Processing math: 15%
  1. Udowodnij nierówność Bernoulliego: dla x≥0 oraz dowolnego n∈N zachodzi (1+x)n≥1+nx.
  2. Pokaż, że dla x>0 i dowolnego n∈N zachodzi (1+x)n>1+n(n−1)2x2.
  3. Udowodnij, że dla dowolnego n∈N zachodzą równości
    1. \binom n0+\binom n1+\dots+\binom nn=2^n,
    2. \displaystyle\sum_{\substack{k=1\\k-\mathrm{nieparzyste}}}^n \binom nk=\sum_{\substack{k=0\\k-\mathrm{parzyste}}}^n\binom nk.
  4. Oblicz granice (wsk.: wykorzystaj definicję liczby e):
    1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n^2}\Big)^n,
    2. \displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n.
  5. Znajdź granice ciągów:
    1. a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n},
    2. a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}.
  6. Dla jakich liczb rzeczywistych \alpha istnieje granica \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n+n^\alpha}-\sqrt[3]{n}. Oblicz granicę dla tych \alpha dla których istnieje.
  7. Oblicz granicę: \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}{n^3}.
  8. Oblicz granice ciągów:
    1. a_n=\displaystyle\frac{\sin^2n}{n},
    2. a_n=\sqrt[n]{\log n},
    3. a_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}\log \Big(1+\frac{(-1)^n}{n}\Big).
  9. Udowodnij, że jeżeli a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ g to także |a_n|\ \xrightarrow{n\to\infty}\ |g|. Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg \{a_n\} który nie jest zbieżny, chociaż \{|a_n|\} jest zbieżny.
  10. Udowodnij, że jeżeli |a_n|\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0 to także a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0.
  11. Udowodnij, że jeżeli ciąg \{a_n\} jest zbieżny i a_n\ge0, to \lim_{n\to\infty}a_n\ge0.
  12. Udowodnij, że jeżeli ciągi \{a_n\} i \{b_n\} spełniają a_n\le b_n i są zbieżne, to \lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}b_n.
  13. Pokaż, że jeżeli a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0 oraz ciąg \{b_n\} jest ograniczony, to \lim_{n\to\infty}(a_n\,\cdot\,b_n)=0.
  14. Pokaż, że jeżeli a_n>0 dla wszystkich n\in\mathbb{N}, oraz a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0 to \lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=\infty (granica niewłaściwa).
  15. Niech a_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+n}}{n} oraz \epsilon=\displaystyle\frac{1}{100}. Znajdź n_0\in\mathbb{N} takie, że dla n\ge n_0 zachodzi |a_n-1|<\epsilon.