ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 9

1. Pokazać, że skończenie generowana grupa abelowa A jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy Ext_{ℤ}^{1}(A, ℤ) = 0. Dla dowolnych A powyższa równoważność jest niezależna od ZFC (Shelah).

2. Lemat Baera Niech Q będzie R-modułem. Pokazać, że Q jest injektywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ideału I ⊂ R każdy homomorfizm R-modułów β : I → Q rozszerza się do R.

3. Pokazać, że grupa abelowa A jest injektywnym ℤ-modułem wtedy i tylko wtedy, gdy A jest podzielna.

4. Pokazać, że w Ab jest dostatecznie wiele obiektów injektywnych.

5. Pokazać, że jeśli R jest S-algebrą, Q injektywnym S-modułem, to Hom_{S}(R, Q) jest injektywnym R-modułem.

6. Pokazać, że w Mod _{R} jest dostatecznie wiele obiektów injektywnych.

7. Dowieść, że ciąg G-modułów i homomorfizmów nazwany na wykładzie rezolwentą standardową jest wolną G-rezolwentą ℤ.

8. Niech t oznacza generator G = ℤ/n i N := 1 + t + ⋯+ t^{n−1} ∈ ℤG. Udowodnić, że poniższy ciąg G-modułów i G-homomorfizmów

… −−⟶^{·(t−1)} ℤG −−⟶^{·N} ℤG −−⟶^{·(t−1)} ℤG −−⟶^{t↦1} ℤ −−⟶ 0 .

jest dokładny.

9. Niech A będzie trywialnym ℤ/n-modułem. Dla każdego n obliczyć H_{n}(ℤ/n, A) i H^{n}(ℤ/n, A).

10. Niech A będzie ℤ/2-modułem, w którym nietrywialny element ℤ/2 działa jako mnożenie przez −1. Dla każdego n obliczyć H_{n}(ℤ/2, A) i H^{n}(ℤ/2, A).

11. Dla liczby naturalnej n, która nie jest podzielna przez 8 opisać wszystkie rozszerzenia ℤ/n przez ℤ/2 (tzn. ℤ/2 ma być ilorazem).

12. Udowodnić, że H^{1}(G, A) jest w bijekcji z klasami A-równoważnych rozszczepień rozszerzenia

1 → A → A ⋊ G → 1.