Wstęp

Niniejszy skrypt zawiera wykład podstawowych pojęć algebry liniowej. Przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów matematycznych. Zakładamy, że student poznał już na wykładzie algebry liniowej I pewne pojęcia algebry liniowej związane z przestrzeniami ${\mathbb{R}}^2$ i ${\mathbb{R}}^3$. Pojęcia te są dobrze wyłożone np. w książce Banchoffa i Wernera, Linear algebra through geometry (Springer, 1992). Zakładamy również znajomość liczb zespolonych i działań na macierzach. Koncentrujemy się głównie na przestrzeniach liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych ${\mathbb{R}}$. Skrypt zawiera materiał odpowiadający 45-godzinnemu semestralnemu wykładowi. Rozdziały odpowiadają kolejnym 3-godzinnym wykładom.

Będziemy używać pewnych podstawowych pojęć algebry, takich jak działanie na zbiorze i struktura algebraiczna.

$n$-arnym (inaczej $n$-argumentowym) działaniem na niepustym zbiorze $A$ nazywamy dowolną $n$-argumentową funkcję $f$ o argumentach ze zbioru $A$ i wartościach w zbiorze $A$. Najczęściej w algebrze rozważa się działania 2-argumentowe (zwane też binarnymi). Archetypami tego pojęcia są zwykłe działania arytmetyczne na liczbach: dodawanie i mnożenie. Z tego powodu, gdy $*$ jest działaniem binarnym na zbiorze $A$, wartość działania $*(x,y)$ na argumentach $x,y\in A$ zapisujemy jako $x*y$. Będziemy też używać pewnych działań jednoargumentowych, zwanych działaniami unarnymi.

Strukturą algebraiczną nazywamy dowolny niepusty zbiór $A$ wraz z pewną liczbą działań na tym zbiorze. Strukturę taką zapisujemy w formie układu $(A; f_1,f_2,\dots)$, gdzie $f_1,f_2,\dots$ są działaniami na zbiorze $A$, zwanym dziedziną (uniwersum) danej struktury. Gdy wiadomo, jakie działania są określone w danej strukturze $(A; f_1,f_2,\dots)$, dla jej oznaczenia używamy po prostu symbolu $A$.

Przykłady struktur algebraicznych to zbiór liczb rzeczywistych ${\mathbb{R}}$ z dodawaniem i mnożeniem. Strukturę $({\mathbb{R}},+,\cdot)$ nazywamy ciałem liczb rzeczywistych. Podobnie strukturę $({\mathbb{C}},+,\cdot)$ nazywamy ciałem liczb zespolonych. Różne struktury algebraiczne są podstawowym obiektem badań algebry. Algebra liniowa zajmuje się badaniem struktur zwanych przestrzeniami liniowymi.

Wektory przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$ oznaczamy zazwyczaj literami $X,Y,Z$. Zapisujemy je w postaci kolumn wysokości $n$. $E_1,\dots,E_n$ to wektory bazowe ${\mathbb{R}}^n$. Wektor $E_i$ to kolumna mająca na $i$-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych miejscach zera. Elementy abstrakcyjnych przestrzeni liniowych będziemy oznaczać literami $v,w,u$.

$N$ oznacza zbiór liczb naturalnych $\{0,1,2,\dots\}$, $Z$ oznacza zbiór liczb całkowitych, $Q$ oznacza zbiór liczb wymiernych.