ALGEBRA HOMOLOGICZNA, Lista 1

1. Uzupełnić definicję Toph z wykładu, to jest pokazać, że składanie funkcji ciągłych zachowuje relację homotopii.

2. Sformalizować definicje następujących kategorii: Top(X), Iso(C), C^{op}, produktu kategorii.

3. Udowodnić, że obiekty początkowe i końcowe są jedyne z dokładnością do izomorfizmu. Znaleźć obiekty początkowe i końcowe (jeśli istnieją) we wszystkich kategoriach, które pojawiły się na wykładzie.

4. Niech F będzie funktorem a f morfizmem. Pokazać, że:

(a) Jeśli f jest izomorfizmem, to F (f) jest izomorfizmem.

(b) Jeśli F jest wiernie pełny, to f jest izomorfizmem ⇔ F (f) jest izomorfizmem.

(c) Podać przykład wiernego funktora F i morfizmu f takiego, że F (f) jest izomorfizmem, ale f nie jest izomorfizmem.

(d) Podać przykład pełnego funktora F i morfizmu f takiego, że F (f) jest izomorfizmem, ale f nie jest izomorfizmem.

5. Podać przykład funcktora F : Grp → Grp takiego, że dla każdego G ∈ Grp , F (G) = G i F nie jest funktorem identycznościowym.

6. Podać przykład presnopa grup abelowych, który nie jest snopem.

7. Niech (P, <) będzie częściowym porządkiem (posetem) i C będzie kategorią, w której Ob(C) = P a morfizmy pochodzą od porządku < (sformalizować!). Pokazać, że:

(a) Kategoria Top(X) jest szczególnym przypadkiem powyższej konstrukcji.

(b) Istnieje funktor F z kategorii posetów (zdefiniować tę kategorię!) do Top , taki że C odpowiada Top(F (P)).

(c) Dla dwóch posetów P, P′ i odpowiadających im kategorii C, C′ funktory pomiędzy C i C′odpowiadają funkcjom pomiędzy P i P′, które zachowują porządek.

8. Czy presnop typów zupełnych jest snopem?