Mapa wykładu

W trakcie wykładu będziemy uogólniać pojęcia znane z Analizy 1,2,3.

Naszym punktem odniesienia zawsze będzie klasyczny obiekt rozważań analitycznych - przestrzenie euklidesowe, na czele z prostrą i płaszczyzną. Przestrzenie te to nie tylko suche zbiory punktów. Są one zaopatrzone w różne struktury. W trakcie wykładu będziemy je badać i przeniesiemy je na inne zbiory. Pozwoli nam to stosować aparat poznany na Analizach do badania innych obiektów, a także spojrzeć na niektóre fakty poznane dotychczas na studiach z pewnego dystansu.

  1. TOPOLOGIA.

    • przestrzenie euklidesowe - struktura topologiczna

      • Rozpoczynamy od struktury związanej z pojęciem odległości. W przestrzeniach euklidesowych umiemy mierzyć odległość w naturalny, intuicyjny sposób. Zapoznaliśmy się z podstawowymi pojęciami topologicznymi takimi, jak kula, zbiór otwarty, domknięty, wnętrze, domknięcie, zbiór gęsty, brzegowy. Przyjrzeliśmy się różnym przykładom tych zbiorów (i operacji) w przestrzeniach euklidesowych.

    • abstrakcyjne przestrzenie metryczne

      • Pojęcie odległości jest użyteczne (pozwala np. na mówienie o zbieżności ciągów) i wygodnie byłoby nim dysponować w różnych sytuacjach (nie tylko dla przestrzeni euklidesowych). Co więcej, nawet na prostej czy płaszczyźnie można rozważać inne, bardziej lub mniej sensowne, sposoby mierzenia odległości. Dlatego potrzebujemy jakiegoś bardziej abstrakcyjnego pojęcia odległości. Zastanowiając się nad tym, w czym tkwi esencja tego pojęcia doszliśmy do formalnej definicji metryki. W ten sposób otrzymaliśmy to, czego chcieliśmy: uogólnienie przestrzeni euklidesowych (w kontekście ich struktury związanej z mierzeniem odległościi między punktami).

        Przestrzeń metryczna
        =
        zbiór + metryka
        =
        zbiór + "sposób mierzenia odległości w tym zbiorze".

        Wszystkie pojęcia, które poznaliśmy na pierwszym wykładzie, mają sens w odniesieniu do dowolnej przestrzeni metrycznej. Prawdziwe są też (w tym szerszym, metrycznym, kontekście) wszystkie dowiedzione wcześniej fakty (poza charakteryzacją zbiorów zwartych w przestrzeniach euklidesowych, która zachodzi tylko w przestrzeniach euklidesowych).

      • Poznajemy różne przykłady przestrzeni metrycznych. Przekonaliśmy się, że na jednym zbiorze można określać różne metryki (vide: płaszczyzna z metryką euklidesową, miasta, rzeki i centrum). Zobaczyliśmy, że zmiana metryki może zmienić wygląd kul, zbiorów otwartych, zbieżność ciągów itd.

        Z drugiej strony tę samą (a ściśle: prawie tę samą) metrykę możemy rozważać na różnych zbiorach (pojęcie podprzestrzeni). Rozważyliśmy metryki na bardzo różnych zbiorach (C[0,1], ciągi zerojedynkowe, zbiór studentów WRAiT). Poznajemy też zupełne kuriozum: metrykę dyskretną.

      • Przykład przestrzeni dyskretnej pokazuje, że przestrzenie metryczne mogą być dzikie. Przy badaniu takich dzikich przestrzeni nasze euklidesowe intuicje mogą nas zgubić. Klasa przestrzeni euklidesowych jest zbyt wąska, klasa przestrzeni metrycznych dla niektórych celów okazuje się zbyt szeroka. Dlatego rozważamy pewne własności, które wyodrębniają nam te porządniejsze (pod tym lub pod innym względem) przestrzenie metryczne.

