Processing math: 0%
  1. Oblicz granice:
    1. lim,
    2. \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},
    3. \displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{\log x}{1+\log x},
    4. \displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{-1/x}-1},
    5. \displaystyle\lim_{x\to0-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{-1/x}-1},
    6. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2^{1/x}-1}{2^{-1/x}+1},
    7. \displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{\cos 2x},
    8. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos(a+x)-\cos(a-x)}{x}, pewne a.
  2. Sprawdź, w których punktach funkcja f(x) jest ciągła, a w których nieciągła ({\rm sgn}\, x to znak x: dla x>0 {\rm sgn}\,x=1, dla x<0 {\rm sgn}\, x=-1, a dla x=0 {\rm sgn}\, x=0):
    1. f(x)={\rm sgn}\,(\sin x),
    2. f(x)=\{x\}-(\{x\})^2,
    3. f(x)=\begin{cases} 0&:\quad x<0\\ x&:\quad 0\le x<1\\ -x^2+4x-2&:\quad 1\le x<3\\ 4-x&:\quad x\ge 3, \end{cases}
    4. f(x)=\begin{cases} x&:\quad x\neq2\\ {\rm sgn}\,x &:\quad x=2, \end{cases}
    5. f(x)=\displaystyle\frac{x^3-1}{x^2-1},
    6. f(x)={\rm sgn}\,(x^3-x),
    7. f(x)=[x]-[\sqrt[3]{x}],
    8. f(x)=x^3\,{\rm sgn}\,(x),
    9. f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+4}+1},
    10. f(x)=[x^2],
    11. f(x)=\{\log_2x\},
    12. f(x)=\displaystyle\frac{1}{\{x\}},
    13. f(x)=\big|\big[x+\frac{1}{2}\big]-x\big|,
    14. f(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x},\ x\ne0,\ f(0)=0,
    15. f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{|x|},\ x\ne0,\ f(0)=1,
    16. f(x)=(-1)^{[x]},
    17. f(x)=\displaystyle\frac{x^2-x^3}{|x-1|}.
  3. Określ wartość danej funkcji w 0 tak, aby była ciągła:
    1. f(x)=\displaystyle\frac{\sin^2x}{1-\cos x},
    2. f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}.
  4. Oblicz granice jednostronne w 0 funkcji (a\ne0):
    1. f(x)=\displaystyle\frac{x}{a}\Big[\frac{b}{x}\Big],
    2. f(x)=\displaystyle\frac{b}{x}\Big[\frac{x}{a}\Big].
  5. Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f(x) jest ciągła? Naszkicuj wykres f(x) dla takich a i b.
    1. f(x)=\begin{cases} ax+b&:\ x<1\\ x^2&:\ 1\le x<2\\ ax-b&:\ 2\le x. \end{cases}
    2. f(x)=\begin{cases} x&:\ x<1\\ x^2+ax+b&:\ 1\le x<2\\ x+3&:\ 2\le x. \end{cases}