ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 10

Kohomologie grup

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym z 1 i G grupą, to RG (pierścień grupowy) jako grupa addytywna jest izomorficzna z R-modułem wolnym, którego bazą jest G a mnożenie w RG rozszerza mnożenie grupowe. RG jest przemienny wtedy i tylko wtedy, gdy G jest przemienna. A jest G-modułem, gdy jest lewym ℤG-modułem, czyli A jest grupą abelową, na której G działa z lewej poprzez automorfizmy. Kategoria lewych modułów nad dowolnym pierścieniem jest kategorią abelową. Dla A, B – G-modułów, Hom_{G}(A, B) oznacza zbiór homomorfizmów pomiędzy A i B traktowanych jako lewe ℤG-moduły. Podobnie indeks G pojawia się w innych kontekstach. Jeśli ℤ potraktujemy jako trywialny G-moduł i A jest dowolnym G-modułem to definiujemy

H_{n}(G, A) := Tor_{n}^{G}(ℤ, A) = L_{n}(· ⊗_{ℤG} A)(ℤ)
H^{n}(G, A) := Ext_{G}^{n}(ℤ, A) = R_{n}(h^{A})(ℤ).

Zobaczmy najpierw czym są zerowe (ko)homologie.

H_{0}(G, A) ≅ ℤ ⊗_{ℤG} A ≅ A/{a − ga|a ∈ A, g ∈ G} =: A_{G},
H^{0}(G, A) ≅ Hom_{G}(ℤ, A) ≅ {a ∈ A|(∀g ∈ G)ga = a} =: A^{G}.

A^{G} to niezmienniki A względem G, A_{G} to koniezmienniki. Aby policzyć wyższe (ko)homologie grupy G, potrzebujemy projektywnej G-rezolwenty ℤ.

Uwaga Gdy A jest wolną grupą abelową o bazie X, jeśli G działa w sposób wolny na X (tzn. dla dowolnego g ∈ G, jeśli istnieje x ∈ X taki, że gx = x, to g = 1), to A staje się wolnym G-modułem.

Przykłady wolnych G-rezolwent ℤ

1. Przykład topologiczny (szkic) Najpierw przypomnę definicje homologii singularnych przestrzeni topologicznej.

Niech Δ_{n} będzie standardowym sympleksem n-wymiarowym w ℝ^{n+1} (tzn. Δ_{n} = {(x_{0}, …x_{n})|0 x_{i} 1, ∑ x_{i} = 1} – uwypuklenie bazy standardowej w ℝ^{n+1} ) i X będzie przestrzenią topologiczną. Definiujemy C_{n}(X), n-tą grupę łańcuchów singularnych jako wolną grupę abelową o bazie Hom_{Top} (Δ_{n}, X). Dla każdego n i i = 0, …n mamy funkcje ciągłą zanurzenia na i-tą ścianę

σ_{i,n} : Δ_{n−1} → Δ_{n}, σ_{i,n}(x_{0}, …, x_{n−1} ) = (x_{0}, …, x_{i−1} , 0, x_{i}, …, x_{n}).

Definiujemy różniczkę

δ_{n} : C_{n}(X) → C_{n−1} (X), δ_{n}(f)(x) = ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i}f(σ_{i,n}(x)).

Wtedy C_{∗}(X) jest kompleksem łańcuchów i dla grupy abelowej A,

H_{n}(X, A) := H_{n}(C_{∗}(X) ⊗_{ℤ} A), H^{n}(X, A) := H^{n}(Hom_{ℤ}(C_{∗}(X), A)).

Jeśli X jest ściągalna (tzn. X ≅ ∗ w Toph ), to dla każdego n,

H_{n}(X) ≅ H_{n}(∗), czyli H_{0}(X) = ℤ, H_{>0} (X) = 0.

Stąd dla X ściągalnego mamy wolną rezolwentę grupy abelowej ℤ

… −−⟶^{δ_{2}} C_{1}(X) −−⟶^{δ_{1}} C_{0}(X) −−⟶^{δ_{0}} ℤ −−⟶ 0 ,

gdzie δ_{0} jest homomorfizmem w coker(δ_{1}) = H_{0}(X) = ℤ.

Załóżmy teraz, że X jest ściągalna i G działa w sposób wolny na X (poprzez homeomorfizmy). Wtedy G działa w sposób wolny na Hom_{Top} (Δ_{n}, X) i C_{n}(X) staje się wolnym G-modułem. Również δ_{n} jest G-homomorfizmem, czyli C_{∗}(X) → ℤ staje się wolną G-rezolwentą ℤ.

Niech X = K(G, 1) będzie przestrzenią Eilenberga – Mac Lane’a, tzn.