    • niektóre własności niektórych przestrzeni metrycznych:

      • Poznajemy na razie dwie takie własności: ośrodkowość i zupełność. Są to własności przestrzeni euklidesowych, które niekoniecznie muszą być podzielane przez wszystkie przestrzenie metryczne. Po co rozważać takie własności? Otóż często pewne zdania są prawdziwe między innymi dla przestrzeni euklidesowych a nieprawdziwe dla abstrakcyjnych przestrzeni metrycznych. Stąd mnóstwo twierdzeń, które rozpoczynają się słowami "Niech X będzie ośrodkową przestrzenią metryczną ... " itp.

      • I oto poznajemy pierwsze twierdzenie tego typu: twierdzenie Baire'a. Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń w matematyce i ma mnóstwo zastosowań. Zachodzi w przestrzeniach euklidesowych. Nie zachodzi w ogólności dla wszystkich przestrzeni metrycznych (np. dla liczb wymiernych z metryką euklidesową). Jest jednak mnóstwo przestrzeni nie-euklidesowych, dla których to twierdzenie zachodzi i dla których ma ono zastosowanie.

      • Kolejną poznaną przez nas własnością jest zwartość. Różni się ona od poprzednich tym, że przestrzenie euklidesowe akurat zwarte nie są. Zwartość jest bardzo silna - implikuje i ośrodkowość i zupełność.

    • funkcje ciągłe na przestrzeniach metrycznych:

      • Funkcje ciągłe są kolejnymi, po ciągach zbieżnych, klasycznymi obiektami analizy, którymi będziemy się zajmować. Na początku dowodzimy, że o ciągłości możemy myśleć na 3 różne sposoby: sposób Cauchy'ego, Heinego i "topologiczny". Ten ostatni jest najprostszy do wyrażenia, ale mniej intuicyjny niż np. definicja Cauchy'ego.

      • Wprowadzamy pojęcie homeomorfizmu. To kluczowe pojęcie dla topologii. Przestrzenie homeomorficzne są od siebie nieodróżnialne topologicznie (tak, jak np. w algebrze przestrzenie izomorficzne są nieodróżnialne algebraicznie).

      • Pokazaliśmy, że funkcje ciągłe zachowują własności topologiczne: ośrodkowość, zwartość, spójność (z zupełnością sprawa jest nieco bardziej skomplikowana). Jeśli więc dwie przestrzenie są homeomorficzne i jedna z nich posiada którąś z powyższych wartości, musi ją posiadać i druga. Przy okazji okazuje się, że twierdzenie o zachowywaniu zwartości przez funkcje ciągłe jest uogólnieniem twierdzenia Weierstrassa, a o zachowywaniu spójności - twierdzenia Darboux. Znajomość spójności i metryzowalności w sposób zupełny nie są wymagane, podobnie jak umiejętność wpisywania krowy w kwadrat (konwersatorium).

      • A oto kolejne po twierdzeniu Baire'a ważne narzędzie pracujące w przestrzeniach zupełnych: twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.

    • na deser: zbiór Cantora.

      • Próbujemy przekonać się, że w zbiorze Cantora leży coś więcej niż tylko końce przedziałów, które wyrzucamy z odcinka w trakcie konstrukcji. Poznajemy przestrzeń Cantora jako podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej, dowodzimy, że jest ona homeomorficzna z przestrzenią ciągów zerojedynkowych (ze standardową metryką). Dowiadujemy się, że każda przestrzeń zwarta (metryczna) jest obrazem Cantora przez funkcją ciągłą. To ostatnie twierdzenie sprawia, że zbiór Cantora jest jednym z najważniejszych obiektów w topologii, chociaż na pozór wydaje się dziwaczny.


  2. PRZESTRZENIE FUNKCJI CIĄGŁYCH

    • podstawy

      • Trzeba sobie na początku dobrze zdać sprawę z tego, jak wyglądają w C[0,1] kule, co oznacza w tej przestrzeni zbieżność ciągu (że jest to po prostu zbieżność jednostajna, którą znamy z analizy). Dowodzimy twierdzenia, mówiącego że C[0,1] jest przestrzenią zupełną.

