Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami. Ze względów historycznych, w kontekscie przestrzeni
liniowych liczby rzeczywiste nazywamy skalarami.
Wektor
(to jest wynik mnożenia wektora
przez skalar
)
nazywamy skalarną krotnością wektora
.
Aksjomaty L1-L4 opisują
własności dodawania wektorów w przestrzeni liniowej, zaś aksjomaty
L5-L8 własności mnożenia przez skalary. Przestrzenie liniowe nad
nazywamy rzeczywistymi przestrzeniami liniowymi.
Gdy w definicji 1.1 zastąpimy ciało liczb rzeczywistych dowolnym
ciałem , dostaniemy definicję przestrzeni liniowej nad ciałem
. W szczególności można rozważać przestrzenie liniowe nad
ciałem liczb zespolonych
, zwane zespolonymi przestrzeniami
liniowymi. Mówiąc o przestrzeniach liniowych będziemy mieli jednak
na myśli przestrzenie liniowe nad
, chyba że zaznaczymy inaczej.
Przykłady.
1. Wspomniane na wstępie przestrzenie
ze zwykłymi działaniami
dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalary są
najważniejszymi przykładami przestrzeni liniowych.
2. Przestrzeń wielomianów. W zbiorze
wielomianów zmiennej
mamy określone w
naturalny sposób dodawanie wielomianów i mnożenie wielomianów
przez skalary
dane wzorami
Zbiór
wraz z tymi działaniami tworzy przestrzeń liniową
wielomianów zmiennej
. Podobnie określamy przestrzeń liniową
wielomianów zmiennych
oraz przestrzenie liniowe
wielomianów większej liczby zmiennych.
3. Przestrzeń funkcji ciągłych. Niech
jest ciągła
będzie
zbiorem funkcji
ciągłych na
. Dla funkcji
oraz skalara
definiujemy funkcje
oraz
w następujący sposób.
Załóżmy teraz, że jest ustaloną przestrzenią
liniową. Dla oswojenia czytelnika z tym pojęciem wyciągniemy teraz
kilka prostych wniosków z aksjomatów L1-L8.
(2) Niech . Na mocy L4 istnieje wektor
taki, że
. Załóżmy, że
również spełnia
równości
. Wtedy, korzystając z aksjomatów
L1-L8 dostajemy
Podobnie jak w przypadku przestrzeni
w abstrakcyjnej
przestrzeni
definiujemy odejmowanie wektorów wzorem
(b) Na odwrót, załóżmy, że wektor spełnia
. Pokażemy,
że
.
implikuje, że
Z (a) i (b) wynika natychmiast implikacja w uwadze 1.4.
. Załóżmy, że
i
. Następujący ciąg
równości pokazuje, że wówczas
.
Rozważmy teraz dowolną płaszczyznę w przestrzeni
,
zawierającą
. łatwo sprawdzić, że wraz z każdymi dwoma
wektorami
płaszczyzna ta zawiera ich sumę
, jak
również dowolną skalarną krotność
. Co więcej,
jest
sama w sobie przestrzenią liniową, względem działań przestrzeni
. Dlatego
nazywamy podprzestrzenią przestrzeni
. Ogólnie wprowadzamy następującą definicję.
Najprostszymi przykładami podprzestrzeni przestrzeni liniowej
są: podprzestrzeń zerowa
i cała przestrzeń
.
nazywamy podprzestrzenią niewłaściwą przestrzeni
. Każdą
podprzestrzeń przestrzeni
różną od
nazywamy
podprzestrzenią właściwą.
Przykłady.
1. Płaszczyzna
przechodząca przez
jest
podprzestrzenią
. Jednak na mocy uwagi 1.8 widzimy, że żadna
płaszczyzna w
nieprzechodząca przez
nie jest
podprzestrzenią
.
2. Niech
oznacza zbiór wielomianów rzeczywistych zmiennej
stopnia
. Wówczas
jest podprzestrzenią przestrzeni
. W szczególności,
sam w sobie jest przestrzenią
liniową.
Jednak np. zbiór
wielomianów o współczynnikach calkowitych
nie jest podprzestrzenią
.
Jak zobaczymy za chwilę, z pojęciem podprzestrzeni liniowej blisko związane jest pojęcie kombinacji liniowej wektorów.
Przykłady.
1. Niech
będzie różny od
. Wówczas skalarne
krotności wektora
tworzą prostą wzdłuż wektora
(zwaną
też prostą generowaną przez
.
2. Niech
będą liniowo niezależne (tzn. nie leżące na
jednej prostej przechodzącej przez
). Wówczas liniowe
kombinacje
wektorów
tworzą płaszczyznę
generowaną przez wektory
.
Pozostaje pokazać, że jest najmniejszą podprzestrzenią
zawierającą
. W tym celu przypuśćmy, że
jest
podprzestrzenią
zawierającą
. Pokażemy, że
. Istotnie,
jest zamknięta względem dodawania wektorów i
mnożenia wektorów przez skalary. Dlatego wraz z każdym układem
wektorów
dowolna liniowa kombinacja tych
wektorów również należy do
. Mamy
, więc
.
Przykład.
Niech
będą liniowo niezależne. Wtedy
jest płaszczyzną generowaną przez
w
, zaś
to prosta generowana przez
.
Proste w przestrzeni
zawierające
to
podprzestrzenie
. Przyjrzyjmy się teraz prostym w przestrzeni
, które nie zawierają
. Każda taka prosta
powstaje
przez przesunięcie pewnej prostej
zawierającej
o
pewien wektor
. Możemy wtedy napisać
Ogólnie, dla zbiorów definiujemy ich sumę
kompleksową jako zbiór
Skoro , to
dla pewnego
. Mamy
więc
. Pokażemy najpierw, że
.
Niech . Zatem dla pewnego
mamy
Podobnie sprawdzamy, że
.
(2) Załóżmy, że i
są dwiema warstwami
w
. Jeśli
i
nie są rozłączne, to istnieje wektor
. Wtedy na mocy (1) dostajemy
.
(3) Dowolny wektor należy do warstwy
, zatem warstwy
takie pokrywają całą przestrzeń
.
Warstwy podprzestrzeni będą przydatne przy rozwiązywaniu układów
równań liniowych. W tym miejscu warto jeszcze wspomnieć o pewnym
przykładzie przestrzeni liniowej związanym z warstwami. Mianowicie
niech będzie podprzestrzenią przestrzeni
. Przez
oznaczmy zbiór warstw podprzestrzeni
w przestrzeni
.
Przestrzenie postaci nazywamy przestrzeniami ilorazowymi.