1. Niech \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}\). Korzystając z definicji oblicz \(f'(8)\).
  2. Niech \(f(x)=x^5\). Korzystając z definicji wyprowadź wzór na \(f'(x)\).
  3. Niech \(n\in\mathbb{N}\). Dobierz stałe \(a,b,c\) tak, aby funkcja \[f_n(x)=\begin{cases} |x|&:\quad |x|\ge 1/n,\\ ax^2+bx+c&:\quad |x|<1/n \end{cases}\] była różniczkowalna. Oblicz pochodną \(f'_n(x)\), naszkicuj wykres funkcji \(f_n(x)\) oraz wykres pochodnej.
  4. Oblicz pochodną następujących funkcji. Podaj w jakim zbiorze istnieje pochodna:
    1. \(f(x)=3x^2-5x+1\),
    2. \(f(x)=(\sqrt{x}+1)\bigg( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}-1\bigg)\),
    3. \(f(x)=\displaystyle\frac{1-x^3}{1+x^3}\),
    4. \(f(x)=(1+\sqrt{x})(1+x^{1/3})(1+x^{1/4})\),
    5. \(f(x)=(x^2+1)^4\),
    6. \(f(x)=\displaystyle\frac{x+1}{x-1}\),
    7. \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}\),
    8. \(f(x)=(1+2x)^{30}\),
    9. \(f(x)=\bigg(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\bigg)^{1/3}\),
    10. \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^4-x^8}}\),
    11. \(f(x)=2^{x+3}\),
    12. \(f(x)=x 10^x\),
    13. \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{e^x}\),
    14. \(f(x)=x^2(x+1)e^x\),
    15. \(f(x)=e^x\log x\),
    16. \(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{e^x}\),
    17. \(f(x)=e^{x^2}\),
    18. \(f(x)=x^{10}\log x\),
    19. \(f(x)=e^{e^x}\),
    20. \(f(x)=\log\log x\),
    21. \(f(x)=\log_{10}(x-1)\),
    22. \(f(x)=10^{2x-3}\),
    23. \(f(x)=2^{3^x}\),
    24. \(f(x)=\log_2|\log_3(\log_5x)|\),
    25. \(f(x)=e^{\sqrt{\log x}}\),
    26. \(f(x)=x^{x^2}\),
    27. \(f(x)=x^{x^x}\),
    28. \(f(x)=x^{\sqrt{x}}\),
    29. \(f(x)=(\log x)^x\),
    30. \(f(x)=e^{-x^2}\log x\),
    31. \(f(x)=\bigg(\sqrt{x}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg)^{10}\),
    32. \(f(x)=x^5(x^6-8)^{1/3}\),
    33. \(f(x)=e^{2x+3}\bigg(x^2-x+\displaystyle\frac{1}{2}\bigg)\),
    34. \(f(x)=\log\displaystyle\frac{1}{1+x}\),
    35. \(f(x)=\displaystyle\frac{e^{x^2}}{e^x+e^{-x}}\),
    36. \(f(x)=|x|^3\),
    37. \(f(x)={\rm sgn}\,x\),
    38. \(f(x)=\begin{cases} 0&\text{dla }x<0,\\ x^2&\text{dla } x\ge0 \end{cases}\),
    39. \(f(x)=e^{-|x|}\),
    40. \(f(x)=\sqrt{\sqrt{1+x^2}-1}\),
    41. \(f(x)=\{x\}\),
    42. \(f(x)=\begin{cases} x&\text{dla }x<0,\\ x^2&\text{dla }x\ge0, \end{cases}\),
    43. \(f(x)={\rm sgn}\, (x^5-x^3)\),
    44. \(f(x)=\displaystyle\frac{\pi^{10}}{\pi-e}\),
    45. \(f(x)=\begin{cases} e^x&\text{dla }x<0,\\ 1+x&\text{dla }x\ge0, \end{cases}\)
    46. \(f(x)=x^7+e^2\),
    47. \(f(x)=(x+e)^{20}\),
    48. \(f(x)=e^e\).
  5. Potrzebna jest kadź w kształcie walca, otwarta od góry, której dno i bok wykonane są z tego samego materiału. Kadź ma mieć pojemność 257 hektolitrów. Jaki powinien być stosunek średnicy dna do wysokości kadzi, aby do jej wykonania zużyć jak najmniej materiału?
  6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji określonej podanym wzorem w podanym przedziale:
    1. \(f(x)=x^2+2x+21,\quad [-2,7]\),
    2. \(f(x)=|x^2-1|+3x,\quad [-2,2]\),
    3. \(f(x)=|x+1|+x^2,\quad [-10,10]\),
    4. \(f(x)=|10x-1|+x^3,\quad [0,1]\),
    5. \(f(x)=\log(x)-\displaystyle\frac{x}{10},\quad [1,e^3]\),
    6. \(f(x)=|\sin(x)|+\displaystyle\frac{x}{2},\quad [0,2\pi]\),
    7. \(f(x)=x^{1/x},\quad [2,4]\),
    8. \(f(x)=3\sin(x)+\sin(3x),\quad [0,2\pi]\).
  7. Oblicz granice:
    1. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\right)\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{1/x}\),
    3. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin(x)}\),
    4. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2\cos(x)+x^2-2}{x\sin(x)-x^2}\),
    5. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}\),
    6. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log(x)}{x}\),
    7. \(\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}\),
    8. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{e^x}-e}{x}\),
    9. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\),
    10. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\log(x)}{x-1}\),
    11. \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\log(x)-x+1}{(x-1)^2}\),
    12. \(\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\log\log(x)}{x-e}\),
    13. \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^4}{e^x}\),
    14. \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^x-4}{x-2}\).