego punktu, w którym siły ciężkości działające na odważnik
    równoważyłyby siły sprężyny). Niech d_równowagi oznacza odległość punktu równowagi od końca
    nierozciągniętej sprężyny. Niech d oznacza odległość odważnika od owego końca. Wtedy
    y = d - d_równowagi i wszystko działa tak, jak powinno.
  • Zachęcam do sprawdzenia, co na temat zadań z listy mówią strony internetowe do rozwiązywania
    równań różniczkowych, których listę podałem przy wykładzie 9.
  • Spośród podanych tam stron jedynie w ODE's można rozwiązywać równania 2. rzędu (w polu Orderi
    należy wpisać 2).
  
  
• WYKŁAD 10 - równania różniczkowe liniowe.
  • w tym tygodniu listy nie ma
  • O prawie stygnięcia Newtona (którego na wykładzie używaliśmy do określenia godziny zbrodni)
    można poczytać np. na wikipedii. O tym, gdzie poczytać o kinematyce chemicznej, wiecie zapewne
    więcej niż ja. Polecam w każdym razie, żeby czytać te źródła, które używają aparatu matematycznego
    (nie ma kinematyki bez równań różniczkowych!). Możecie zajrzeć np. na artykuł Krystyny Włodkowskiej.
    Używane tam oznaczenia nieco odbiegają od tych z naszego wykładu. Można jednak, do czego
    zachęcam, przeczytać o reakcjach pierwszego i drugiego rzędu i śledząc równania różniczkowe, które je
    opisują, zrozumieć, dlaczego czas połowicznego rozpadu ma sens w przypadku reakcji pierwszego rzędu,
    a nie ma w przypadku reakcji wyższych rzędów.
  
  
• WYKŁAD 9 - równania różniczkowe.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • W Internecie można znaleźć wiele appletów do rozwiązywania równań różniczkowych i rysowania
    ich rozwiązań szczególnych. Oto przykłady (jeśli nie działają, być może trzeba zainstalować Javę):
  • DiffEqu - Na dole wpisujemy równania, które chcemy rozwiązać. Jak widać musi ono być
    postaci dy/dx=... i w tym, co wpiszemy może występować i y i x. Po wpisaniu równiania trzeba
    kliknąć Draw. To, co zobaczymy, to naszkicowane rozwiązania szczególne dla wielu warunków
    początkowych. Jeśli klikniemy na układ współrzędnych, zobaczymy wyraźnie narysowane konkretne
    rozwiązanie szczególne, które przechodzi przez ten punkt, który kliknęliśmy. Klikając na punkt
    określamy po prostu warunek początkowy (jeśli punkt ma współrzędne 2,5, to warunkiem jest y(2)=5;
    niestety w tym applecie osie współrzędnych nie są podpisane).
  • ODE's. Pierwsze co powinniśmy zrobić to wpisać w polu Order wartość 1. Dzięki temu będziemy
    rysować równania pierwszego rzędu, a więc takie, jakie (na razie) rozważamy. W polu powyżej
    możemy wpisywać równania różniczkowe, podobnie, jak w pierwszym applecie. Potem, manewrując
    niebieskim punktem możemy oglądać konkretne rozwiązania szczególne, a mianowicie te, które
    przechodzą przez niebieski punkt. Niebieski punkt określa nam po prostu warunek początkowy.
    Tym razem wartości na osiach liczbowych są już zaznaczone.
  • Wpisując w Google differential equations i applet można znaleźć więcej podobnych stron.
    Niestety, nie znalazłem żadnej po polsku (co nie znaczy, że takiej nie ma).
  
  
• WYKŁAD 8 - całki krzywoliniowe. (na egzaminie nieobowiązujący)
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Przypominam, że całek krzywoliniowych nie będzie na egzaminie.
    Na stronie Wikipedia: Lista Krzywych znajdują się przykłady różnych krzywych na płaszczyźnie.
    Przy niektórych z nich podany jest też opis parametryczny (a więc taki, jak na wykładzie).
    Zainteresowanych pogłębieniem swej wiedzy na temat całek krzywoliniowych odsyłam
    do wykładół Macieja Grzesiaka z Politechniki Poznańskiej.
  
  
• WYKŁAD 7 - zastosowania całek podwójnych.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Na wykładzie wymieniliśmy tylko niektóre zastosowania całek podwójnych. Więcej
    zastosowań w fizyce można znaleźć w skrypcie dla studentów Politechniki Wrocławskiej
    Gewerta i Skoczylasa Analiza matematyczna 2. O środku masy można też poczytać na
    stronie stronie Pawła Gładkiego z Uniersytetu Śląskiego.
  
  
• WYKŁAD 6 - całki podwójne.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Prezentacja (plik MAC)
  • Całka podwójna z funkcji (dodatniej) po obszarze to objętość między wykresem tej funkcji a
    płaszczyzną XY nad tym obszarem. np. nad prostokątem. Pod tym adresem można znaleźć
    program flashowy B. Kaskosz do ćwiczenia zamiany całek podwójnych na iterowane,
    zarówno we współrzędnych kartezjańskich, jak i biegunowych (możemy je wybrać w prawym
    górnym rogu (rectangular = kartezjańskie, polar = biegunowe)). Kolejność całkowania można
    zmienić klikając na dx'y.
  