π_{1}(X) = G, π_{>1} (X) = 0,

i X̃ jest uniwersalną przestrzenią nakrywającą X (tzn. X̃ jest jednospójna (w tym przypadku ściągalna) i mamy nakrycie π : X̃ → X). Wtedy G działa w sposób wolny na X̃ i X̃/G jest homeomorficzna z X. Stąd dla dowolnego trywialnego G-modułu A mamy

C_{n}(X̃) ⊗_{ℤG} A ≅ C_{n}(X) ⊗ A, Hom_{G}(C_{n}(X̃), A) ≅ Hom_{ℤ}(C_{n}(X), A).

Dostajemy

H_{n}(G, A) ≅ H_{n}(K(G, 1), A), H^{n}(G, A) ≅ H^{n}(K(G, 1), A).

2. Rezolwenta standardowa (bar-rezolwenta) Definiujemy F_{n} jako wolny ℤ-moduł którego bazą jest G^{n+1} i G działa na (bazie) F_{n} po współrzędnych

g(g_{0}, …, g_{n}) = (gg_{0}, …, gg_{n}).

Wtedy F_{n} jest wolnym G-modułem o bazie

{(1, g_{1}, …, g_{n})|(g_{1} …, g_{n}) ∈ G^{n}}.

Dla i = 0, …, n definiujemy π_{i,n} : F_{n} → F_{n−1} , tak że na ℤ-bazie π_{i,n} jest określone jako rzutowanie na wszystkie osie poza i-tą. Wtedy π_{i,n} jest G-homomorfizmem i poprzez funkcje

δ_{n} : F_{n} → F_{n−1} , δ_{n} = ∑_{i=0}^{n} (−1)^{i}π_{i,n}

dostajemy kompleks łańcuchów, który jest wolną G-rezolwentą ℤ (ćwiczenie) zwaną rezolwentą standardową.

Utożsamimy teraz G-bazę F_{n} z G^{n} w inny sposób

G^{n} ∋ (g_{1}, …, g_{n}) ↦ (1, g_{1}, g_{1}g_{2}, …, g_{1}g_{2} …g_{n}) =: [g_{1}|g_{2}| …|g_{n}] ∈ F_{n}.

Dostajemy wzór na δ_{n}

δ_{n}[g_{1}| …|g_{n}] = g_{1}[g_{2}| …|g_{n}]+∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i}[g_{1}| …|g_{i−1} |g_{i}g_{i+1} |g_{i+2} | …|g_{n}]+(−1)^{n}[g_{1}| …|g_{n−1} ].

Niech teraz A będzie dowolnym G-modułem i

C^{n}(G, A) := Hom_{G}(F_{n}, A).

Wtedy H^{n}(G, A) = H^{n}(C^{∗}(G, A))). Ponieważ F_{n} jest wolnym G-modułem o bazie G^{n} mamy izomorfizm grup abelowych

Hom_{G}(F_{n}, A) ≅ Hom_{Set} (G^{n}, A), F ↦ f := F |_{G^{n}} .

Zinterpretujemy teraz różniczkę δ^{n} : C^{n−1} (G, A) → C^{n}(G, A)

δ^{n}(f)(g_{1}, …, g_{n}) = F (δ_{n}[g_{1}| …|g_{n}]) =

= F (g_{1}[g_{2}| …|g_{n}]+∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i}[g_{1}| …|g_{i−1} |g_{i}g_{i+1} |g_{i+2} | …|g_{n}]+(−1)^{n}[g_{1}| …|g_{n−1} ]) =

g_{1}F ([g_{2}| …|g_{n}])+∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i}F ([g_{1}| …|g_{i−1} |g_{i}g_{i+1} |g_{i+2} | …|g_{n}])+(−1)^{n}F ([g_{1}| …|g_{n−1} ])

= g_{1}f(g_{2}, …, g_{n})+∑_{i=1}^{n−1} (−1)^{i}f(g_{1}, …, g_{i−1} , g_{i}g_{i+1} , g_{i+2} , …, g_{n})+(−1)^{n}f(g_{1}, …, g_{n−1} ).

Napiszemy otrzymaną równość jawnie dla n = 1, 2, 3.

δ_{1} : C^{0}(G, A) → C^{1}(G, A), δ_{1}(a)(g) = gf_{a}(1) − f_{a}(1) = ga − a.

δ_{2} : C^{1}(G, A) → C^{2}(G, A), δ_{2}(f)(g, h) = gf(h) − f(gh) + f(h).

δ_{3} : C^{2}(G, A) → C^{3}(G, A), δ_{3}(f)(g, h, k) = gf(h, k)−f(gh, k)+f(g, hk)−f(h, k).

Niech

B^{n}(G, A) = im(δ^{n}) – n-brzegi, Z^{n}(G, A) = ker(δ^{n+1} ) – n-cykle

Czyli H^{n}(G, A) = Z^{n}(G, A)/B^{n}(G, A). Z powyzszego opisu dostajemy

C^{1}(G, A) = {f : G → A|(∀g, h ∈ G)f(gh) = gf(h) + f(h)}.

