13. Funkcjonały liniowe i dwuliniowe

W rozdziale 10, dla macierzy $A=[a_{ij}]_{n\times n}$, zdefiniowaliśmy funkcję $\Phi_A:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}$ wzorem

$$\Phi_A(X,Y)=X^*AY=\sum a_{ij}x_iy_j.$$

W tym rozdziale poznamy kryterium pozwalające rozstrzygnąć, czy $\Phi_A$ definiuje iloczyn skalarny w przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$. Najpierw jednak zajmiemy się funkcjonałami liniowymi na przestrzeni liniowej $V$.

Przypomnijmy (rozdział 3), że funkcjonałem liniowym na przestrzeni $V$ nazywamy dowolne przekształcenie liniowe $F:V\rightarrow {\mathbb{R}}$. Przestrzeń funkcjonałów liniowych $Hom(V,{\mathbb{R}})$ oznaczamy przez $V^*$, nazywamy ją przestrzenią sprzężoną (lub: dualną) do $V$ (rozdział 4).

W tym rozdziale zakładamy, że $V$ jest przestrzenią liniową wymiaru $n$. załóżmy, że ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ jest bazą $V$. Przy pomocy tej bazy skonstruujemy bazę ${\cal B}^*=\{b_1^*,\dots,b_n^*\}$ przestrzeni $V^*$. Mianowicie definiujemy $b^*_i$ jako jedyny fukcjonał liniowy na $V$ taki, że

$$b^*_i(b_j)=\left\{\begin{array}{cl}1,&\mbox{gdy } j=i\\ 0,&\mbox{gdy }j\neq i.\end{array}\right.$$

Zatem dla wektora $v=\sum t_jb_j\in V, b^*_i(v)=b^*_i(\sum t_jb_j)=\sum t_jb^*_i(b_j)=t_i$.

Uwaga 13.1   ${\cal B}^*=\{b^*_1,\dots,b^*_n\}$ jest bazą przestrzeni $V^*$ (zwaną bazą sprzężoną do ${\cal B}$).

Dowód. a) Liniowa niezależność. Przypuśćmy nie wprost, że np. $b^*_1$ jest liniową kombinacją wektorów $b^*_2,\dots,b^*_n$, tzn.

$$b^*_1=\sum_{i=2}^ns_ib^*_i$$

dla pewnych $s_i\in R$. Wówczas jednak $b^*_1(b_1)=1$, podczas gdy

$$\left(\sum_{i=2}^ns_ib^*_i\right)(b_1)=\sum_{i=2}^ns_ib^*_i(b_1)=0,$$

sprzeczność.

b) Generowanie $V^*$. Niech $F\in V^*$ oraz $s_i=F(b_i)$ dla $i=1,\dots,n$. Wówczas funkcjonały $\sum s_ib^*_i$ i $F$ zgadzają się na wektorach bazowych
$b_1,\dots,b_n$, więc są równe.

W rozdziale 4 zauważyliśmy już, że przestrzenie $V$ i $V^*$ mają ten sam wymiar, więc są izomorficzne. Przy użyciu bazy sprzężonej ${\cal B}^*$ możemy jawnie zdefiniować izomorfizm $F:V\rightarrow V^*$ wzorem

$$F(\sum t_ib_i)=\sum t_ib^*_i.$$

Izomorfizm ten w istotny sposób zależy od wyboru bazy ${\cal B}$ przestrzeni $V$, i w tym sensie nie jest kanoniczny. Okazuje się, że możemy jednak określić kanoniczny (niezależny od wyboru bazy) izomorfizm między $V$ i $(V^*)^*$.

Uwaga 13.2   Przestrzenie $V$ i $(V^*)^*$ są kanonicznie izomorficzne.

Dowód. Określamy izomorfizm $F:V\rightarrow (V^*)^*$ w następujący sposób. Dla wektora $v\in V, F(v):V^*\rightarrow R$ jest funkcjonałem liniowym określonym wzorem $F(v)(\varphi)=\varphi(v)$ dla $\varphi\in V^*$. Sprawdzenie, że $F$ jest izomorfizmem, pozostawiamy jako ćwiczenie.

