ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 5

1. Niech I będzie dowolną kategoria, o której myślimy jako o kategorii indeksów, np. I to kategoria pochodząca od posetu. Udowodnić, że dla F : I → C , X = \underleftarrow{lim}F wtedy i tylko wtedy, gdy X reprezentuje funktor

C^{op} ∋ Y ↦ Hom_{Func(I,C)}(ΔY, F) ∈ Set ,

gdzie ΔY jest funktorem stałym: ΔY (i) = Y, ΔY (f) = id_{Y} dla każdego obiektu i w I i morfizmu f w I. Sformułować analogiczne twierdzenie dla granic prostych.

2. Dla pary morfizmów f, g : X → Y, ich equalizer (equalizator, wyrównywacz?), to \underleftarrow{lim}(f, g) a coequalizer (koequalizator, kowyrównywacz?), to \underrightarrow{lim}(f, g).

(a) Narysować diagramy definiujące equalizer i coequalizer poprzez własność uniwersalną.

(b) Znaleźć definicje jądra jako equalizera. Podobnie dla kojądra.

(c) Znależć equalizery i coequalizery w Set i Grp .

3. Niech I będzie kategorią jak w zadaniu 1. Załóżmy, że w C istnieją produkty (również nieskończone) indeksowane Ob(I) i equalizery. Niech F : I → C.

(a) Pokazać, że istnieje \underleftarrow{lim}F.

(b) Sformułować twierdzenie dualne.

(c) Podać przykłady kategorii w których istnieją granice proste lub odwrotne względem małych kategorii (np. posetów).

4. Pokazać, że w Mod _{R} granica systemu prostego (M_{i})_{i∈I} , to

\underrightarrow{lim}(M_{i})_{i∈I} = ⨁_{i∈I} M_{i}/⟨(w_{j}f_{ij} − w_{i})(M_{i})|∀i j⟩,

gdzie w_{i} : M_{i} → ⨁ _{i∈I} M_{i} jest włożeniem w sumę prostą. Granica systemu odwrotnego (M_{i})_{i∈I} , to

\underleftarrow{lim}(M_{i})_{i∈I} = \{(a_{i})_{i∈I} ∈ ∏_{i∈I} M_{i}|(∀i j)f_{ij} (a_{j}) = a_{i}\}.

Opisać granice systemów prostych i odwrotnych w Set i Ab .