ALGEBRA HOMOLOGICZNA, WYKŁAD 1

Kategorie

Definicja Kategoria C składa się z: • Klasy Ob(C), elementy której zwą się obiektami C.

• Zbiorów Hom(X, Y) dla każdych X, Y ∈ Ob(C), elementy których zwą się morfizmami pomiędzy X i Y.

• Funkcji

∘ : Hom(X, Y) × Hom(Y, Z) → Hom(Y, Z) ∀X, Y, Z ∈ Ob(C) zwanych funkcjami składania morfizmów.

takich, że ∀X, Y, Z, T ∈ Ob(C):

1. (X, Y) ≠ (Z, T) ⇒ Hom(X, Y) ∩ Hom(Z, T) = ∅.

2. ∃! id_{X} ∈ Hom(X, X) taki, że ∀f ∈ Hom(X, Y) ∀g ∈ Hom(Z, X) f ∘ id_{X} = f, id_{X} ∘g = g.

3. ∀f ∈ Hom(X, Y), ∀g ∈ Hom(Y, Z), ∀h ∈ Hom(Z, T)

(h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).

Konwencje

• Ob(C) oznacza się przez C.

• Zamiast f ∈ Hom(X, Y) pisze się f : X → Y.

• Zamiast g ∘ f pisze się gf.

• Zamiast Hom(X, Y) pisze się Hom_{C}(X, Y), C(X, Y), [X, Y], [X, Y]_{C}. Przykłady i Oznaczenia

1. Set

Ob(Set ) to (wszystkie) zbiory, dla X, Y ∈ Set , Hom(X, Y) = X^{Y} (funkcje z X do Y).

2. Top , Top_{∗} Ob(Top ) to przestrzenie topologiczne, morfizmy to funkcje ciągłe. Ob(Top_{∗}) to przestrzenie topologiczne z punktem wyróżnionym, morfizmy to funkcje ciągłe zachowujące punkty wyróżnione.

3. Toph , Toph _{∗} Ob(Toph ) = Ob(Top ), morfizmy to klasy homotopii funkcji ciągłych (Zadanie 1). Ob(Toph _{∗}) = Ob(Top_{∗}), morfizmy to klasy homotopii funkcji ciągłych zachowujących punkty wyróżnione, homotopie też zachowują punkty wyróżnione.

4. Diff

Ob(Diff ) to gładkie rozmaitości, morfizmy to funkcje gładkie.

5. An

Ob(An ) to rozmaitości zespolone, morfizmy to funkcje holomorficzne.

6. AfVar _{K}

Ob(AfVar _{K}) to rozmaitości afiniczne nad algebraicznie domkniętym ciałem K (czyli zbiory domknięte Zariskiego w K^{n} dla różnych n), morfizmy to obcięcia funkcji wymiernych (równoważnie wielomianowych).

7. Mod _{R}, gdzie R jest pierścieniem Ob(Mod _{R}) to (prawe) R-moduły , morfizmy to homomorfizmy Rmodułów. Mod _{ℤ} oznaczamy przez Ab (grupy abelowe), Mod _{K} przez Vect _{K} (przestrzenie liniowe nad K) gdy K jest ciałem.

8. Alg_{R}, gdzie R jest pierścieniem przemiennym Ob(Alg_{R}) to R-algebry, morfizmy to homomorfizmy R-algebr.

9. Grp

Ob(Grp ) to grupy, morfizmy to homomorfizmy grup.

10. Top(X) (gdzie X jest przestrzenią topologiczną) Ob(Top(X)) = OPEN(X) – zbiory otwarte w X, morfizmy to inkluzje (Zadanie 2).

11. Def(M) (gdzie M jest strukturą) Ob(Def(M)) = to zbiory definiowalne w M^{n} (różne n), morfizmy to funkcje definiowalne.

Kolejne definicje Niech C i D będą kategoriami.

• C jest mała gdy Ob(C) jest zbiorem (tylko 6., 10. i 11. są małe).

