12. Klasyfikacja izometrii liniowych

W tym rozdziale opiszemy wszystkie izometrie liniowe przestrzeni euklidesowej skończonego wymiaru. Do tego celu będą nam potrzebne pewne dodatkowe informacje o endomorfizmach rzeczywistych przestrzeni liniowych, jak również pewne fakty o zespolonych przestrzeniach liniowych ${\mathbb{C}}^n$.

Zespoloną przestrzeń liniową ${\mathbb{C}}^n$ możemy traktować jako rzeczywistą przestrzeń liniową wymiaru $2n$ (ograniczając mnożenie do skalarów rzeczywistych). ${\mathbb{R}}\subset {\mathbb{C}}$, więc również ${\mathbb{R}}^n\subset {\mathbb{C}}^n$. ${\mathbb{R}}^n$ składa sie z wektorów $Z\in {\mathbb{C}}^n$ o wszystkich współrzędnych rzeczywistych. ${\mathbb{R}}^n$ jest podprzestrzenią liniową ${\mathbb{C}}^n$ traktowanej jako rzeczywista przestrzeń liniowa, nie jest jednak zespoloną podprzestrzenią ${\mathbb{C}}^n$ (gdyż np. $E_1\in {\mathbb{R}}^n$, lecz $iE_1\not\in {\mathbb{R}}^n$).

Rozważmy wektor

$$Z=\left[\begin{array}{c}z_1 \vdots z_n\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^n.$$

$z_j=x_j+iy_j,\mbox{ gdzie }x_j=Re(z_j), y_j=Im(z_j).$ Dlatego $Z=X+iY$, gdzie

$$X=\left[\begin{array}{c}x_1 \vdots x_n\end{array}\right],... ... y_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^n\subset {\mathbb{C}}^n.$$

Przedstawienie $Z$ w tej postaci jest jednoznaczne, wektory $X$ i $Y$ nazywamy częścią rzeczywistą i częścią urojoną zespolonego wektora $Z$ (piszemy wtedy $X=Re(Z), Y=Im(Z)$.

Rozważmy liczbę zespoloną $t=a+ib , a,b\in {\mathbb{R}}$. Wówczas w przestrzeni zespolonej ${\mathbb{C}}^n$ mamy

$$tZ=(a+ib)(X+iY)=aX+i^2bY+i(aY+bX)=(aX-bY)+i(aY+bX).$$

Dlatego $Re(tZ)=aX-bY$ i $Im(tZ)=aY+bX$.

Przypomnijmy, że podobnie jak w przypadku rzeczywistych przestrzeni liniowych, z każdą macierzą $A$ wymiaru $n\times n$ o wyrazach zespolonych związane jest przekształcenie liniowe $F_A:{\mathbb{C}}^n\rightarrow {\mathbb{C}}^n$ dane wzorem $F_A(Z)=AZ$. W zespolonej algebrze liniowej definiujemy również pojęcia wartości własnej i wektora własnego, jak również wielomianu charakterystycznego macierzy i przekształcenia liniowego. Będziemy korzystać z następującej uwagi.

Uwaga 12.1   Każda macierz zespolona $A$ (wymiaru $n\times n$) ma (zespoloną) wartość własną.

Dowód. Na mocy zasadniczego twierdzenia algebry liczb zespolonych, każdy wielomian zespolony stopnia $>0$ ma pierwiastek w ciele liczb zespolonych. W szczególności wielomian charakterystyczny $\varphi_A(X)$ macierzy $A$ ma pierwiastek zespolony. Na mocy uwagi 8.6(3'), pierwiastek ten jest wartością własną macierzy $A$.

W klasyfikacji izometrii liniowych będziemy używać pojęcia podprzestrzeni $F$-niezmienniczej (definicja 8.10), jak również następującego lematu.

Lemat 12.2   Załóżmy, że $V$ jest rzeczywistą przestrzenią liniową skończonego wymiaru $>0$ i $F:V\rightarrow V$ jest przekształceniem liniowym. Wtedy istnieje podprzestrzeń $F$-niezmiennicza $W\subset V$ wymiaru $1$ lub $2$.

