Konstrukcje geometryczne i elementy teorii Galois

SKRYPT:
Aleksandra Mierzchała, "Konstrukcje geometryczne - skrypt do zajęć".   pdf

Listy zadań:   lista 1   lista 2   lista 3   lista 4   lista 5   lista 6   lista 7   lista 8   lista 9   lista 10

Lists of exercises in English:   list 1   list 2   list 3   list 4   list 5   list 6   list 7   list 8   list 9   list 10   list 11


Opis wykładu:
Dużym osiągnięciem matematyki w XIX w. było udowodnienie następujących dwóch twierdzeń:
1. Podziału niektórych kątów na trzy równe części nie da się dokonać konstrukcyjnie za pomocą cyrkla i linijki.
2. Rozwiązania niektórych równań algebraicznych stopnia większego niż 4 nie dadzą się wyrazić za pomocą wzorów zawierających tylko cztery działania arytmetyczne (+,-,*,:) oraz operację wyciągania pierwiastka dowolnego stopnia.
Choć z pozoru twierdzenia te dotyczą zupełnie różnych zagadnień, ich dowody opierają się no podobnych ideach. Wykład który poprowadzę ma na celu przystępne (ale ścisłe) zapoznanie suchaczy z pojęciami i metodami (głównie algebraicznymi) pozwalającymi udowodnić oba te twierdzenia. Przedmiotem wykładu będą więc między innymi liczby konstruowalne, liczby algebraiczne, ciała liczbowe. Omówione zostaną kluczowe pojęcia ciała rozkładu wielomianu, jego grupy Galois, oraz pojęcie grupy rozwiązalnej. Przypomniane i wykorzystane zostaną teą pewne poznane na zajęciach z algebry wiadomoąci o liczbach zespolonych, permutacjach, wielomianach, grupach, przestrzeniach wektorowych i układach równań liniowych

Zakres wykładu:
1. metoda algebraiczna w zagadnieniach konstrukcyjnych - liczby konstruowalne;
2. ciała liczbowe i rozszerzenia kwadratowe;
3. pierwiastki wielomianów stopnia 3 i niekonstruowalność;
4. liczby algebraiczne - stopień;
5. zespolone liczby konstruowalne;
6. konstruowalność n-kątów foremnych;
7. równiania stopnia 3 - wzory Cardano, liczby wyrażalne przrez pierwiastniki;
8. ciało rozkładu wielomianu;
9. grupy, permutacje, grupy rozwiązalne;
10. twierdzenie Galois o wyrażaniu pierwiastków wielomianów przez pierwiastniki.

Pomocna literatura:
1. A. Mierzchała, "Konstrukcje geometryczne - skrypt do zajęć".
2. R. Courant, H. Robbins, "Co to jest matematyka?"
3. M. Bryński, "Elementy teorii Galois."
4. M. Bryński, "Algebra dla specjalności nauczycielskiej matematyki."

Wymagania na zaliczenie:
egzamin pisemny trwający ok. 2 i pół godziny, składający się z części testowej oraz z części zadaniowej; egzamin będzie obejmował wszystkie zagadnienia omówione na wykładzie, włącznie z ostatnimi.

MATERIAŁY POMOCNICZE DO NAUKI WŁASNEJ (ZDALNEJ) OD MARCA 2020:

Notatki wykładów:
1. Wykład "Pierwiastki równań stopnia 3 i niekonstruowalność"   pdf
W sprawie pierwiastkow rownan 3-go stopnia i niekonstruowalnosci mozesz tez zajrzec do krotkiego sympatycznego artykulu Marka Kordosa tutaj

2. Fragment ksiazki omawiajacy material wykladu "Liczby algebraiczne, wielomiany minimalne, stopien liczby algebraicznej"   pdf

3. Pomocny material do wykladu "Rozszerzenie ciala o liczbe algebraiczna. Baza i stopien rozszerzenia" - bardzo przystepny fragment ksiazki omawiajacy te same zagadnienia   pdf
Notatki uzupelniajace (do wykorzystania podczas spotkania on-line)   pdf

4.Pomocne materialy do wykladu "Zespolone Liczby Konstruowalne":
(a) moje natatki "Powtorka o liczbach zespolonych"   pdf
(b) fragment ksiazki Marka Zakrzewskiego "Markowe Wyklady z Matematyki. Algebra z geometria" pobrany z oficjalnej strony wydawnictwa GiS   pdf

5. Fragment ksiazki omawiajacy material wykladu "Konstruowalnosc wielokatow foremnych"   pdf

6. Notatki do wykladu "Wzory Cardano na rozwiazania rownan stopnia 3"   pdf
Bardzo dobrym dodatkowym zrodlem jest haslo "Rownanie szescienne" w Wikipedii   tutaj
a takze filmik na YouTube autorstwa Mateusza Kowalskiego   tutaj
Zainteresowani moga sobie tez zerknac na filmik prezentujacy wzory (wyprowadzone w XVI wieku przez Lodovico Ferrari'ego) na rozwiazania rownan stopnia 4   tutaj

7. Notatki do wykladu "Pierwiastniki i rozszerzenia pierwiastnikowe"   pdf

8. Notatki do wykladu "Grupy i rozwiazalnosc"   pdf
Bordzo dobrym dodatkowym materialem jest fragment ksiazki omawiajacy te same zagadnienia:   pdf

9. Notatki do wykladu "Nierozwiazalnosc grupy A_5"   pdf

10. Notatki do wykladu "Cialo rozkladu i grupa Galois wielomianu"   pdf

11. Notatki do wykladu "Grupa Galois wielomianu jako grupa permutacji jego pierwiastkow"   pdf   pdf (drugi_plik)

12. Notatki do wykladu "Przyklad wielomianu o pierwiastkach niewyrazalnych przez pierwiastniki"   pdf