ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 3

Funktory reprezentowalne

Definicja Funktor F : C → Set jest reprezentowalny poprzez A ∈ C, gdy F jest izomorficzny z h_{A}, tzn. dla każdego B ∈ C istnieje naturalna bijekcja

F (B) ⟷ Hom(A, B).

Uwaga Niech Repr(C, D) oznacza pełną podkategorię Func(C, D), której obiektami są funktory reprezentowalne. Z lematu Yonedy wynika, że

C ∋ X ↦ h^{X} ∈ Repr(C^{op}, D)
C^{op} ∋ X ↦ h_{X} ∈ Repr(C, D)

są równoważnościami. Niech ı będzie quasi-odwrotnością do pierwszej z nich.

Przykład 1 Rozważmy funktor n-tych kohomologii o współczynnikach w grupie A jako

H_{A}^{n} : Toph ^{op} → Set , H_{A}^{n}(X) = H^{n}(X, A).

Funktor H_{A}^{n} jest reprezentowalny poprzez przestrzeń Eilenberga Mac-Lane’a K(A, n), czyli dla każdej przestrzeni topologicznej X mamy naturalną bijekcję

H^{n}(X, A) ⟷ Hom_{Toph} (X, K(A, n)).

K(A, n) jest określone z dokładnością do homotopii poprzez:

π_{i}(K(A, n)) = \{ \begin{matrix}A & gdy i = n \\ 0 & gdy i ≠ n. \end{matrix}

Operacją kohomologiczną θ typu (n, m, A, B) nazywamy dowolny morfizm funktorów

θ : H_{A}^{n} → H_{B}^{m}.

Twierdzenie Operacje kohomologiczne typu (n, m, A, B) są w bijekcji z H^{m}(K(A, n), B). Dowód Ponieważ H_{A}^{n} = h^{K(A,n)} , z lematu Yonedy (stosowanego do Toph ^{op}) mamy następującą bijekcję:

Hom_{Func(Toph ^{op} ,Set )}(H_{A}^{n}, H_{B}^{m}) ⟷ H^{m}(K(A, n), B).

Przykład 2 (pierwsza definicja produktu – reprezentowalność) Weźmy X, Y, obiekty kategorii C. Jeśli istnieje obiekt reprezentujący funktor:

F_{X,Y} : C^{op} → Set , F_{X,Y} (A) = Hom(A, X) × Hom(A, Y),

to nazywamy go produktem X i Y (w kategorii C) i oznaczamy X × Y. Z lematu Yonedy produkt jest określony z dokładnością do izomorfizmu. Mówimy, że kategoria ma produkty, jeśli dla każdej pary obiektów istnieje ich produkt. Zauważmy, że

C × C ∋ (X, Y) ↦ F_{X,Y} ∈ Func(C, Set )

jest funktorem. Stąd, jeśli C ma produkty, to

C × C ∋ (X, Y) ↦ X × Y ∈ C

jest funktorem jako kompozycja górnego funktora z quasi-odwrotnością ı (pochodzącą z lematu Yonedy).

Podobnie będziemy uzasadniać, że inne konstrukcje reprezentowalne w funktorialny sposób są funktorami.

Zbiór Hom(A, X) możemy rozumieć jako zbiór “A-punktów” X, który czasem oznaczamy przez X(A). Lemat Yonedy intuicyjnie mówi, że wystarczy patrzeć na (wszystkie możliwe) A-punkty.

Fakt (druga definicja produktu – własność uniwersalna) Obiekt Z jest produktem X i Y wtedy i tylko wtedy, gdy mamy morfizmy π_{X} : Z → X, π_{Y} : Z → Y takie że dla każdej pary morfizmów f_{X} : Z′→ X, f_{Y} : Z′ → Y, istnieje jedyny morfizm f : Z′ → Z taki, że f_{X} = fπ_{X}, f_{Y} = fπ_{Y}. Dowód ⟹ Dla każdego A ∈ C mamy naturalną odpowiedniość

Hom(A, Z) ⟷ Hom(A, X) × Hom(A, Y).

Wstawiając A = Z otrzymujemy (π_{X}, π_{Y}) odpowiadające id_{Z}. Wstawiając A = Z′ otrzymujemy f odpowiadające (f_{X}, f_{Y}). Uzupełnić dowód – ćwiczenie. ⟸ Oznaczmy przez F funktor F_{X,Y}, czyli F (A) = Hom(A, X) × Hom(A, Y). Z lematu Yonedy przekształcenia pomiędzy h^{Z} i F odpowiadają F (Z). Element (π_{X}, π_{Y}) ∈ F (Z) odpowiada izomorfizmowi funktorów – ćwiczenie.

Zwykle jednak będziemy definiować nowe pojęcia poprzez własność uniwersalną (definicja 2) a nie funktor reprezentowalny. Dzięki funktorialnej reprezentowalności dostajemy jak poprzednio, że dana konstrukcja jest funktorem.

Definicja Koprodukt to pojęcie dualne do produktu (odwracamy wszystkie strzałki w drugiej definicji produktu). Koprodukt X, Y oznaczamy przez X ∐ Y.

Zauważmy, że mamy naturalne morfizmy

Δ : X → X × X (przekątna)

∇ : X ∐ X → X (koprzekątna).

