Zainteresowania i osiągnięcia badawcze
Jacek Świątkowski
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski, pl. Grunwaldzki 2/4, 50-384 Wrocław
swiatkow(at)math.uni.wroc.pl
jacek.swiatkowski(at)uwr.edu.pl
Główną dziedziną moich zainteresowań badawczych jest
geometryczna teoria grup.
Zainspirowany do niej zostałem przez
Tadeusza Januszkiewicza
- opiekuna mojej pracy magisterskiej i doktoratu,
oraz przez
Pierre'a Pansu
- opiekuna mojego 3-miesięcznego stażu na Uniwersytecie Paris Sud w Orsay pod Paryżem,
odbywanego na wiosnę roku 1992, jeszcze przed zrobieniem doktoratu.
Ta bardzo młoda wówczas dziedzina naukowa była zupełnie nie reprezentowana w Polsce. W kolejnych latach, wspólnie z Tadeuszem
Januszkiewiczem, stworzyliśmy na Uniwersytecie Wrocławskim prężną grupę badawczą z geometrycznej teorii grup, rozpoznawalną
w światowym środowisku naukowym.
Wybrane główne grupy osiągnięć:
Symplicjalna niedodatnia krzywizna (simplicial nonpositive curvature - SNPC)
Około roku 2000 odkryliśmy, wspólnie z Tadeuszem Januszkiewiczem, zjawisko niedodatniej krzywizny symplicjalnej.
W latach 2000-2010 rozwinęliśmy (także z młodszymi kolegami z wrocławskiej grupy badawczej geometrów na UWr)
bogatą kombinatoryczno-geometryczną teorię dotyczącą tego zjawiska,
oraz dotyczącą własności grup dyskretnych działających przez automorfizmy na przestrzeniach symplicjalnie niedodatnio
zakrzywionych.
Teoria ta odsłoniła szereg ciekawych i dotąd nieznanych zjawisk w geometrycznej teorii grup,
umożliwiła konstrukcję egzotycznych i nieoczekiwanych przykładów grup, i pozwoliła rozstrzygnąć kilka otwartych problemów i hipotez
sformułowanych wcześniej przez specjalistów.
• Autoreferat
zawierający listę moich publikacji dotyczących tego zagadnienia, oraz opis wyników.
• SNPC page
- strona poświęcona niedodatniej krzywiźnie symplicjalnej stworzona przez Tomasza Elsnera - wrocławskiego geometrę,
jednego ze współpracowników realizujących badania dotyczące tego zagadnienia
(od ok. 2015 roku strona nie była aktualizowana). Strona (w języku angielskim) zawiera króciutkie wprowadzenie do
głównego pojęcia teorii oraz kompletną bibliografię z lat 2003-2015 składającą się z 35 prac różnych autorów.
• Za badania dotyczące tej problematyki otrzymałem w roku 2012 Nagrodę Główną im. Stefana Banacha Polskiego Towarzystwa
Matematycznego. Następujacy tekst jest skrótowym zapisem wykładu laureata,
jaki wygłosiłem z tej okazji podczas
5 Forum Matematyków Polskich, i w którym przedstawiłem nagrodzone osiągnięcia.
Topologia brzegów Gromova grup hiperbolicznych
• Lista publikacji dotyczących tego zagadnienia.
Wprawdzie nieskończone grupy dyskretne to obiekty algebraiczne, ale dzięki tzw. metryce słów
można je traktować jako przestrzenie geometryczne. Przy rozmaitych dodatkowych założeniach,
np. gdy grupa jest hiperboliczna, posiada ona "sferę w nieskończoności", zwaną też brzegiem idealnym
(a w przypadku grup hiperbolicznych - brzegiem Gromova).
Taki brzeg jest zawsze pewną zwartą przestrzenią topologiczną o dość restrykcyjnych własnościach.