    • warunki silniejsze niż ciągłość + zastosowania

      • Przypominamy sobie różne rodzaje ciągłości: ciągłość jednostajną, warunek Lipschitza. Mamy od razu nowe twierdzenie o przestrzeniach zwartych do kolekcji: funkcje ciągłe na przestrzeniach zwartych są jednostajnie ciągłe.

      • Zauważamy, że jeśli funkcja ma pochodną w punkcie, to musi w tym punkcie spełniać warunek Lipschitza. Wykorzystujemy ten fakt do pokazania, że istnieje funkcja ciągła, która nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Jest to jeden z (wielu) przykładów nieoczekiwanego zastosowania twierdzenia Baire'a.

      • Inne ciekawe zastosowanie innego twierdzenia, które niedawno poznaliśmy, to twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności równania różniczkowego. Tym razem pracuje dla nas twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym.

    • twierdzenie aproksymacjne Weierstrassa

      • Omawianie topologii przestrzeni funkcyjnych kończymy sławnym twierdzeniem aproksymacyjnym Weierstrassa (nie przedstawiając jego pełnego dowodu). Twierdzenie to mówi nam, że funkcje ciągłe (na [0,1]) można jednostajnie przybliżać wielomianami. Wielomiany są to (w pewnym sensie) najprostsze funkcje ciągłe (każdy wielomian można opisać "paroma" liczbami rzeczywistymi). Natomiast funkcje ciągłe mogą być dość skomplikowane (tak, jak np. funkcje ciągłe nie różniczkowalne w żadnym punkcie). Tw. Weierstrassa mówni nam, że mimo to dowolnie blisko każdej funkcji ciągłej możemy znaleźć jakiś wielomian. Dzięki temu czasami wystarczy wiedzieć, że jakiś fakt zachodzi w prostym przypadku, dla wielomianów, żeby wnioskować, że zachodzi dla wszyskich funkcji ciągłych.

      • Z tw. Weiestrassa wnioskujemy, że C[0,1] jest ośrodkowa (zbiorem gęstym przeliczalnym jest rodzina wielomianów o współczynnikach wymiernych). A więc C[0,1] jest przestrzenią zupełną, ośrodkową, nie zwartą.

  3. PRZESTRZENIE HILBERTA I BANACHA

    • przestrzenie unormowane

      • Powróćmy na chwilę do przestrzeni euklidesowych. Na początku semestru wyszliśmy od nich, by przenieść pojęcie odległości między punktami (metrykę) na dowolne zbiory. Okazało się, że jeśli tylko wiemy, jak mierzyć odległość na danym zbiorze, możemy rozważać kule, zbieżność ciągów i ciągłość funkcji. To dużo, ale nie wszystko. Pomyślmy o szeregach. Mając do dyspozycji jedynie zbiór z metryką, możemy myśleć o zbieżności ciągu, ale już nie szeregu. Żeby móc myśleć o szeregach, musimy umieć dodawać elementy naszej przestrzeni. A więc potrzebujemy struktury algebraicznej - takiej jak przestrzeń liniowa.

      • Od teraz rozważamy więc przestrzenie liniowe. Ponieważ elementami przestrzeni liniowych są raczej wektory niż punkty, wprowadzamy pojęcie normy. Norma to coś podobnego do metryki - uogólnia długość wektora (tak jak metryka uogólniała odległość między punktami). Nic dziwnego więc, że każda przestrzeń unormowana (a więc przestrzeń liniowa + norma) jest przestrzenią metryczną. Nie każda jednak przestrzeń metryczna jest unormowana. Po pierwsze - potrzebujemy, aby była ona przestrzenią liniową. Po drugie - nawet w tym wypadku, metryka musi być zgodna z działaniami dodawania i mnożenia przez skalar.

      • Jednym z pojęć, które znamy z analizy, a które można rozważać na wszystkich przestrzeniach unormowanych, jest wypukłość.

    • szeregi w przestrzeniach Banacha

      • Przestrzeń Banacha to po prostu zupełna przestrzeń unormowana. Mieliśmy już okazję się przekonać, że przestrzenie zupełne pełnią ważną rolę w topologii. Podobnie jest i tutaj.

