ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 6

1. Weźmy poset ℕ z relacją podzielności i system prosty w Ab

(ℤ/nℤ)_{n∈ℕ} , f_{nm} (x) = \frac{m}{n}x.

Pokazać, że

(a) \underrightarrow{lim}(ℤ/nℤ)_{n∈ℕ} ≅ ℚ/ℤ,

(b) \underrightarrow{lim}(ℤ/p^{n}ℤ)_{n∈ℕ} ≅ ℤ_{(p)}/ℤ, gdzie ℤ_{(p)} jest lokalizacją ℤ względem ideału pierwszego pℤ.

2. Pokazać, że w addytywnej kategorii C dla obiektów X_{1}, X_{2} obiekt Y jest sumą prostą X_{1}, X_{2} wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi dowolny z poniższych warunków:

(a) Y = X_{1} × X_{2}.

(b) Y = X_{1} ∐ X_{2}.

(c) Istnieją i_{1} : X_{1} → Y, i_{2} : X_{2} → Y, b_{1} : Y → X_{1}, b_{2} : Y → X_{2} takie, że b_{1}i_{1} = id_{X_{1}} , b_{2}i_{2} = id_{X_{2}} , b_{1}i_{1} + b_{2}i_{2} = id_{Y}.

3. Udowodniż, że w Ad-kategorii C i dla X ∈ C następujące warunki są równoważne

(a) X jest obiektem zerowym.

(b) X jest obiektem końcowym

(c) X jest obiektem początkowym.

(d) id_{X} jest elementem neutralnym w grupie abelowej Hom(X, X).

(e) Hom(X, X) = {0}.

4. Udowodnić, że funktor usnopienia + : Psh_{X} → Sh_{X} jest lewym dołączonym do funktora zapominania Sh_{X} → Psh_{X} i że w izomorfiźmie dołączenia dla dowolnego presnopa F, id_{F^{+}} odpowiada naturalnemu morfizmowi usnopienia F → F^{+} .

5. Udowodnić, że jeśli F : C → D jest lewo-dołączony do G : D → C, to istnieje morfizm funktorów f : id_{C} → GF taki, że dla każdego X ∈ C, f_{X} : X → GF (X) odpowiada id_{F (X)} poprzez izomorfizm dołączenia i że dla każdych X, Y ∈ C izomorfizm dołączenia pokrywa się z funkcją

Hom_{C}(F (X), Y) ∋ α ↦ G(α) ∘ f_{X} ∈ Hom_{C}(X, G(Y)).