Dowód. Niech ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}$ będzie bazą przestrzeni $V$ oraz niech $A=m_{{\cal B}}(F)$. Stosując izomorfizm liniowy $v\mapsto [v]_{{\cal B}}$ z twierdzenia 3.6, możemy utożsamić przestrzeń liniową $V$ z przestrzenią ${\mathbb{R}}^n$. Wówczas przekształcenie liniowe $F$ staje się przekształceniem $F_A:{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}^n$ o macierzy $A$. Wystarczy znaleźć $F_A$-niezmienniczą podprzestrzeń liniową $W\subset {\mathbb{R}}^n$ wymiaru $1$ lub $2$.

Rozważmy zespolone przekształcenie liniowe $\hat{F}_A:{\mathbb{C}}^n\rightarrow {\mathbb{C}}^n$ o macierzy $A$. Zauważmy, że dla wektorów $X\in {\mathbb{R}}^n\subset {\mathbb{C}}^n$, $\hat{F}_A(X)=AX=F_A(X)$.

Na mocy uwagi 12.1, macierz $A$, a więc również przekształcenie liniowe $\hat{F}_A$, mają zespoloną wartość własną $\lambda$. Zatem istnieje niezerowy wektor $Z\in {\mathbb{C}}^n$ taki, że $\hat{F}_A(Z)=\lambda Z$.

Niech $a=Re(\lambda), b=Im(\lambda)\in {\mathbb{R}}$ i $X=Re(Z), Y=Im(Z)\in {\mathbb{R}}^n$. Mamy więc

$$\lambda=a+ib, Z=X+iY.$$

Dlatego

$$\hat{F}_A(Z)=\hat{F}_A(X+iY)=\hat{F}_A(X)+i\hat{F}_A(Y)=F_A(X)+iF_A(Y),$$

to znaczy $Re(\hat{F}_A(Z))=F_A(X), Im(\hat{F}_A(Z))=F_A(Y)$. Z drugiej strony

$$\lambda Z=(a+ib)(X+iY)=(aX-bY)+i(bX+aY),$$

to znaczy $Re(\lambda Z)=aX-bY, Im(\lambda Z)=bX+aY$. Skoro jednak $\hat{F}_A(Z)=\lambda Z$, to

$$F_A(X)=aX-bY\mbox{ i }F_A(Y)=bX+aY.$$

Wracamy teraz do rzeczywistej przestrzeni liniowej ${\mathbb{R}}^n$. Niech $W=Lin(X,Y)\subset {\mathbb{R}}^n$. $F_A(X),F_A(Y)\in W$ oraz $X,Y$ generują $W$, więc $W$ jest $F_A$-niezmiennicza. Oczywiście $\dim(W)\leq 2$. Wektor własny $Z$ jest niezerowy, więc przynajmniej jeden z wektorów $X,Y$ jest niezerowy. Dlatego $\dim(W)>0$.

Załóżmy teraz, że $V$ jest przestrzenią euklidesową skończonego wymiaru, zaś $F:V\rightarrow V$ jest izometrią liniową.

Lemat 12.3   Jeśli $W\subset V$ jest podprzestrzenią $F$-niezmienniczą, to $W^{\perp }$ też jest $F$-niezmiennicza.

Dowód. łatwo sprawdzić, że zbiór $F[W]$ jest podprzestrzenią przestrzeni $W$. Na mocy wniosku 11.9, $F$ jest izomorfizmem, więc $\dim(F[W])=\dim(W)$. $\dim(W)$ jest jednak skończony, więc na mocy uwagi 2.9(2) mamy

$$(*) F[W]=W.$$

Załóżmy, że $w^{\perp}\in W^{\perp}$, to znaczy $w^{\perp}\perp w$ dla wszystkich $w\in W$. Pokażemy, że $F(w^{\perp})\in W^{\perp}$, to znaczy $F(w^{\perp})\perp w$ dla wszystkich $w\in W$.

Niech $w\in W$. Na mocy $(*)$ znajdujemy $w'\in W$ takie, że $F(w')=w$. $F$ jest izometrią, więc

$$\langle F(w^{\perp}),w\rangle=\langle F(w^{\perp}),F(w')\rangle=\langle w^{\perp},w'\rangle=0.$$

Zajmiemy się teraz opisem izometrii liniowych przestrzeni $V$ w przypadkach, gdy $\dim(V)=1$ lub $2$.

