ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 8

Przykłady

1. Funktory reprezentowalne h_{A} są lewo-dokładne.

Funktory (ko)reprezentowalne h^{A} są też lewodokładne jako funktory z C^{op} w Ab , tzn. ciąg dokładny

0 ← X ← Y ← Z ← 0

przechodzi na ciąg dokładny poza Hom(Z, A),

0 → Hom(X, A) → Hom(Y, A) → Hom(Z, A) → 0.

2. Funktor · ⊗_{R} M : Mod _{R} → Mod _{R} jest prawo-dokładny (jako dołączony z lewej do h_{M}).

3. Funktor

Γ : Sh_{X} → Ab , Γ(F) = F(X)

jest dołączony z prawej do funktora snopa stałego

Ab ∋ A ↦ A_{X} ∈ Sh_{X}, ∀U ⊆ V, A_{X}(U) = A, A_{X}(V) → A_{X}(U) = id_{A} .

czyli jest lewo-dokładny (również dlatego, że zachowuje jądra, skoro jądro w kategorii presnopów jest takie same jak jądro w kategorii snopów). Następujący ciąg snopów jest dokładny

0 −−⟶ ℤ_{ℂ^{∗}} −−⟶^{·2πni} O_{ℂ^{∗}} −−⟶^{exp} O_{ℂ^{∗}}^{∗} −−⟶ 0, bo

(a) Oczywiście ℤ_{ℂ^{∗}} ↪ O_{ℂ^{∗}}.

(b) Również dla każdej funkcji g : U → ℂ i U spójnego, jeśli exp(g) = 1, to g(U) ⊂ 2πiℤ. Ale g(U) jest spójny, czyli g jest funkcją stałą, równą 2πni dla pewnego n ∈ ℤ. Stąd im(·2πni) = ker(exp).

(c) Wiemy też, że dla U jednospójnego exp|_{U} : O_{ℂ^{∗}}(U) → O_{ℂ^{∗}}^{∗}(U) jest epimorfizmem.

Ale ciąg cięć globalnych

0 −−⟶ ℤ −−⟶ O_{ℂ^{∗}}(ℂ^{∗}) −−⟶^{exp} O_{ℂ^{∗}}^{∗}(ℂ^{∗}) −−⟶ 0,

nie jest dokładny w O_{ℂ^{∗}}^{∗}(ℂ^{∗}), bo dla id_{ℂ^{∗}} nie istnieje globalny logarytm.

4. Niech I będzie małą kategorią indeksów. Z Zadania 1 listy 5, istnieją granice odwrotne względem kategorii I wtedy i tylko wtedy, gdy funktor

C → Func(I, C), X ↦ Δ_{X}

ma funktor prawo-dołaczony: funktor granicy odwrotnej

\underleftarrow{lim} : Func(I, C) → C.

Stąd każda granica odwrotna jest funktorem lewo-dokładnym. Podobnie granica prosta jest funktorem lewo-dołączonym do Δ i prawodokładnym. Podobnie każda granica prosta jest funktorem prawo-dokładnym. Np. jeśli mamy ciągi dokładne:

0 → A → B → C → 0, 0 → A′→ B′→ C′→ 0

to następujący ciąg jest dokładny

0 → A ⊕ A′→ B ⊕ B′→ C ⊕ C′→ 0,

bo ⊕ jest naraz produktem i koproduktem, czyli jest dokładny.

Fakt Następujące warunki są równoważne

1. Krótki ciąg dokładny

0 −−⟶ A −−⟶^{f} C −−⟶^{g} B −−⟶ 0,

rozszczepia się.

2. Istnieje morfizm g′: B → C taki, że gg′= id_{C}.

3. Istnieje morfizm f′: A → B taki, że f′f = id_{A}.

Dowód Pokażemy tylko równoważność 1. ⟺ 2.. Wystarczy pokazać ⟸. Musimy zdefiniować g′ : C → A i pokazać, że układ C, f, f′, g, g′ jest sumą prostą A, B. Weżmy morfizm id_{C} −g′g : C → C. Wtedy g(id_{C} −g′g) = g − g = 0, czyli id_{C} −g′g faktoryzuje się przez pewien morfizm f′: C → A (bo ker(g) = A). Mamy

ff′f = (id_{C} −g′g)f = f.