W przypadku przestrzeni euklidesowej $V$ możemy określić izomorfizm $F:V\rightarrow V^*$ w sposób bardziej naturalny. Mianowicie, dla $v\in V$ definiujemy $F(v)\in V^*$ wzorem $F(v)(w)=\langle v,w\rangle$. Sprawdzenie, że $F$ jest izomorfizmem, pozostawiamy jako ćwiczenie. Izomorfizm ten nazywa się izomorfizmem Frecheta-Riesza.

Okazuje się, że uwaga 13.2 nie jest prawdziwa dla przestrzeni $V$ nieskończonego wymiaru.

Przykłady.

1. Wielomian postaci $W(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ gdzie $a_1,\dots,a_n\in {\mathbb{R}}$, nazywamy formą liniową. Wielomian ten w naturalny sposób określa funkcjonał liniowy $W:{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}$.

2. Ogólniej, załóżmy, że $F:V\rightarrow {\mathbb{R}}$ jest liniowe i $v=\sum t_ib_i\in V$. Niech $a_i=F(b_i)$. Wtedy

$$F(v)=F(\sum t_ib_i)=\sum t_iF(b_i)=a_1t_1+\cdots+a_nt_n=W(t_1,\dots,t_n),$$

gdzie $W(x_1,\dots,x_n)=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$. Formę $W(x_1,\dots,x_n)$ nazywamy formą liniową funkcjonału $F$ w bazie ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$.

W algebrze liniowej obok przekształceń i funkcjonałów liniowych rozpatruje się również przekształcenia i funkcjonały wieloliniowe. Funkcjonałem $k$-liniowym na przestrzeni $V$ nazywamy dowolną funkcję

$$F:\underbrace{V\times\cdots\times V}_k\rightarrow {\mathbb{R}}$$

liniową na każdej współrzędnej, tzn. spełniającą dla wszystkich współrzędnych $i=1,\dots,k$, wektorów $v_i,v_i'\in V$ oraz skalarów $t\in {\mathbb{R}}$ następujące warunki.

1. $F(\dots,v_i+v_i',\dots)=F(\dots,v_i,\dots)+F(\dots,v_i',\dots)$
2. $F(\dots,tv_i,\dots)=tF(\dots,v_i,\dots)$.

Przykładem funkcjonału $n$-liniowego na przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$ jest wyznacznik (por. aksjomaty D1-D4 z rozdziału 5). W tym rozdziale zajmiemy się bliżej funkcjonałami 2-liniowymi na przestrzeni $V$.

Definicja 13.3   Przekształcenie $\Phi:V\times V\rightarrow {\mathbb{R}}$ jest funkcjonałem 2-liniowym na przestrzeni $V$, gdy jest liniowe na obu współrzędnych, tzn. gdy spełnia następujące warunki.

1. $\Phi(v+v',w)=\Phi(v,w)+\Phi(v',w)$ 1'.    $\Phi(v,w+w')=\Phi(v,w)+\Phi(v,w')$


2. $\Phi(tv,w)=t\Phi(v,w)$		 2'.    $\Phi(v,tw)=t\Phi(v,w)$

Przykłady funkcjonałów 2-liniowych to iloczyn skalarny lub funkcja $\Phi_A:R^n\times {\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}$ zdefiniowana na początku tego rozdziału.

Załóżmy teraz, że $\Phi:V\times V\rightarrow {\mathbb{R}}$ jest dowolną funkcją. Dla $v,w\in V$ definiujemy funkcje $\Phi_v:V\rightarrow {\mathbb{R}}$ i $\Phi^w:V\rightarrow {\mathbb{R}}$ wzorami

$$\Phi_v(u)=\Phi(v,u)\mbox{ i }\Phi^w(u)=\phi(u,w).$$

łatwo sprawdzić, że $\Phi$ jest funkcjonałem 2-liniowym $\iff$ dla wszystkich $v,w\in V, \Phi_v$ i $\Phi^w$ są liniowe (tzn. należą do $V^*$).