Lemat 12.4   Załóżmy, że $\dim(V)=1$ oraz $F:V\rightarrow V$ jest izometrią liniową. Wtedy $F=id$ lub $F=-id$.

Dowód. Weźmy dowolny niezerowy wektor $v\in V$. Wszystkie wektory przestrzeni $V$ są skalarnymi krotnościami wektora $v$, dlatego $F(v)=tv$ dla pwenego $t\in {\mathbb{R}}$. $t$ jest więc wartością własną $F$, więc na mocy wniosku 11.13, $t=\pm 1$. W przypadku, gdy $t=1$, pokazujemy, że $F=id$. W przypadku, gdy $t=-1$, pokazujemy, że $F=-id$. Szczególy pozostawiamy jako ćwiczenie.

Lemat 12.5   Załóżmy, że $\dim(V)=2$ i $F:V\rightarrow V$ jest izometrią liniową. Wówczas w pewnej bazie ortonormalnej ${\cal B}=\{b_1,b_2\}$ przestrzeni $V$ $F$ ma macierz postaci

$$a) \left[\begin{array}{rr}1&0 0&-1\end{array}\right], b)... ...{ lub } c) \left[\begin{array}{cc}1&0 0&1\end{array}\right].$$

W przypadku (a) $F$ jest odbiciem względem $Lin(b_1)$, w przypadku (b) obrotem o kąt $\alpha$ wokól $O$, w przypadku (c) identycznością.

Dowód. Niech ${\cal C}=\{c_1,c_2\}$ będzie dowolną bazą ortonormalną przestrzeni $V$. Stosując twierdzenie 11.5, możemy utożsamić $V$ z przestrzenią $E^2$ (poprzez izomorfizm $G:V\rightarrow E^2$ taki, że $G(v)=[v]_{{\cal C}}$). Wówczas $F$ staje się izometrią płaszczyzny $E^2$ i na mocy faktów z wykładu algebry liniowej I, jest identycznością (przypadek (c)), obrotem o pewien kąt wokół $O$ (przypadek (b)) lub odbiciem względem pewnej prostej $L$ przechodzącej przez $O$.

W pierwszych 2 przypadkach baza ${\cal C}$ spełnia nasze żądania. W przypadku trzecim musimy ją nieco zmodyfikować. Wybierzmy na płaszczyźnie $E^2$ bazę ortonormalną ${\cal B}'=\{b_1',b_2'\}$ tak, że $b_1'\in L$. Niech $b_1=G^{-1}(b_1'), b_2=G^{-1}(b_2')$. Wówczas w bazie ortonormalnej ${\cal B}=\{b_1,b_2\}$ $F$ ma macierz postaci (a).

Następne twierdzenie podaje klasyfikację izometrii liniowych przestrzeni euklidesowej $V$.

Twierdzenie 12.6   Załóżmy, że $F$ jest izometrią liniową pewnej przestrzeni euklidesowej $V$ skończonego wymiaru $>0$. Wtedy w pewnej bazie ortonormalnej $F$ ma macierz postaci

$$(*) C=\left[\begin{array}{ccc}C_1&\mbox{}&0\\ \mbox{}&\ddot... ...)&-\sin(\alpha)\\ \sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{array}\right].$$

Ponadto $F$ możemy przedstawić jako złożenie pewnej liczby odbić względem hiperpłaszczyzn przechodzących przez $O$ i obrotów wokół $O$ w pewnych płaszczyznach.

Dowód. Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem $n=\dim(V)$. Dla $n=1,2$ twierdzenie wynika z poprzednich dwóch lematów. Przypuśćmy teraz, że $n$ jest dowolne $>2$ oraz, że dla wszystkich przestrzeni euklidesowych wymiaru $<n$ nasze twierdzenie jest udowodnione.

Na mocy lematu 12.2 znajdujemy podprzestrzeń $F$-niezmienniczą $W\subset V$ wymiaru $1$ lub $2$. Na mocy lematu 12.3, podprzestrzeń $W^{\perp }$ jest również $F$-niezmiennicza i $V=W\oplus W^{\perp}$ (uwaga 11.3). Dlatego $\dim(W),\dim(W^{\perp})<\dim(V)$ i możemy skorzystać z założenia indukcyjnego dla przestrzeni euklidesowych $W$ i $W^{\perp }$ (z iloczynem skalarnym indukowanym z przestrzeni $V$).

