Topologia Różniczkowa
Topologia różniczkowa dostarcza pojęć i technik umożliwiających badanie gładkich rozmaitości,
zadanych na nich gładkich struktur, oraz ich gładkich odwzorowań.
Stanowi podstawę m.in. w takich działach i zagadnieniach matematyki jak:
teoria osobliwości i teoria stabilności gładkich odwzorowań, teoria katastrof,
teoria układów dynamicznych, klasyfikacje gładkich rozmaitości.
Na wykładzie przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i narzędzia topologii różniczkowej, takie jak:
dżety, topologia Whitney'a, położenie ogólne i transwersalność, stopień odwzorowania,
funkcje Morse'a, i inne. Pokazanych też zostanie kilka zastosowań technik topologii różniczkowej:
klasyfikacja powierzchni i opisy innych rozmaitości gładkich, twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości.
Orientacyjny plan wykladu:
1. Twierdzenie Sarda (o tym, że obraz zbioru krytycznego przez odwzorowanie gładkie ma miarę zero).
2. Rozmaitości dżetów – jest to uogólnienie pojęcia wiązki stycznej dotyczące różniczek wyższych rzędów.
3. Topologia Whitney'a na przestrzeni gładkich odwzorowań rozmaitości.
4. Twierdzenia o transwersalności.
5. Twierdzenie o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeni euklidesowej.
6. Funkcje Morse'a i rozkłady rozmaitości na rączki.
7. Klasyfikacja gładkich powierzchni.
8. Stopień odwzorowania gładkiego i indeks pola wektorowego.
Pomocna literatura:
1. M. Hirsch, „Differential Topology”, rozdziały 2, 3 i 5, oraz fragmenty rodziałów 1 i 4
plik pdf
2. M. Golubitski, V. Guillemin, „Stable mappings and their singularities”, Chapter II, str. 30-71
plik pdf
3. J. Milnor, „Topology from the differentiable viewpoint”, rozdziały 1-6, str. 1-41
plik pdf
(istnieje tłumaczenie polskie pt.: „Topologia z różniczkowego punktu widzenia”)
Lists of exercises and problems:
list 1
list 2
list 3
list 4
list 5
list 6
next lists will appear soon ...