Z funkcjonałem 2-liniowym $\Phi:V\times V\rightarrow {\mathbb{R}}$ wiążemy przekształcenia liniowe $\Phi',\Phi'':V\rightarrow V^*$ określone wzorami

$$\Phi'(v)=\Phi_v\mbox{ i }\Phi''(w)=\Phi^w.$$

Zwróćmy uwagę, że gdy $\Phi$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni $V$, to $\Phi'$ jest izomorfizmem Frecheta-Riesza.

Wielomian $W=\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}x_iy_j$ nazywamy formą 2-liniową zmiennych $x_i,y_j$. Wielomian ten definiuje funkcjonał 2-liniowy $\Phi_A:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}$ wyznaczony przez macierz $A=[a_{ij}]_{n\times n}$. Okazuje się, że dowolnemu funkcjonałowi 2-liniowemu $\Phi:V\times V\rightarrow {\mathbb{R}}$ możemy przypisać pewną macierz, przy pomocy której możemy obliczac wartośći $\Phi(v,w)$. Niech

$$A=[a_{ij}]_{n\times n},\mbox{ gdzie }a_{ij}=\Phi(b_i,b_j).$$

Macierz $A$ nazywamy macierzą funkcjonału 2-liniowego $\Phi$ w bazie ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$, oznaczamy ją przez $m_{{\cal B}}(\Phi)$. Formę 2-liniową $\sum_{i,j}a_{ij}x_iy_j$ nazywamy formą funkcjonału $\Phi$ w bazie ${\cal B}$. Definicję tę uzasadnia następujący fakt.

Fakt 13.4   Dla $v,w\in V, \Phi(v,w)=\sum_{i,j}a_{ij}t_is_j=[v]^*_{{\cal B}}A[w]_{{\cal B}}$, gdzie

$$[v]_{{\cal B}}=\left[\begin{array}{c}t_1 \vdots\\ t_n\end{... ...}}=\left[\begin{array}{c}s_1 \vdots\\ s_n\end{array}\right].$$

Dowód. $v=\sum t_ib_i, w=\sum s_jb_j$. Dlatego korzystając z 2-liniowości $\Phi$ dostajemy

$$\Phi(v,w)=\Phi(\sum t_ib_i,\sum s_jb_j)=\sum_{i,j}t_is_j\Phi(b_i,b_j)=\sum_{i,j}a_{ij}t_is_j.$$

Podobnie jak w przypadku macierzy przekształceń liniowych zbadamy teraz, jak zmienia się macierz funkcjonału 2-liniowego $\Phi$ przy zmianie bazy przestrzeni $V$. Załóżmy, że ${\cal C}=\{c_1,\dots,c_n\}$ jest inną bazą przestrzeni $V$.

Fakt 13.5   $m_{{\cal C}}(\Phi)=(m_{{\cal C}{\cal B}}(id))^*m_{{\cal B}}(\Phi)m_{{\cal C}{\cal B}}(id)$.

Dowód. W dowodzie skorzystamy z tego, że dla macierzy $A,B$ odpowiednich rozmiarów mamy $(AB)^*=B^*A^*$ (zadanie).

Niech $v,w\in V$. Wówczas

$$[v]_{{\cal B}}=m_{{\cal C}{\cal B}}(id)[v]_{{\cal C}}\mbox{ i } [w]_{{\cal B}}=m_{{\cal C}{\cal B}}(id)[w]_{{\cal C}}.$$

Transponując macierze po obu stronach lewej równości dostajemy $[v]^*_{{\cal B}}=[v]^*_{{\cal C}}(m_{{\cal C}{\cal B}}(id))^*$. Dlatego

$$[v]^*_{{\cal C}}(m_{{\cal C}{\cal B}}(id))^*m_{{\cal B}}(\Phi... ...C}}=[v]^*_{{\cal B}}m_{{\cal B}}(\Phi)[w]_{{\cal B}}=\Phi(v,w).$$

Podstawiając za $v,w$ wektory $c_i,c_j$ widzimy, że

$$m_{{\cal C}}(\Phi)=(m_{{\cal C}{\cal B}}(id))^*m_{{\cal B}}(\Phi)m_{{\cal C}{\cal B}}(id).$$

Zwróćmy uwagę, że funkcjonał $\Phi_A$ określony na początku tego rozdziału ma macierz $A$ w bazie standardowej ${\cal E}$ przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$.

