ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 4

Fakt X jest grupą w kategorii C (kogrupą) wtedy i tylko wtedy, gdy h^{X} (h_{X}) jest funktorem w kategorię Grp . Dowód ⟹ “Mnożenie po współrzędnych” Dla każdego A ∈ C,

(h^{X}(A), h_{A}(m), h_{A}(i), h_{A}(e))

jest grupą (bo h_{A} zachowuje produkty). Przenoszenie przez h^{X} morfizmów na homomorfizmy grup wynika z łączności składania, tak samo jak w dowodzie lematu Yonedy. ⟸ Lemat Yonedy Dla każdego A ∈ C, niech m_{A} oznacza działanie w grupowe w h^{X}(A). Ponieważ h^{X} przenosi morfizmy na homomorfizmy grup,

m = (m_{A})_{A∈A} : h^{X×X} → h^{X}

jest przekształceniem funktorów. Z lematu Yonedy, dostajemy m : X × X → X i pozostałe funkcje z definicji grupy w kategorii. Ponownie z lematu Yonedy spełniają one odpowiednie aksjomaty.

Wniosek Dla n 1, π_{n} : Top_{∗} → Set jest funktorem w Grp . Dowód π_{n} jest złożeniem funktora zapominania z funktorem kowariantnym reprezentowalnym przez S^{n}, która jest kogrupą w Toph _{∗}.

Fakt Jeśli funktor F : C → D zachowuje produkty i obiekty końcowe, to jest też funktorem z Grp _{C} do Grp _{D}. Dowód Wystarczy nałożyć F na wszystkie diagramy definiujące grupę w kategorii i morfizmy grup w kategorii.

Wniosek 1 Każdy funktor reprezentowalny jest też funktorem z Grp _{C} do Grp . Dowód Wiemy że funktory reprezentowalne zachowują produkty i obiekt końcowy.

Wniosek 2 Jeśli X jest H-grupą (w szczególności grupą topologiczną), to dla n 1 π_{n}(X) jest abelowa. Dowód π_{n} jest reprezentowalny, czyli zachowuje produkty i obiekty końcowe jako funktor (przed złożeniem z funktorem zapominania) z Toph _{∗} do Set . Ale w dowolnej kategorii C (ćwiczenie) produkty w kategorii grup w C, są to produkty w C i obiekt końcowy jest też ten sam. Stąd π_{n} zachowuje produkty i obiekt końcowy jako funktor z Toph _{∗} do Grp . Z faktu:

π_{n} : Grp _{Toph _{∗}} → Grp _{Grp} = Ab .

(grupą w kategorii grup jest grupa abelowa!). Czyli π_{n}(X) jest abelowa.

Funktory dołączone

Niech R będzie pierścieniem, X dowolnym zbiorem i R[X] pierścieniem wielomianów, gdzie zmienne pochodzą ze zbioru X. Wtedy mamy funktor

F (X) = R[X], F : Set → Alg_{R}.

Niech G : Alg_{R} → Set będzie funktorem zapominania. Wtedy dla każdej R-algebry S i zbioru X mamy bijekcję

Hom_{Alg _{R}}(R[X], S) ⟷ Hom_{Set} (X, S), ϕ ↦ ϕ|X,

która jest naturalna względem S i X (bo obcinanie funkcji jest przemienne ze składaniem funkcji). Czyli następujące funktory są izomorficzne

Set^{op} × Alg_{R} ∋ (X, S) ↦ Hom_{Alg _{R}}(F (X), S) ∈ Set
Set^{op} × Alg_{R} ∋ (X, S) ↦ Hom_{Set} (X, G(S)) ∈ Set .

Definicja Niech F : C → D i G : D → C będą funktorami. F jest lewym dołączonym do G (inaczej mówiąc G jest prawym dołączonym do F), gdy następujące funktory są izomorficzne

C^{op} × D ∋ (X, Y) ↦ Hom_{D}(F (X), Y) ∈ Set
C^{op} × D ∋ (X, Y) ↦ Hom_{C}(X, G(Y)) ∈ Set .