• C × D, produkt kategorii C, D Ob(C × D) = Ob(C) × Ob(D) i morfizmy to pary morfizmów (Zad. 2).

• C^{op}, kategoria przeciwna do C Ob(C^{op}) = Ob(C), ∀ X, Y ∈ C, Hom_{C^{op}}(X, Y) = Hom_{C}(Y, X) (Zad. 2).

• Morfizm f : X → Y jest izomorfizmem, gdy istnieje g : Y → X taki, że: gf = id_{X}, fg = id_{Y}.

• Iso(C), szkielet kategorii C Ob(Iso(C)) to klasy izomorfizmu obiektów C, morfizmy to też odpowiednie klasy (Zad. 2).

• Kategorię C nazywamy szkieletowo małą, gdy Iso(C) jest mała. Kategorie skończonych (lub ograniczonej mocy) przestrzeni topologicznych, rozmaitości różniczkowych itp. nie są małe, ale są szkieletowe małe.

• Kategoria C jest podkategorią kategorii D, gdy Ob(C) jest podklasą Ob(D) i dla każdych X, Y ∈ C, Hom_{C}(X, Y) ⊆ Hom_{D}(X, Y).

• Podkategoria C jest podkategorią pełną kategorii D, gdy dla każdych X, Y ∈ C, Hom_{C}(X, Y) = Hom_{D}(X, Y).

Przykłady

• Ab to pełna podkategoria Grp .

• AfVar _{K} to podkategoria Def(K). Nie jest ona pełna.

• Top nie jest podkategorią Set .

• Niech Rel będzie kategorią, taką że Ob(Rel ) = Ob(Set ) i morfizmy to relacje. Set jest podkategorią Rel i nie jest ona pełna.

• Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni topologicznej X. Wtedy Top(U) jest pełną podkategorią Top(X).

Definicja obiektów początkowych i końcowych Niech C będzie kategorią. X ∈ C jest obiektem początkowym w C, gdy dla każdego Y ∈ C, | Hom(X, Y)| = 1. Definicja obiektu końcowego jest dualna, tzn. obiekt końcowy w C, to obiekt początkowy w C^{op}, tzn. | Hom(Y, X)| = 1.

∅ jest obiektem początkowym w Set , dowolny zbiór jednopunktowy jest obiektem końcowym w Set .

Funktory

Definicja Funktor (kowariantny) F z kategorii C w kategorię D (oznaczenie F : C → D) składa się z:

• Przyporządkowania

C ∋ X ↦ F (X) ∈ D

• Dla każdych X, Y ∈ C funkcji

Hom_{C}(X, Y) ∋ f ↦ F (f) ∈ Hom_{D}(F (X), F (Y)),

takich że F (fg) = F (f)F (g) (dla odpowiednich f, g).

Funktor kontrawariantny F (oznaczenie F : C^{op} → D), to funktor z kategorii przeciwnej do C w D, tzn F (fg) = F (g)F (f) (dla odpowiednich f, g).

Przykłady

1. Cat to kategoria małych kategorii, morfizmy to funktory (można je składać).

2. Funktory zapominania

Alg_{R} → Mod _{R}

An → Diff → Top → Set

AfVar _{K} → Top (Topologia Zariskiego)

AfVar _{ℂ} → Top (Topologia Euklidesowa)

Mówimy np., że rozmaitość gładka X jest rozmaitością zespoloną, gdy X jest izomorficzna F (Y) dla pewnej rozmaitości zespolonej Y i funktora zapominania F : An → Diff . Kategorię C nazywamy (nieformalnie na razie) konkretną, gdy istnieje funktor zapominania C → Set .

3. Funktory reprezentowalne.

Dla każdej kategorii C mamy funktor

Hom : C^{op} × C → Set .

Dla każdego X ∈ C mamy dwa funktory:

h_{X} : C → Set , h_{X}(Y) = Hom(X, Y)
h^{X} : C^{op} → Set , h^{X}(Y) = Hom(Y, X)

oba funktory na morfizmach działają przez składanie.