Funkcje j.w. nazywają się różniczkowaniami (jeśli A rozumiemy też jako trywialny prawy ℤG-moduł, to dostajemy regułę Leibniza) lub skośnymi homomorfizmami.

C^{2}(G, A) = {f : G^{2} → A|(∀g, h, k ∈ G)gf(h, k)−f(gh, k)+f(g, hk)−f(h, k) = 0}.

3. Rezolwenta skończonej grupy cyklicznej. Niech t oznacza generator G = ℤ. Mamy ℤG ≅ ℤ[x]/(x^{n} − 1). Niech N := 1 + t + ⋯+ t^{n−1} ∈ ℤG. Wtedy dostajemy wolną rezolwentę (ćwiczenie).

… −−⟶^{·(t−1)} ℤG −−⟶^{·N} ℤG −−⟶^{·(t−1)} ℤG −−⟶ ℤ −−⟶ 0 .

Zinterpretujemy teraz kohomologie grup wymiarów 1 i 2.

Rozszerzenie grupy A przez grupę G (lub, np. Brown ”Kohomologie grup”, G przez A) to diagram

1 −−⟶ A −−⟶^{i} E −−⟶^{π} G −−⟶ 1 ,

gdzie i jest “1-1”, im(i) = ker(j), j jest “na”. Równoważność rozszerzeń grup definiujemy jak dla rozszerzeń R-modułów. Jeśli A jest abelowa, to E działa na A poprzez sprzężenia. A działa na sobie trywialnie, czyli dostajemy działanie G na A i A staje się G-modułem. Jeśli A jest G-modułem, to definiujemy produkt półprosty A ⋊ G jako zbiór A × G z działaniem

(a, g)(b, h) = (a + gb, gh).

Dostajemy rozszerzenie A przez G i struktura G-modułu na A otrzymana poprzez to rozszerzenie pokrywa się z wyjściową:

(a, g)(b, 1)(a, g)^{−1} = (a+gb, g)(−g^{−1} a, g^{−1} ) = (a+gb+g(−g^{−1} a), 1) = (gb, 1).

Twierdzenie Ustalmy rozszerzenie

(∗) 1 −−⟶ A −−⟶^{i} E −−⟶^{π} G −−⟶ 1 ,

Następujące warunki są równoważne.

1. Istnieje homomorfizm s : G → E taki, że πs = id_{G}.

2. Isnieje G̃ < G, taka że π|G̃ : G̃ ≅ G, E = i(A)G i i(A) ∩ G̃ = 1.

3. Rozszerzenie (∗) jest równoważne rozszerzeniu produktu półprostego względem działanie G na A pochodzącego z rozszerzenia (∗).

Przyjrzyjmy się teraz możliwym rozszczepieniom s : G → A ⋊ G. Funkcja s musi mieć postać s(g) = (d(g), g) dla pewnego d : G → A. Dla g, h ∈ G mamy

(d(gh), gh) = s(gh) = s(g)s(h) = (d(g), g)(d(h), h) = (d(g) + gd(h), gh),

stąd d(gh) = d(g) + gd(h), czyli d jest różniczkowaniem i d ∈ Z^{1}(G, A). Rozszczepienia s_{1}, s_{2} : G → E są A-równoważne, gdy istnieje a ∈ A taki, że dla każdego g ∈ G, s_{1}(g) = i(a)s_{2}(g)i(a)^{−1} . Łatwo udowodnić (ćwiczenie):

Twierdzenie H^{1}(G, A) odpowiada klasom A-równoważnych rozszczepień rozszerzenia

1 → A → A ⋊ G → 1.

Weźmy teraz dowolną funkcję s : G → E taką, że πs = id_{G} i s(1) = 1. Jeśli s jest homomorfizmem, to rozszerzenie się rozszczepia. Jeśli nie, to s wciąż zadaje bijekcję A × G z E: (a, g) ↦ i(a)s(g).

Najpierw znajdziemy funkcję, która “mierzy odległośc” s od homomorfizmu. Dla dowolnych g, h ∈ G, mamy π(s(g)s(h)) = π(s(gh)), czyli mamy funkcję

f : G^{2} → A, s(g)s(h) = i(f(g, h))s(gh).

Teraz znajdziemy wzór na działanie grupowe z E na A × G.

(a, g)(b, h) ↦ i(a)s(g)i(b)s(h) = i(a)(s(g)i(b)s(g)^{−1} )s(g)s(h) = i(a)i(gb)s(g)s(h)

= i(a+gb)i(f(g, h))s(gh) = i(a+gb+f(g, h))s(gh) ↦ (a+gb+f(g, h), gh).

Czyli dostajemy wzór

(a, g)(b, h) = (a + gb + f(g, h), gh).

Łączność działania tak zdefiniowanego jest równoważna temu, że f ∈ C^{2}(G, A) i dość łatwo można pokazać:

Twierdzenie Klasy równoważnych rozszerzeń A przez G z zadanym działaniem G na A są w bijekcji z H^{2}(G, A).