Ponieważ f jest monomorfizmem, f′f = id_{A}. Mamy również

ff′g′g = (id_{C} −g′g)g′g = g′g − g′gg′g = g′g − g′g = 0.

Ponieważ f jest monomorfizmem i g epimorfizmem, f′g′= 0 Z definicji f′, ff′+ g′g = id_{C}.

Definicja

1. Obiekt A nazywamy projektywnym, gdy funktor h_{A} jest dokładny.

2. Obiekt A nazywamy injektywnym, gdy funktor h^{A} jest dokładny.

Fakt (kategoryjna definicja obiektów projektywnych i injektywnych)

1. Obiekt Y jest projektywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych

morfizmów

f : X ↠ X′, g : Y → X′

istnieje morfizm h : Y → X taki, że fh = g.

2. Obiekt Y jest injektywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych

morfizmów

f : X′ ↪ X, g : X′→ Y

istnieje morfizm h : X → Y taki, że hf = g.

Przykłady

1. Moduł wolny jest projektywny.

Moduł jest projektywny wtedy i tylko wtedy, gdy jest składnikiem prostym modułu wolnego (ćwiczenia).

2. Grupa abelowa jest injektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna (ćwiczenia). Czyli ℚ jest injektywnym ℤ-modułem.

Fakt Załóżmy, że 0 → A → B → C → 0 jest ciągiem dokładnym. Jeśli C jest projektywny lub A jest injektywny, to ciąg się rozszczepia.

Funktory pochodne

Ustalmy kategorię abelową A. Kompleksem cyklów nazywamy kompleks postaci

X_{∗} : … −−⟶^{d_{n+1}} X_{n} −−⟶^{d_{n}} X_{n−1} −−⟶^{d_{n−1}} X_{n−2} −−⟶^{d_{n−2}} . . ..

Dla kompleksu cyklów X_{∗} definiujemy H_{n}(X_{∗}) (n-te homologie X_{∗}) jak dla kompleksów kołańcuchów. Zapis X_{∗} → M oznacza, że mamy kompleks cyklów postaci

… −−⟶^{d_{2}} X_{1} −−⟶^{d_{1}} X_{0} −−⟶^{d_{0}} M −−⟶ 0,

a M → X^{∗} oznacza, że mamy kompleks kocyklów postaci

0 −−⟶ M −−⟶^{d^{0}} X^{0} −−⟶^{d^{1}} X^{1} −−⟶^{d^{2}} ….

Twierdzenie Hilberta o syzygiach Syzygia w astronomii to sytuacja, gdy 3 ciała leżą na jednej linii (zwykle słońce, ziemia, księżyc), czyli zachodzi pomiędzy nimi pewnien związek. Dla dowolnego skończenie generowanego (przez n_{0} elementów) R-modułu M, tworzymy ciąg dokładny składający się z modułów wolnych. Najpierw znajdujemy epimorfizm d_{0} : F_{0} → M, (gdzie F_{0} = R^{n_{0}} ) jego jądro (czyli R-zależności pomiędzy generatorami M) ma skończenie wiele generatorów, jako podmoduł skończenie generowanego modułu nad pierścieniem noetherowskim, powiedzmy n_{1} generatorów. Bierzemy epimorfizm d_{1} : F_{1} → ker(d_{0}) (gdzie F_{1} = R^{n_{1}} ), ker(d_{1}) odpowiada R-zależnościom pomiędzy generatorami ker(d_{0}) (czyli R-zależnościom pomiędzy R-zależnościami), itd. Tw. Hilberta o syzygiach mówi, że istnieją wybory generatorów dla których ten ciąg się urywa po r + 1 krokach, czyli otrzymujemy acykliczny kompleks postaci

0 → F_{r} → F_{r−1} → ⋯→ F_{0} → M → 0,

gdzie F_{i} są wolne (w szczególności projektywne). Ten kompleks można rozumieć jako “kompletną informację” o M.

Definicja Rezolwenta projektywna X jest to acykliczny kompleks postaci P_{∗} → X, gdzie dla każdego i, P_{i} jest projektywny. Rezolwenta injektywna X jest to acykliczny kompleks postaci X → I^{∗}, gdzie dla każdego i, I^{i} jest injektywny.