Niech F : Top → Toph , F_{∗} : Top_{∗} → Toph _{∗}. Wtedy dla każdego n naturalnego mamy

π_{n} : Top_{∗} → Set , π_{n} = h_{S^{n}} ∘ F_{∗}

funktor n-tej grupy podstawowej (S^{n} jest sferą n-wymiarową). Poźniej się okaże, że π_{1} : Top_{∗} → Grp i dla n > 1, π_{n} : Top_{∗} → Ab .

Dla algebraicznie domkniętego ciała K mamy funktor:

h^{K} : (AfVar _{K})^{op} → Alg_{K}, h^{K}(V) = Hom_{AfVar _{K}} (V, K)

h^{K}(V) oznacza się przez K[V] (pierścień funkcji regularnych).

4. Presnopy

Dla przestrzeni topologicznej X i kategorii C, funktor

F : Top(X)^{op} → C

nazywamy presnopem na X obiektów C. Np. jeśli C = Ab , to jest to presnop grup abelowych, jeśli C = Alg_{K}, to jest to presnop K-algebr. Dla tego typu presnopów do definicji dodaje się warunek F (∅) = 0. Niech U ⊆ V będzie parą zbiorów otwartych w X i F presnopem. Elementy F (U) zwą się cięciami F nad U. Dla s ∈ F (V) wartość morfizmu F (V) → F (U) na s oznacza się s|_{U} i mówi o obcięciu s do U.

Presnop F nazywamy snopem, gdy dla każdego U ∈ Top(X) i każdego pokrycia U = ⋃ _{i∈I} U_{i} wraz z wyborem s_{i} ∈ F (U_{i}) takim, że dla każdych i, j ∈ I, s_{i}|U_{ij} = s_{j}|U_{ij}, istnieje jedyny s ∈ F (U) taki, że dla wszystkich i ∈ I, s|U_{i} = s_{i}, Przykłady snopów (a) Dla X ∈ An mamy O_{X}^{an}, snop (ℂ-algebr) funkcji holomorficznych

(w ℂ).

(b) Dla X ∈ Diff mamy C_{X}^{∞} , snop (ℝ-algebr) funkcji gładkich (w ℝ)

(c) Dla X ∈ Top mamy C_{X}, snop (ℝ-algebr) funkcji ciągłych (w ℝ)

(d) Dla X ∈ AnfVar _{K} mamy O_{X}, snop (K-algebr) strukturalny: dla U ⊆ X otwartego w U, O_{X}(U) to zbiór funkcji wymiernych w K wszędzie określonych na U.

(e) Dla X ∈ Top i A ∈ Ab mamy A_{X}, snop stały: Dla każdego zbioru otwartego U, A_{X}(U) = A i funkcje obcięcia są stałe.

(f) Dla struktuktury M mamy S, presnop (przestrzeni topologicznych) typów zupełnych na M (M z topologią dyskretną). Dla A ⊆ M, S(A) to typy zupełne nad A; funkcje obcięcia, to obcięcia typów do mniejszych zbiorów parametrów.

Definicje Niech F : C → D będzie funktorem.

• F jest wierny, gdy jest ”1-1” na zbiorach morfizmów.

• F jest pełny, gdy jest ”na” na zbiorach morfizmów.

• F jest wiernie pełny, gdy jest wierny i pełny.

• Kategoria konkretna to para (C, F), gdzie F jest wiernym funktorem w Set .

Przykłady

1. Funktor włożenia podkategorii jest funktorem wiernym. Funktor włożenia pełnej podkategorii jest funktorem wiernie pełnym.

2. Funktor F : Top → Toph nie jest wierny, ale jest pełny.

3. Funktor h^{K} : (AfVar _{K})^{op} → Alg_{K} pierścienia funkcji regularnych jest wiernie pełny.

4. Funktory zapominania An → Diff → Top → Set (i inne) są wierne ale nie są pełne.