Processing math: 82%
  1. Niech f(x)=3√x2. Korzystając z definicji oblicz f′(8).
  2. Niech f(x)=x5. Korzystając z definicji wyprowadź wzór na f′(x).
  3. Niech n∈N. Dobierz stałe a,b,c tak, aby funkcja fn(x)={|x|:|x|≥1/n,ax2+bx+c:|x|<1/n była różniczkowalna. Oblicz pochodną f′n(x), naszkicuj wykres funkcji fn(x) oraz wykres pochodnej.
  4. Oblicz pochodną następujących funkcji. Podaj w jakim zbiorze istnieje pochodna:
    1. f(x)=3x2−5x+1,
    2. f(x)=(√x+1)(1√x−1),
    3. f(x)=1−x31+x3,
    4. f(x)=(1+√x)(1+x1/3)(1+x1/4),
    5. f(x)=(x2+1)4,
    6. f(x)=x+1x−1,
    7. f(x)=xx2+1,
    8. f(x)=(1+2x)30,
    9. f(x)=(11+x2)1/3,
    10. f(x)=1√1−x4−x8,
    11. f(x)=2x+3,
    12. f(x)=x10x,
    13. f(x)=xex,
    14. f(x)=x2(x+1)ex,
    15. f(x)=exlogx,
    16. f(x)=logxex,
    17. f(x)=ex2,
    18. f(x)=x10logx,
    19. f(x)=eex,
    20. f(x)=loglogx,
    21. f(x)=log10(x−1),
    22. f(x)=102x−3,
    23. f(x)=23x,
    24. f(x)=log2|log3(log5x)|,
    25. f(x)=e√logx,
    26. f(x)=xx2,
    27. f(x)=xxx,
    28. f(x)=x√x,
    29. f(x)=(logx)x,
    30. f(x)=e−x2logx,
    31. f(x)=(√x−1√x)10,
    32. f(x)=x5(x6−8)1/3,
    33. f(x)=e2x+3(x2−x+12),
    34. f(x)=log11+x,
    35. f(x)=ex2ex+e−x,
    36. f(x)=|x|3,
    37. f(x)=sgnx,
    38. f(x)={0dla x<0,x2dla x≥0,
    39. f(x)=e−|x|,
    40. f(x)=√√1+x2−1,
    41. f(x)={x},
    42. f(x)={xdla x<0,x2dla x≥0,,
    43. f(x)=sgn(x5−x3),
    44. f(x)=π10π−e,
    45. f(x)={exdla x<0,1+xdla x≥0,
    46. f(x)=x7+e2,
    47. f(x)=(x+e)20,
    48. f(x)=ee.
  5. Potrzebna jest kadź w kształcie walca, otwarta od góry, której dno i bok wykonane są z tego samego materiału. Kadź ma mieć pojemność 257 hektolitrów. Jaki powinien być stosunek średnicy dna do wysokości kadzi, aby do jej wykonania zużyć jak najmniej materiału?
  6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji określonej podanym wzorem w podanym przedziale:
    1. f(x)=x2+2x+21,[−2,7],
    2. f(x)=|x2−1|+3x,[−2,2],
    3. f(x)=|x+1|+x2,[−10,10],
    4. f(x)=|10x−1|+x3,[0,1],
    5. f(x)=log(x)−x10,[1,e3],
    6. f(x)=|sin(x)|+x2,[0,2π],
    7. f(x)=x1/x,[2,4],
    8. f(x)=3sin(x)+sin(3x),[0,2π].
  7. Oblicz granice:
    1. lim,
    2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{1/x},
    3. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin(x)},
    4. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\cos(x)+x^2-2}{x\sin(x)-x^2},
    5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x},
    6. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log(x)}{x},
    7. \displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x},
    8. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{e^x}-e}{x},
    9. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2},
    10. \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\log(x)}{x-1},
    11. \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\log(x)-x+1}{(x-1)^2},
    12. \displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\log\log(x)}{x-e},
    13. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^4}{e^x},
    14. \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^x-4}{x-2}.