Definicja 13.6   Załóżmy, że $\Phi$ jest funkcjonałem 2-liniowym na przestrzeni $V$.
1) $\Phi$ jest symetryczny $\iff\Phi(v,w)=\Phi(w,v)$ dla wszystkich $v,w\in V$.
2) $\Phi$ jest dodatnio określony $\iff\Phi(v,v)>0$ dla wszystkich niezerowych $v\in V$.

W szczególności możemy krótko zdefiniować iloczyn skalarny w przestrzeni $V$ jako dowolny symetryczny dodatnio określony funkcjonał 2-liniowy na przestrzeni $V$. Zatem, by sprawdzić, czy funkcjonał $\Phi_A$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$, wystarczy sprawdzić, czy jest on symetryczny i dodatnio określony.

Definicja 13.7   1) Macierz $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ jest symetryczna $\iff a_{ij}=a_{ji}$ dla wszystkich $i,j$.
2) Macierz $A$ jest dodatnio określona, gdy funkcjonał $\Phi_A$ jest dodatnio określony, tzn. gdy $X^*AX>0$ dla wszystkich niezerowych wektorów $X\in {\mathbb{R}}^n$.

Uwaga 13.8   1) $\Phi$ jest symetryczny $\iff m_{{\cal B}}(\Phi)$ jest symetryczna.
2) $\Phi$ jest dodatnio określony $\iff$ macierz $m_{{\cal B}}(\Phi)$ jest dodatnio określona.

Dowód. 1) Niech $A=[a_{ij}]=m_{{\cal B}}(\Phi)$.

$\Rightarrow$. Jeśli $\Phi$ jest symetryczny, to $a_{ij}=\Phi(b_i,b_j)=\Phi(b_j,b_i)=a_{ji}$, więc macierz $A$ jest symetryczna.

$\Leftarrow$. Załóżmy, że macierz $A$ jest symetryczna. Niech $v=\sum t_ib_i, w=\sum s_jb_j\in V$. Wtedy

$$\Phi(v,w)=\sum_{i,j}a_{ij}t_is_j=\sum_{i,j}a_{ji}s_jt_i= \Phi(w,v).$$

Dowód (2) pozostawiamy jako ćwiczenie.

Sprawdzenie, czy dana macierz jest symetryczna, jest łatwe. Do sprawdzenia, czy dana macierz symetryczna $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ jest dodatnio określona, służy kryterium Sylvestera, które opiszemy poniżej.

Niech $A_k$ będzie fragmentem macierzy $A$ złożonym z wyrazów $a_{ij}, 1\leq i,j\leq k$.

Twierdzenie 13.9 (kryterium Sylvestera)   Załóżmy, że macierz $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ jest symetryczna. Wtedy macierz $A$ jest dodatnio określona $\iff\det(A_k)>0$ dla wszystkich $k=1,\dots,n$.

Przykład.

Używając kryterium Sylvestera łatwo sprawdzić, czy funkcjonał $\Phi_A$ jest iloczynem skalarnym. Na przykład rozważmy macierze symetryczne

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 0&2&1 0&1&3\end{array}\ri... ...left[\begin{array}{ccc}0&2&0 2&1&0 0&0&3\end{array}\right].$$

Macierz $A$ jest symetryczna i dodatnio określona, więc funkcjonał $\Phi_A$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni ${\mathbb{R}}^3$. Macierz $B$ jest symetryczna, lecz nie jest dodatnio określona (bo np. $\det(B_1)=0$ i $\det(B_2)<0$). Dlatego $\Phi_B$ nie jest iloczynem skalarnym w ${\mathbb{R}}^3$.