Przykłady (lewy dołączony do funktora zapominania G)

1. G : Grp → Set , F (X) = F_{X} – funktor grupy wolnej.

2. G : Ab → Grp , F (H) = H^{ab} = H/[H, H] – funktor abelianizacji.

3. S–R-algebra, G : Mod _{S} → Mod _{R}, F (M) = M ⊗ R_{S} – funktor rozszerzenia skalarów.

4. G : Ciała → Pierścienie Całkowite , G(R) = R_{0} – ciało ułamków. Inne przykłady

1. Niech dla (X, x) ∈ Top_{∗}

Ω(X, x) = Hom_{Top _{∗}}((S^{1}, ∗), (X, x))

(pętle zaczepione w x) z topologią zwarto-otwartą.

Σ(X, x) = X × [0, 1]/(X × {0, 1} ∪ {x} × [0, 1])

(punkt wyróżniony dla Ω(X, x) to pętla stała, dla Σ(X, x), to klasa punktu (x, 0)). Σ jest lewym dołączonym do Ω, gdzie Σ i Ω rozważamy jako funktory z Toph _{∗} do Toph _{∗} (ćwiczenie).

2. Dla pierścienia przemiennego R i R-modułu M, funktor

Mod _{R} ∋ N ↦ M ⊗_{R} N ∈ Mod _{R}

jest lewym dołączonym (ćwiczenie) do

Mod _{R} ∋ N ↦ Hom_{Mod _{R}}(M, N) ∈ Mod _{R}.

Fakt Dla n 2, π_{n} : Top_{∗} → Ab . Dowód Dla (X, x) ∈ Top_{∗} i n 2, trzeba pokazać, że π_{n}(X, x) jest grupą abelową. π_{n}(X, x) = Hom_{Toph _{∗}}((S^{n}, ∗), (X, x)) = Hom_{Toph _{∗}}((SS^{n−1} , ∗), (X, x)) ≅

≅ Hom_{Toph _{∗}}((S^{n−1} , ∗), Ω(X, x)) = π_{n−1} (Ω(X, x)).

Ale Ω(X, x) jest H-grupą (ćwiczenie) i n − 1 1, czyli π_{n−1} (Ω(X, x)) jest abelowa.

Twierdzenie Niech F : C → D będzie funktorem. Załóżmy, że dla każdego Y ∈ D istnieje X_{Y} ∈ C, który reprezentuje funktor h^{Y}F, tzn. funktor

C ∋ X ↦ Hom_{D}(F (X), Y) ∈ Set .

Wtedy istnieje jedyny funktor G : D → C taki, że:

• Dla każdego Y ∈ D, G(Y) = X_{Y}

• G jest dołączony z prawej do F.

Przechodząc do kategorii przeciwnych dostajemy twierdzenie dualne, w którym startujemy od G i dostajemy funktor dołączony z lewej F.

Dowód Dla każdego Y ∈ D istnieje izomorfizm funktorów α^{Y} : h^{X_{Y}} → h^{Y}F, czyli dla każdego X ∈ C mamy naturalną względem X bijekcję

α_{X}^{Y} : Hom_{C}(X, X_{Y}) ⟷ Hom_{D}(F (X), Y).

Weźmy X = X_{Y} i niech

σ_{Y} := α_{X_{Y}}^{Y} (id_{X_{Y}} ), σ_{Y} : F (X_{Y}) → Y.

Niech f : X → X_{Y}. Wtedy następujący diagram jest przemienny

Hom_{C}(X_{Y}, X_{Y}) −−⟶^{α_{X_{Y}}^{Y}} Hom_{D}(F (X_{Y}), Y)
h^{X_{Y}} (f) ↓  ↓^{h^{Y} (F (f))}
Hom_{C}(X, X_{Y}) −−⟶^{α_{X}^{Y}} Hom_{D}(F (X), Y) .