  
• WYKŁAD 5 - błędy pomiaru i krzywa Gaussa. (na egzaminie nieobowiązujący)
  • w tym tygodniu listy zgodnie z obietnicą nie ma
  • Krzywa Gaussa dla różnych wartości odchylenia standardowego a krzywa Gaussa dla
    różnych wartości oczekiwanych (średnich). Znacznie ładniejsze rysunki tego typu, wraz z teorią
    (co prawda o wiele szerszą niż ta, którą poznaliśmy) i portretem Gaussa, można
    znaleźć na stronie wykładu ze statystyki Uniwersytetu Warszawskiego.
    Na tej stronie można też znaleźć tablicę rozkładu normalnego.
    A tutaj wykres krzywej Gaussa wzrostu dla populacji Polek (średnia = 167 cm, odchylenie
    standardowe = 7 cm). Pole zaznaczonego obszaru reprezentuje prawdopodobieństwo, że losowo
    wybrana Polka będzie wyższa niż 170 cm i niższa niż 180 cm. Wynosi ono ok. 0,3.
  
  
• WYKŁAD 4 - ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Prezentacja wraz z preambułą (plik MAC x 2)
  • Przykład 1. Prześledzimy procedurę szukania największej / najmniejszej
    wartości na prostokącie [2,15]x[2,15] na przykładzie takiej funkcji. Zaczynamy od znalezienia
    kandydatów na ekstrema wewnątrz obszaru (niebieskie punkciki, nie wszystkie są widoczne). Następnie
    szukamy ekstremów warunkowych na brzegu (brązowe punkciki). Nie możemy zapominać o
    wierzchołkach (czerwone). Największa wartość (żółta!) realizowana jest w jednym z ekstremów
    wewnętrznych. A najmniejsza wartość (zielona, widok z drugiej strony niż na poprzednich
    wykresach) znajduje się w jednym z ekstremów warunkowych na brzegu. Morał: największe i
    najmniejsze wartość mogą się funkcji przydarzać w różnych miejsach - wewnątrz obszaru i na
    jego brzegu. Dlatego trzeba sprawdzać i tu i tu (i w wierzchołkach).
  • Przykład 2. Oczywiście, jeśli możemy oglądnąć wykres funkcji, nie musimy liczyć wartości we
    wszystkich kandydatach na ekstrema (wewnątrz i na brzegu), ale tylko tych, które mają szansę
    być największe. Czasami zadanie jest wyjątkowo łatwe - nie trzeba nic wiedzieć o pochodnych,
    żeby znaleźć największą wartość tej funkcji. Wystarczy policzyć jej wartość w wierzchołku
    (i wiedzieć w którym).
    Niestety, nie zawsze dane jest nam oglądnąć wykres funkcji. W szczególności będzie to trudne
    na egzaminie. Wtedy zostaje nam żmudne stosowanie zobrazowanej w przykładzie 1. procedury.
  
  
• WYKŁAD 3 - ekstrema funkcji wielu zmiennych.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Prezentacja (plik MAC)
  • Na początek przykład funkcji, która w punkcie (0,0) ma minimum, maksimum, punkt siodłowy.
    A teraz wykres funkcji f(x,y)=xy+10, z warunkiem x^2+x^2=3 narysowanym
    na plaszczyznie XY. Znajdowanie ekstremow funkcji f przy tym warunku, to tak naprawdę
    znajdowanie ekstremów funkcji narysowanej tutaj czerwonym kolorem.
  
  
• WYKŁAD 2 - funkcje wielu zmiennych, wprowadzenie.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Prezentacja (plik MAC)
  • Jeden z drugim przykład wykresów funkcji dwóch zmiennych.
    A tutaj wykres drogi od czasu i przyśpieszenia w ruchu jednostajnie przyśpieszonym.
    Tutaj przecinamy go płaszczyzną o ustalonym a=2. Tutaj rysuje się nam krzywa
    powstała z przecięcia owej płaszczyzny z naszym wykresem. A tutaj już sama krzywa,
    która jest po prostu wykresem drogi od czasu dla stałego przyśpieszenia (a=2).
  
  
• WYKŁAD 1 - funkcje wykładnicze i logarytmy.
  • Lista zadań (plik PDF)
  • Prezentacja (plik MAC)
  • Tutaj można obejrzeć histogram pH wybranych substancji i skonfrontować go z
    histogramem stężeń wodorowych owych substancji (w ramach rozważań na temat
    dlaczego w definicji pH występuje logarytm). Natomiast tutaj przykład użycia
    skali logarytmicznej z zupełnie innej bajki (mapka prezentująca liczbę ofiar tsunami
    w poszczególnych krajach).
  • literatura dodatkowa: pH-owa jednostka, logarytmy oczami chemika,
    skala logarytmiczna na wikipedii, prawo Webera-Fechnera na wikipedii,
    "Matematyka dla chemików", Erich Steiner, rozdziały 3.5, 3.6.