Rozważmy mianowicie funkcje $F_1=F\vert _W$ i $F_2=F\vert _{W^{\perp}}$. Z uwagi na $F$-niezmienniczość przestrzeni $W$ i $W^{\perp }$, funkcje $F_1$ i $F_2$ są izometriami liniowymi przestrzeni $W$ i $W^{\perp }$ odpowiednio.

Na mocy założenia indukcyjnego istnieją bazy ortonormalne ${\cal B}_1$ (przestrzeni $W$) i ${\cal B}_2$ (przestrzeni $W^{\perp }$) takie, że w bazach tych przekształcenia $F_1$ i $F_2$ mają macierze postaci $(*)$. Niech ${\cal B}={\cal B}_1\cup{\cal B}_2$. Wówczas ${\cal B}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni $V$ oraz w bazie tej przekształcenie $F$ ma macierz

$$m_{{\cal B}}(F)=\left[\begin{array}{cc} m_{{\cal B}_1}(F_1)&0 0& m_{{\cal B}_2}(F_2)\end{array}\right],$$

która też jest postaci $(*)$.

Wiemy już więc, że macierz $m_{{\cal B}}(F)$ jest postaci $(*)$ z klatkami $C_1,\dots,C_k$ na głównej przekątnej. By udowodnić drugą część twierdzenia, oznaczmy przez $A_i$ macierz powstałą z macierzy $m_{{\cal B}}(F)$ przez zastąpienie wszystkich klatek $C_j$ jedynkami, z wyjątkiem klatki $C_i$.

Każda z macierzy $A_i$ jest macierzą w bazie ${\cal B}$ przekształcenia $H_i:V\rightarrow V$, które jest odbiciem względem pewnej hiperpłaszczyzny, obrotem wokół $O$ w pewnej płaszczyźnie lub identycznością. Oczywiście $m_{{\cal B}}(F)=A_1\cdot A_2\cdot\dots\cdot A_k$. Dlatego $F=H_1\circ H_2\circ\dots\circ H_k$, co kończy dowód twierdzenia.

Rozważa się również izometrie przestrzeni $V$, które nie są liniowe.

Definicja 12.7   $F:V\rightarrow V$ jest izometrią $\iff\Vert v-w\Vert=\Vert F(v)-F(w)\Vert$ dla wszystkich $v,w\in V$.

Przykładem izometrii, która nie jest liniowa, jest translacja $T_u$ o niezerowy wektor $u\in V$. Następujący wniosek daje nam klasyfikację wszystkich izometrii przestrzeni $V$.

Wniosek 12.8   1) Izometria $F:V\rightarrow V$ jest liniowa $\iff F(O)=O$.
2) Każda izometria $F:V\rightarrow V$ jest złożeniem izometrii liniowej i translacji.

Dowód. 1) $\Rightarrow$ jest jasne, $\Leftarrow$ pozostawiamy jako zadanie.

2) Niech $u=F(O)$ oraz $F'=T_{-u}\circ F$. Wtedy $F'$ jest izometrią (jako złożenie izometrii) i

$$F'(O)=T_{-u}(F(O))=T_{-u}(u)=u-u=O,$$

więc na mocy (1) $F'$ jest izometrią liniową. Ponadto

$$T_u\circ F'=T_u\circ T_{-u}\circ F=id\circ F=F.$$

Można również badać izometrie liniowe przestrzeni unitarnych skończonego wymiaru. Okazuje się, że klasyfikacja takich izometrii jest dużo prostsza niż w przypadku przestrzeni euklidesowych. Wynika to stąd, że każdy endomorfizm liniowy zespolonej przestrzeni liniowej ma wektor własny, czyli podprzestrzeń niezmienniczą wymiaru $1$. W przypadku zespolonym wartość własna macierzy ortogonalnej jest liczbą zespoloną o module $1$. Dlatego dowolna izometria liniowa przestrzeni unitarnej skończonego wymiaru ma w pewnej bazie ortonormalnej macierz diagonalną, gdzie na przekątnej występują liczby zespolone o module $1$.