1. Oblicz granice:
    1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\),
    3. \(\displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{\log x}{1+\log x}\),
    4. \(\displaystyle\lim_{x\to0+}\frac{2^{1/x}+1}{2^{-1/x}-1}\),
    5. \(\displaystyle\lim_{x\to0-}\frac{2^{1/x}+1}{2^{-1/x}-1}\),
    6. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2^{1/x}-1}{2^{-1/x}+1}\),
    7. \(\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{\cos 2x}\),
    8. \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos(a+x)-\cos(a-x)}{x}\), pewne \(a\).
  2. Sprawdź, w których punktach funkcja \(f(x)\) jest ciągła, a w których nieciągła (\({\rm sgn}\, x\) to znak \(x\): dla \(x>0\) \({\rm sgn}\,x=1\), dla \(x<0\) \({\rm sgn}\, x=-1\), a dla \(x=0\) \({\rm sgn}\, x=0\)):
    1. \(f(x)={\rm sgn}\,(\sin x)\),
    2. \(f(x)=\{x\}-(\{x\})^2\),
    3. \(f(x)=\begin{cases} 0&:\quad x<0\\ x&:\quad 0\le x<1\\ -x^2+4x-2&:\quad 1\le x<3\\ 4-x&:\quad x\ge 3, \end{cases}\)
    4. \(f(x)=\begin{cases} x&:\quad x\neq2\\ {\rm sgn}\,x &:\quad x=2, \end{cases}\)
    5. \(f(x)=\displaystyle\frac{x^3-1}{x^2-1}\),
    6. \(f(x)={\rm sgn}\,(x^3-x)\),
    7. \(f(x)=[x]-[\sqrt[3]{x}]\),
    8. \(f(x)=x^3\,{\rm sgn}\,(x)\),
    9. \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+4x+4}+1}\),
    10. \(f(x)=[x^2]\),
    11. \(f(x)=\{\log_2x\}\),
    12. \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\{x\}}\),
    13. \(f(x)=\big|\big[x+\frac{1}{2}\big]-x\big|\),
    14. \(f(x)=\displaystyle\frac{|x|}{x},\ x\ne0,\ f(0)=0\),
    15. \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin x}{|x|},\ x\ne0,\ f(0)=1\),
    16. \(f(x)=(-1)^{[x]}\),
    17. \(f(x)=\displaystyle\frac{x^2-x^3}{|x-1|}\).
  3. Określ wartość danej funkcji w \(0\) tak, aby była ciągła:
    1. \(f(x)=\displaystyle\frac{\sin^2x}{1-\cos x}\),
    2. \(f(x)=\displaystyle\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\).
  4. Oblicz granice jednostronne w \(0\) funkcji (\(a\ne0\)):
    1. \(f(x)=\displaystyle\frac{x}{a}\Big[\frac{b}{x}\Big]\),
    2. \(f(x)=\displaystyle\frac{b}{x}\Big[\frac{x}{a}\Big]\).
  5. Dla jakich wartości parametrów \(a\) i \(b\) funkcja \(f(x)\) jest ciągła? Naszkicuj wykres \(f(x)\) dla takich \(a\) i \(b\).
    1. \(f(x)=\begin{cases} ax+b&:\ x<1\\ x^2&:\ 1\le x<2\\ ax-b&:\ 2\le x. \end{cases}\)
    2. \(f(x)=\begin{cases} x&:\ x<1\\ x^2+ax+b&:\ 1\le x<2\\ x+3&:\ 2\le x. \end{cases}\)