Dla f : X → Y, g : X → Z złożenie

(f × g) ∘ Δ : X → Y × Z

oznaczamy przez (f, g).

Z lematu Yonedy mamy też funktorialny izomorfizm

(X × Y) × Z ≅ X × (Y × Z),

czyli możemy opuszczać nawiasy i pisać X × Y × Z (podobnie dla ∐ ).

Przykłady

1. Set , Top , Diff , An , AfVar _{K}.

Produkt to iloczyn kartezjański, koprodukt to suma rozłączna.

Czyli ogólnie koprodukt X, Y ∈ C reprezentuje funktor

C^{op} ∋ A ↦ Hom(A, X) ∐ Hom(A, Y) ∈ Set .

2. Alg_{R}. Produkt to iloczyn kartezjański, koprodukt to iloczyn tensorowy.

3. Grp . Produkt to suma prosta, koprodukt to iloczyn wolny.

4. Mod _{R}. Produkt i koprodukt to suma prosta.

5. Top(X). Produkt to przekrój, koprodukt to suma.

Definicja Załóżmy, że w kategoriach C i D istnieją produkty. Funktor F : C → D zachowuje produkt, gdy następujące funktory są izomorficzne:

(X, Y) ↦ F (X) × F (Y), (X, Y) ↦ F (X × Y).

Fakt Funktory reprezentowalne zachowują produkt i obiekt końcowy. Dowód Wprost z pierwszej definicji produktu i z definicji obiektu końcowego.

Aksjomaty grupy G można wyrazić poprzez diagramy przemienne używające działania m : G × G → G, funkcji elementu odwrotnego i : G → G oraz funkcji stałej w element neutralny e : G → G, którą możemy rozumieć jako zlożenie funkcji w element końcowy (singleton) z zanurzeniem elementu końcowego w G. Jeśli ∗ jest obiektem końcowym i f : ∗ → X morfizmem, to złożenie f z jedynym morfizmem X → ∗ oznaczamy też przez f. Definicja Załóżmy, że kategoria C ma obiekt końcowy, oznaczony ∗. Grupą w kategorii C nazywamy czwórkę (G, m, i, e)

G ∈ C, m : G × G → G, i : G → G, e : ∗ → G

taką, że następujące diagramy są przemienne:

\begin{matrix}G × G × G & −−−−→^{m×id_{G}} & G × G \\ ^{id_{G} ×m} ↓ & & ↓^{m} \\ G × G & −−⟶^{m} & G \end{matrix}  (łączność)

\begin{matrix}G & −−−−→^{(e,id_{G})} & G × G \\ ^{id}_{G} ↓ & & ↓^{m} \\ G & −−⟶^{id_{G}} & G \end{matrix}  \begin{matrix}G & −−⟶^{id_{G}} & G \\ ^{(id_{G},e)}↓ & & ↓^{id}_{G} \\ G × G & −−⟶^{m} & G \end{matrix} (element neutralny)

\begin{matrix}G × G & ⟵−−^{Δ} & G & −−⟶^{Δ} & G × G \\ ^{id_{G} ×i} ↓ & & ^{e}↓ & & ↓^{i×id_{G}} \\ G × G & −−⟶^{m} & G & ⟵−−^{m} & G × G \end{matrix} (elementy odwrotne).

Definicja kogrupy w kategorii jest dualna (ćwiczenie – narysować diagramy!). Morfizmem grup w kategorii C (G, m, i, s) i (G′, m′, i′, e′) nazywamy morfizm f : G → G′ zachowujący (m, i, s), (m′, i′, s′), czyli np. następujący diagram jest przemienny:

G × G −−⟶^{f×f} G′× G′
m↓  ↓_{m′}
G −−⟶^{f} G′ .

Grupy i kogrupy w C tworzą (zwykle niepełne) podkategorie C, które będziemy oznaczać Grp _{C} i Cogrp _{C}.

Przykłady

1. Grupy w Set , to grupy.

2. Grupy w Toph , to tzw. H-grupy.

3. (S^{n}, 1) jest kogrupą w Toph _{∗}.

Obiektem początkowym w Toph _{∗} jest ∗ (singleton).

Koproduktem (X, x) i (Y, y) jest X ∨ Y = X × {y} ∪ {x} × Y.

Odwzorowaniem komnożenia S^{n} → S^{n} ∨S^{n} jest “ściągnięcie równika”. Ćwiczenie – sprawdzić, że dostajemy kogrupę w Toph _{∗} (tzw. H-kogrupę).

4. Grupy w Top , to grupy topologiczne.

5. Grupy w Diff , to grupy Liego.

6. Grupy w An , to zespolone grupy Liego.

7. Var _{K}, to kategoria rozmaitości algebraicznych nad K (niekoniecznie afinicznych, np. rzutowych). Grupy w Var _{K}, to grupy algebraiczne nad K. Grupy w AfVar _{K}, to afiniczne grupy algebraiczne nad K. Twierdzenie Włożenie podkategorii grup liniowych w afiniczne grupy algebraiczne jest równoważnością kategorii.

8. Grupy w Def(M), to grupy definiowalne.

Twierdzenie Włożenie podkategorii grup algebraicznych w grupy definiowalne w K jest równoważnością kategorii.

9. Grupy w Grp , to grupy abelowe (ćwiczenie – uzasadnić).

10. Kogrupy w Alg_{K}, to algebry Hopfa.