W szczególności (biorąc id_{X_{Y}} ∈ Hom_{C}(X_{Y}, X_{Y})) dostajemy

α_{X}^{Y}(f) = σ_{Y} ∘ F (f).  (1)

Weźmy teraz v : Y → Y′. Szukamy G(v) : X_{Y} → X_{Y′}. Zauważmy, że

v ∘ σ_{Y} : F (X_{Y}) → Y′, α_{X_{Y}}^{Y′} : Hom_{C}(X_{Y}, X_{Y′}) → Hom_{D}(F (X_{Y}), Y′).

Definiujemy

ṽ = (α_{X_{Y}}^{Y′} )^{−1} (v ∘ σ_{Y}),  (2)

(ṽ będzie naszym G(v)).

CLAIM Morfizm ṽ : X_{Y} → X_{Y′} jest jedyny taki, że następujący diagram jest przemienny

F (X_{Y}) −−⟶^{F (_{v})} F (X_{Y′})
σ_{Y} ↓  ↓^{σ_{Y′}}
Y −−⟶^{v} Y′ .

Dowód Claimu

• Przemienność diagramu.

v ∘ σ_{Y} = α_{X_{Y}}^{Y′} (ṽ) = σ_{Y′}∘ F (ṽ),

gdzie pierwsza równość wynika z (2) a druga z (1).

• Jedyność.

Niech ũ : X_{Y} → X_{Y′} będzie morfizmem takim, że v ∘ σ_{Y} = σ_{Y} ∘ F (ũ). Wtedy

ṽ = (α_{X_{Y}}^{Y′} )^{−1} (v∘σ_{Y}) = (α_{X_{Y}}^{Y′} )^{−1} (σ_{Y}∘F (ũ)) = (α_{X_{Y}}^{Y′} )^{−1} (α_{X_{Y}}^{Y′} (ũ)) = ũ.

Z Claimu wynika, że { \atop v ∘ w} = ṽ ∘ w̃, czyli G zdefiniowany

G(Y) = X_{Y}, G(v) = ṽ

jest funktorem.

Trzeba jeszcze sprawdzić, czy funkcja α_{X}^{Y} jest naturalna względem Y. Weźmy v : Y → Y′. Mamy sprawdzić, że następujący diagram jest przemienny:

Hom_{C}(X, G(Y)) −−−−⟶^{h_{X} (G(v))} Hom_{C}(X, G(Y′))
α_{X}^{Y} ↓  ↓_{α_{X}^{Y′}}
Hom_{D}(F (X), Y) −−−−⟶^{h_{F (X)} (v)} Hom_{D}(F (X), Y′) .

Weźmy, u : X → G(X).

α_{X}^{Y′}(G(v) ∘ u) = σ_{Y′}∘ F (G(v) ∘ u), z (1)

σ_{Y′}∘ F (G(v) ∘ u) = σ_{Y′}∘ F (G(v)) ∘ F (u) = v ∘ σ_{Y} ∘ F (u), z Claimu

v ∘ σ_{Y} ∘ F (u) = v ∘ α_{X}^{Y}(u) z (1).

Jedyność G wynika z jedyności w Claimie, bo każdy inny wybór G(v) też musiałby wchodzić w przemienny diagram w Claimie.

Przykład Niech K będzie ciałem. Rozważmy

G : Alg_{K} → Alg_{K}, G(R) = R[x]/(x^{2})

(funktor liczb dualnych). Dla dowolnej K-algebry R, ustalmy R = K[X]/I, dla pewnego zbioru zmiennych X i ideału I. Niech δ : R[X] → R[X, X′] (X′ = {x′: x ∈ X}) będzie rózniczkowaniem takim,że δ(K) = 0 i dla każdego x ∈ X, δ(x) = x′. Definiujemy

R′= K[X, X′]/(I, δ(I)).

Wtedy R′ reprezentuje funktor

Alg_{K} ∋ S ↦ Hom_{Alg _{K}} (S, G(R)) ∈ Set ,

czyli R ↦ R′ przedłuża się do funktora F, dołączonego z lewej do G. Jeśli R ≅ K[V] (pierścień funkcji regularnych), to F (R) ≅ K[T V], gdzie T V jest wiązką styczną. Czyli F odpowiada funktorowi wiązki stycznej.