Dowód twierdzenia 13.9. $\Rightarrow$. Załóżmy, że $A$ jest dodatnio określona. Wtedy funkcjonał $\Phi_A:{\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}$ jest iloczynem skalarnym. Pokażemy, że $\det(A_k)>0$ dla wszystkich $k=1,\dots,n$.

Niech ${\cal E}=\{E_1,\dots,E_n\}$ będzie bazą standardową przestrzeni ${\mathbb{R}}^n$.

Dla $k=1,\dots,n$ definiujemy $W_k=Lin({\cal E}_k)$, gdzie ${\cal E}_k=\{E_1,\dots,E_k\}$. Stosując do bazy ${\cal E}$ metodę Grama-Schmidta (twierdzenie 11.1) (w przestrzeni euklidesowej $(R^n,\Phi_A)$), znajdujemy bazę ortonormalną $E_1',\dots,E_n'$ przestrzeni $({\mathbb{R}}^n,\Phi_A)$ taką, że ${\cal E}'_k=\{E_1',\dots,E_k'\}$ jest bazą przestrzeni $W_k$ ($k=1,\dots,n$).

Oznaczmy przez $\Phi_k$ funkcjonał 2-liniowy na przestrzeni $W_k$ powstały przez ograniczenie funkcjonału $\Phi_A$. Zwróćmy uwagę, że $A_k=m_{{\cal E}_k}(\Phi_k)$. Ponadto skoro baza ${\cal E}'$ jest ortonormalna w $({\mathbb{R}}^n,\Phi_A)$, to $m_{{\cal E}'_k}(\Phi_k)=I$. Na mocy faktu 13.5 mamy więc $I=m_{{\cal E}_k'}(\Phi_k)=C^*A_kC$, gdzie $C=m_{{\cal E}_k'{\cal E}_k}(id)$, więc na mocy wniosku 5.13 i twierdzenia 5.14

$$1=\det(I)=\det(C^*)\cdot\det(A_k)\cdot\det(C)=\det(C)^2\cdot\det(A).$$

Macierz $C$ jest jednak odwracalna (uwaga 6.5), więc $\det(C)^2>0$. Dlatego $\det(A_k)>0$.

$\Leftarrow$. Tę część dowodu przeprowadzimy przez indukcję względem $n$. Dla $n=1$ teza jest oczywista. Załóżmy więc, że twierdzenie jest słuszne dla $n$, udowodnimy je dla $n+1$.

Załóżmy, że $A$ jest macierzą symetryczną wymiaru $(n+1)\times (n+1)$ oraz $\det(A_k)>0$ dla wszystkich $k=1,\dots,n+1$. Pokażemy, że funkcjonał $\Phi_A:{\mathbb{R}}^{n+1}\times {\mathbb{R}}^{n+1}\rightarrow {\mathbb{R}}$ jest dodatnio określony. Wiemy już, że $\Phi_A$ jest symetryczny. Z założenia indukcyjnego wynika, że macierz $A_n$ jest symetryczna i dodatnio określona.

Niech ${\cal E}=\{E_1,\dots,E_{n+1}\}$ będzie bazą standardową ${\mathbb{R}}^{n+1}$ i niech $W=Lin({\cal E}_n)$, gdzie ${\cal E}_n=\{E_1,\dots,E_n\}$. Niech $\Phi$ będzie obcięciem funkcjonału $\Phi_A$ do przestrzeni $W$. $m_{{\cal E}_n}(\Phi)=A_n$, więc funkcjonał $\Phi$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni $W$. Niech ${\cal C}=\{c_1,\dots,c_n\}$ będzie bazą ortonormalną przestrzeni euklidesowej $(W,\Phi)$. Niech

$$W^{\perp}=\{v\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\forall w\in W, \Phi_A(v,w)=0\}.$$

zauważmy, że

$$W^{\perp}=\bigcap_{w\in W}\{v\in {\mathbb{R}}^{n+1}:(\Phi_A)^w(v)=0\}=\bigcap_{w\in W}Ker(\Phi_A)^w,$$

więc $W^{\perp }$ jest podprzestrzenią ${\mathbb{R}}^{n+1}$ (uwaga 2.1(3)). Pokażemy, że

$$(*) {\mathbb{R}}^{n+1}=W\oplus W^{\perp}.$$

$(*)$ jest równoważne temu, że $W\cap W^{\perp}=\{O\}$ i $W+W^{\perp}={\mathbb{R}}^{n+1}$. Najpierw sprawdzimy, że $W\cap W^{\perp}=\{O\}$.