Okazuje się jednak, że pomimo ponad 30-tu lat badań grup hiperbolicznych, nadal wiele podstawowych pytań
na temat topologii ich brzegów pozostaje bez odpowiedzi. Z pewnym uproszczeniem można powiedzieć,
że topologiczna klasyfikacja brzegów Gromova grup hieperbolicznych jest ciągle jeszcze w powijakach.
Moje dotychczasowe badania w ramach tego zagadnienia dały wyniki w trzech kierunkach. Pierwszy polegał na
znajdowaniu kolejnych rodzin zwartych przestrzeni topologicznych, które realizują się jako brzegi Gromova
pewnych grup hiperbolicznych (drzewa rozmaitości, drzewa grafów). Drugi dotyczył wyrażenia brzegu produktu wolnego
grup (z amalgamacją względem skończonych podgrup) w terminach brzegów czynników takiego produktu,
co pozwoliło zredukować problem klasyfikacyjny do przypadku nierozkładalnego (czyli przypadku grup hiperbolicznych
z jednym końcem). Trzeci kierunek polegał na dowodzeniu istnienia grup z brzegami Gromova dowolnie dużego wymiaru
topologicznego posiadającymi bardzo restrykcyjne własności (np. nie zawieranie kopii 2-wymiarowego dysku).
Jeszcze inny kierunek reprezentuje rezultat uzyskany w napisanej pod moim kierunkiem
(i obronionej w roku 2017 na Uniwersytecie Warszawskim) rozprawie doktorskiej
Dominiki Pawlik pt. "Gromov boundaries as Markov compacta".
Mówi on, że brzegi Gromova grup hiperbolicznych są kompaktami Markova, tzn. dają się skonstruować
za pomocą pewnej konkretnej rekurencyjnej procedury wykorzystującej skończoną ilość danych.
• W 2015 roku zostałem zaproszony do wygłoszenia referatu "Topological characterization of boundaries
of free products of groups" na międzynarodowej konferencji
"Geometric topology" w Mathematisches Forschungsinstitut w Oberwolfach w Niemczech. Referat dotyczył jednego z rezultatów
z tej dziedziny, mianowicie charakteryzacji brzegu Gromova grupy hiperbolicznej w terminach brzegów Gromova
składników naturalnego rozkładu tej grupy względem skończonych podgrup (uogólnienie rozkładu w produkt
wolny z amalgamacją). Rezultat ten redukuje klasyfikację brzegów grup
hiperbolicznych do przypadku grup nierozkładalnych względem skończonych podgrup (czyli tzw. grup o jednym końcu).
Krótki raport napisany przeze mnie do biuletynu
Oberwolfach Reports nieco dokładniej opisuje ten rezultat.
• W związku z osiągnięciami w tej problematyce z ostatniej dekady zostałem zaproszony w roku 2018 do wygłoszenia wykładu plenarnego
na Wspólnym Zjeździe Polskiego Towarzystwa Matematycznego i Włoskich Towarzystw Matematycznych (UMI-SIMAI-PTM).
Następujacy plik zawiera prezentację do tego wykładu, zaś tutaj
zamieszczam jego abstrakt. Na wykładzie, oprócz moich własnych rezultatów, przedstawiłem też znakomity rezultat
z napisanej pod moją opieką rozprawy doktorskiej Dominiki Pawlik (doktorat został obroniony w roku 2017 na Uniwersytecie Warszawskim).
Grupy Coxetera i ich brzegi
• Lista publikacji dotyczących tego zagadnienia.
Grupy losowe
• Lista publikacji dotyczących tego zagadnienia.
Własności asymptotyczne i algorytmiczne grup dyskretnych
• Lista publikacji dotyczących tego zagadnienia.
Grupy automorfizmów kompleksów wielokątnych i własność (T) Kazhdana
• Lista publikacji dotyczących tego zagadnienia.
Kompakty Markova i drzewa wielościanów jako brzegi idealne grup
- rozległy temat w trakcie realizacji