Definicja Kategoria abelowa A ma dostatecznie dużo obiektów projektywnych, gdy dla każdego X ∈ A istnieje obiekt projektywny P ∈ A i epimorfizm P ↠ X. Kategoria abelowa A ma dostatecznie dużo obiektów injektywnych, gdy dla każdego X ∈ A istnieje obiekt injektywny I ∈ A i monomorfizm X ↪ I.

Fakt (zadanie) Jeśli A ma dostatecznie dużo obiektów projektywnych (injektywnych), to każdy obiekt ma rezolwentę projektywną (injektywną).

Definicja (funktorów pochodnych) Niech F : A → B będzie funktorem addytywnym między kategoriami abelowymi (B to zwykle jakaś kategoria R-modułów). L_{n}F : A → B – lewy n-ty funktor pochodny F definiujemy jako

L_{n}F (X) := H_{n}(F (P_{∗} → 0)),

gdzie P_{∗} → X jest (pewną) rezolwentą projektywną X. Analogicznie definiujemy

R^{n}F (X) := H^{n}(F (0 → I^{∗})),

prawy n-ty funktor pochodny F, dla rezolwenty injektywnej X → I^{∗}.

Twierdzenie 1 (istnienie i jednoznaczność L_{n}F, R^{n}F – ćwiczenie) Jeśli A ma dostatecznie wiele obiektów projektywnych (injektywnych), to dla każdego F, L_{n}F (R^{n}F) istnieje i nie zależy od wyboru rezolwenty.

W twierdzeniach 2. i 3. zakładamy, że istnieje dostatecznie dużo odpowiednich obiektów (projektywnych lub injektywnych). Twierdzenie 2 (funktory pochodne a dokładność) L_{0}F = F wtedy i tylko wtedy, gdy F jest prawodokładny. R^{0}F = F wtedy i tylko wtedy, gdy F jest lewodokładny.

Twierdzenie 3 (aksjomaty teorii homologii) Jeśli F jest prawo-dokładny, to dla każdego krótkiego ciągu dokładnego

0 −−⟶ A −−⟶^{f} C −−⟶^{g} B −−⟶ 0,

istnieje długi ciąg dokładny

… −−−−→^{L_{2}F (g)} L_{2}F (B) −−⟶^{δ_{2}} L_{1}F (A) −−−−→^{L_{1}F (f)} L_{1}F (C) −−−−→^{L_{1}F (g)} L_{1}F (B)
L_{1}F (B) −−⟶^{δ_{1}} F (A) −−⟶^{F (f)} F (C) −−⟶^{F (g)} F (B) −−⟶ 0,

gdzie morfizmy δ_{n} są odpowiednio funktorialne. Ciąg funktorów i naturalnych morfizmów (L_{n}F, δ_{n}) spełniający powyższe i znikający na obiektach projektywnych jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu. Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla funktorów prawodokładnych F i prawych pochodnych R^{n}F.

Twierdzenie 4 W kategorii Mod _{R} istnieje dostatecznie wiele obiektów projektywnych i injektywnych. W kategorii Sh_{X} istnieje dostatecznie wiele obiektów injektywnych.

Definicje

1. A, B ∈ A, A – kategoria abelowa

Ext^{n}(A, B) := R^{n}h^{B}(A) (≅ R^{n}h_{A}(B))

2. A, B ∈ Mod _{R}

Tor_{n}(A, B) := L_{n}(A ⊗_{R} ·)(B) (≅ L_{n}(· ⊗_{R} B)(A))

3. Kohomologie snopów: F ∈ Sh_{X}

H^{n}(X, F) := R^{n}Γ(F),

gdzie Γ jest funktorem cięć globalnych.

4. Kohomologie grup: Niech G będzie grupą, która działa (przez automorfizmy) na grupie abelowej A. Wtedy A jest ℤG-modułem. Niech ℤ będzie trywialnym ℤG-modułem (G działa poprzez identyczność). Definiujemy n-te kohomologie G o współczynnikach z A i n-te homologie G o współczynnikach z A jako

H^{n}(G, A) := Ext_{ℤG}^{n}(ℤ, A), H_{n}(G, A) := Tor_{n}^{ℤG}(ℤ, A).