Przypuśćmy nie wprost, że $W\cap W^{\perp}\neq\{O\}$. Wybierzmy niezerowy wektor $w\in W\cap W^{\perp}$. Wtedy $\Phi(w,w)=\Phi_A(w,w)=0$, co przeczy temu, że $\Phi$ jest iloczynem skalarnym na $W$.

By dowieść, że $W+W^{\perp}={\mathbb{R}}^{n+1}$, wybieramy dowolny wektor $v\in {\mathbb{R}}^{n+1}$. Niech $v'=\sum_{i=1}^n\Phi_A(v,c_i)c_i\in W$. Wektor $v'$ jest określony podobnie jak rzut prostopadły wektora $v$ na podprzestrzeń $W$ (w przestrzeni euklidesowej). Podobnie jak w dowodzie 10.9(3) można dowieść, że $\Phi_A(v-v',w)=0$ dla wszystkich $w\in W$. Dlatego $v''=v-v'\in W^{\perp}$, czyli $v=v'+v''\in W+W^{\perp}$.

Z $(*)$ wynika, że $\dim(W^{\perp})=1$.

Niech teraz $v$ będzie dowolnym niezerowym wektorem przestrzeni ${\mathbb{R}}^{n+1}$. By zakończyć dowód, wystarczy pokazać, że $\Phi_A(v,v)>0$.

Przypadek 1. $v\in W$. W tym przypadku $\Phi_A(v,v)=\Phi(v,v)>0$, gdyż $\Phi$ jest iloczynem skalarnym w przestrzeni $W$.

Przypadek 2. $v\in W^{\perp}$. Niech $a=\Phi_A(v,v)$ i $c_{n+1}=v$. Wtedy ${\cal C}'={\cal C}\cup\{c_{n+1}\}$ jest bazą ${\mathbb{R}}^{n+1}$ taką, że dla $1\leq i<j\leq n+1, \Phi_A(c_i,c_j)=0$. Ponadto dla $1\leq i\leq n, \Phi_A(c_i,c_i)=\Phi(c_i,c_i)=1$ (bo ${\cal C}$ jest bazą ortonormalną $(W,\Phi)$). $m_{{\cal C}'}(\Phi_A)$ jest macierzą diagonalną, na głównej przekątnej jest ciąg $n$ jedynek i $a$. Dlatego $\det(m_{{\cal C}'}(\Phi_A))=a$.

Z założenia $\det(m_{{\cal E}}(\Phi_A))>0$ (gdyż $m_{{\cal E}}(\Phi_A)=A=A_{n+1}$.) Podobnie jak w dowodzie $\Rightarrow$,

$$a=\det(m_{{\cal C}'}(\Phi_A))=\det(m_{{\cal E}}(\Phi_A))\cdot\det(D)^2,$$

gdzie $D=m_{{\cal C}'{\cal E}}(id)$. Dlatego $\Phi_A(v,v)=a>0$.

Przypadek 3. $v\notin W$ i $v\not\in W^{\perp}.$ Na mocy $(*)$, $v=v'+v''$ dla pewnych niezerowych $v'\in W, v''\in W^{\perp}$. Mamy $\Phi_A(v',v'')=0, \Phi_A(v',v')>0$ i $\Phi_A(v'',v'')>0$ (na mocy przypadków 1. i 2.). Dlatego

$$\Phi_A(v,v)=\Phi_A(v'+v'',v'+v'')=\Phi_A(v',v')+2\Phi_A(v',v'')+\Phi_A(v'',v'')>0.$$