1. Udowodnij nierówność Bernoulliego: dla \(x\ge0\) oraz dowolnego \(n\in\mathbb{N}\) zachodzi \[ (1+x)^n\ge1+nx. \]
  2. Pokaż, że dla \(x>0\) i dowolnego \(n\in\mathbb{N}\) zachodzi \[ (1+x)^n>1+\frac{n(n-1)}{2}x^2. \]
  3. Udowodnij, że dla dowolnego \(n\in\mathbb{N}\) zachodzą równości
    1. \(\binom n0+\binom n1+\dots+\binom nn=2^n\),
    2. \(\displaystyle\sum_{\substack{k=1\\k-\mathrm{nieparzyste}}}^n \binom nk=\sum_{\substack{k=0\\k-\mathrm{parzyste}}}^n\binom nk\).
  4. Oblicz granice (wsk.: wykorzystaj definicję liczby \(e\)):
    1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1+\frac{1}{n^2}\Big)^n\),
    2. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big(1-\frac{1}{n}\Big)^n\).
  5. Znajdź granice ciągów:
    1. \(a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n}\),
    2. \(a_n=\sqrt[n]{2^n+3^n+5^n}\).
  6. Dla jakich liczb rzeczywistych \(\alpha\) istnieje granica \[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[3]{n+n^\alpha}-\sqrt[3]{n}. \] Oblicz granicę dla tych \(\alpha\) dla których istnieje.
  7. Oblicz granicę: \[ \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+3^2+\dots+n^2}{n^3}. \]
  8. Oblicz granice ciągów:
    1. \(a_n=\displaystyle\frac{\sin^2n}{n}\),
    2. \(a_n=\sqrt[n]{\log n}\),
    3. \(a_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}\log \Big(1+\frac{(-1)^n}{n}\Big)\).
  9. Udowodnij, że jeżeli \(a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ g\) to także \(|a_n|\ \xrightarrow{n\to\infty}\ |g|\). Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg \(\{a_n\}\) który nie jest zbieżny, chociaż \(\{|a_n|\}\) jest zbieżny.
  10. Udowodnij, że jeżeli \(|a_n|\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0\) to także \(a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0\).
  11. Udowodnij, że jeżeli ciąg \(\{a_n\}\) jest zbieżny i \(a_n\ge0\), to \[ \lim_{n\to\infty}a_n\ge0. \]
  12. Udowodnij, że jeżeli ciągi \(\{a_n\}\) i \(\{b_n\}\) spełniają \(a_n\le b_n\) i są zbieżne, to \[ \lim_{n\to\infty}a_n\le\lim_{n\to\infty}b_n. \]
  13. Pokaż, że jeżeli \(a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0\) oraz ciąg \(\{b_n\}\) jest ograniczony, to \[ \lim_{n\to\infty}(a_n\,\cdot\,b_n)=0. \]
  14. Pokaż, że jeżeli \(a_n>0\) dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\), oraz \(a_n\ \xrightarrow{n\to\infty}\ 0\) to \[ \lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=\infty \] (granica niewłaściwa).
  15. Niech \(a_n=\displaystyle\frac{\sqrt{n^2+n}}{n}\) oraz \(\epsilon=\displaystyle\frac{1}{100}\). Znajdź \(n_0\in\mathbb{N}\) takie, że dla \(n\ge n_0\) zachodzi \(|a_n-1|<\epsilon\).