      • Szereg jest to jeden z dobrze (?) nam znanych obiektów, którego nie mogliśmy rozważać w przestrzeniach metrycznych bez dodatkowych struktur (w przeciwieństwie np. do ciągów). Jeśli jesteśmy w przestrzeni unormowanej, to umiemy dodawać wektory (bo jesteśmy w przestrzeni liniowej) i umiemy liczyć granice sum częściowych (bo mamy normę -> metrykę). A tym są właśnie szeregi.

      • Koncentrujemy się na szeregach funkcyjnych. Szereg funkcyjny jest zbieżny, jeśli jest zbieżny jednostajnie. Aby sprawdzić zbieżność danego szeregu, najpierw ustalamy jego obszar zbieżności, a więc tę część dziedziny, gdzie jest on w ogóle zbieżny punktowo. Aby ustalić, czy na owej części dziedziny zachodzi zbieżność jednostajna, używamy twierdzenia mówiącego, że w przestrzeniach Banacha zbieżność jednostajna jest pociągana przez zbieżność bezwzględną.

      • Jeśli szereg funkcyjny jest zbieżny (jednostajnie), to jego sumą jest oczywiście funkcja ciągła. Ten fakt zachodzi również dla zbieżności niemal jednostajnej. Aby więc szereg określał funkcję ciągłą wystarczy, aby był zbieżny jednostajnie dla każdego zwartego przedziału. Ponieważ szeregi potęgowe są niemal jednostajne w swoim otwartym przedziale zbieżności, to definiują tam one funkcję ciągłą.

      • Jeśli chcemy taką funkcję ciągłą (zdefiniowaną za pomocą szeregu funkcyjnego) różniczkować lub całkować czasami możemy robić to wyraz za wyrazem.

    • iloczyn skalarny

      • Umiemy już rozważać ciągi, szeregi i inne obiekty matematyczne poza prosta. W przestrzeniach euklidesowych często posługujemy się jeszcze pojęciem kąta między wektorami. Szczególnie przydatne jest pojęcie prostopadłości wektorów. Nie da się mówić o tych pojęciach mając do dyspozycji jedynie normę i działania algebraiczne. Dlatego pojawia się tu nowy bohater naszej opowieści - iloczyn skalarny.

      • Przestrzeń unormowana, w której określony jest iloczyn skalarny zgodny z normą nazywamy przestrzenią unitarną. Przykładem przestrzeni unitarnych są oczywiście przestrzenie euklidesowe, C[0,1] z drugą normą całkową i przestrzeń l2 - ciągów sumowalnych z kwadratem. Uwaga - C[0,1] z normą supremum NIE JEST przestrzenią unitarną. Żaden iloczyn skalarny, który w niej określimy (np. ten, który działał przy C[0,1] z drugą normą całkową), nie będzie zgodny z normą supremum. Przestrzeń Hilberta to zupełna przestrzeń unitarna (a więc przestrzeń Banacha z iloczynem skalarnym).

      • Podstawowe fakty zachodzące w przestrzeniach unitarnych: nierówność Schwartza, równość równoległoboku, tw. Pitagorasa.



  4. CAŁKA RIEMANNA

    • Na wykładzie omówiliśmy parę zagadnień związanych z całką Riemanna. Skupiliśmy się nie tyle na stronie rachunkowej (tę większość z Was dobrze zna), co na ideach. Uczeń szkoły średniej umie rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą delty. Student pierwszego roku powinien rozumieć, skąd się ta delta bierze. Podobnie: student pierwszego roku umie liczyć całki takie, siakie i owakie, a Wy powinniście rozumieć następujące zagadnienia:
      • co funkcje pierwotne mają wspólnego z polem pod wykresem;
      • co to znaczy całkowalność funkcji;
      • dlaczego możemy zamieniać całki wielokrotne na iterowane, czyli jak zobaczyć twierdzenie Fubiniego na rysunku;
      • jak liczyć długości krzywych i dlaczego nie można ich przybliżać zygzakami;
      • skąd się bierze Jakobian i co to jest.


  5. MIARA i CAŁKA LEBESGUE'A

    • miara jako uogólnienia pojęcia długości

      • Analizując przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna (tej, która na wymiernych punktach odcinka [0,1] przyjmuje 0, a na niewymiernych 1), stwierdziliśmy, że to, że nie umiemy policzyć tej całki wynika z tego, że nie umiemy policzyć "długości" zbioru liczb niewymiernych na odcinku (całka wyrażałaby pole pod wykresem naszej funkcji, a więc byłaby iloczynem jedności i długości tego zbioru). Naszym celem jest więc uogólnienie pojęcia długości z przedziałów (ich długości umiemy mierzyć) na bardziej skomplikowane zbiory.

      • Określiliśmy, jakie warunki powinna spełniać taka uogólniona funkcja mierząca zbiory - miara: miara zbioru pustego powinna być zerowa, a miara rozłącznej sumy przeliczalnie wielu zbiorów powinna być sumą miar owych zbiorów. Niestety pewnym problemem jest to, na czym określić tę funkcję: okazuje się, że nie można tego zrobić na wszystkich podzbiorach prostej. Musimy wybrać jakąś rodzinę podzbiorów prostej, która z jednej strony zawierałaby tylko porządne zbiory (cokolwiek to znaczy), a z drugiej była możliwie szeroka.

      • Rozsądnie byłoby zgodzić się z następuącymi postulatami:
        • przedziały (otwarte) są porządne;
        • jeśli dany zbiór jest porządny, to jego dopełnienie też;
        • przeliczalna suma porządnych zbiorów jest porządna.
        Najmniejsza rodzina podzbiorów prostej, która spełnia te postulaty nazywana jest rodziną zbiorów borelowskich. Umówimy się, że będziemy próbowali mierzyć tylko i wyłącznie zbiory borelowskie. Na szczęście jest to na tyle szeroka rodzina, że trudno znaleźć zbiór, który borelowski nie jest.

      • Ogólnie: miara jest to funkcja spełniająca dwa wymienione wyżej warunki określona na pewnym sigma-ciele. Przestrzeń miarowa, to trójka: zbiór, wyróżnione sigma-ciało jego podzbiorów, które będziemy mierzyć i miara określona na tym sigma-ciele.

      • miara Lebesgue'a po prostu szczególnym przypadkiem miary - zresztą najważniejszym. Miara Lebesgue'a mierzy (borelowskie) podzbiory prostej (ale analogicznie można ją definiować na każdej przestrzeni euklidesowej). Ma ona intuicyjną definicję i szereg zalet. M.in. mierzy przedziały tak, jak powinna, jest niezmiennicza na przesunięcia, itd.

    • całka Lebesgue'a

      • Wracając do naszego przykładu funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna: kiedy wiemy już, jaka jest miara zbióru liczb niewymiernych, może przymierzyć się do określenia, ile powinna wynosić całka po tej funkcji. Jeśli całka ma wyrażać intuicje pola pod wykresem, to w tym przypadku powinna wynosić 1.

      • Podobnie dla każdej innej tego typu funkcji (a więc dla tzw. funkcji charakterystycznych) - o ile zdefiniowane są one przy pomocy zbioru borelowskiego, umiemy policzyć z nich całkę w ten sposób (tak naprawdę my w tej chwili definiujemy właśnie tę całkę jako miarę zbioru, który służy do zdefiniowania rozważanej funkcji charakterystycznej).

      • Równie intuicyjnie potrafimy zdefiniować całkę dla trochę bardziej skomplikowanych (ale wciąż prostych) funkcji będących skończonymi kombinacjami liniowymi funkcji charakterystycznych.

      • Kontynując tę wieloetapową definicję dochodzimy w końcu do funkcji borelowskich: okazuje się, że funkcje borelowskie możemy przybliżać punktowo funkcjami prostymi. Dzięki temu umiemy zdefiniować całkę z każdej funkcji borelowskiej, za pomocą całek funkcji prostych.

      • Zdefiniowana w ten sposób, przy pomocy miary Lebesgue'a, całka jest mądrzejsza od całki Riemanna: umie całkować wszystkie funkcje, która umiała całka Riemanna (dając te same wyniki) i dużo więcej (na czele z naszą osławioną już funkcją charakterystyczną liczb niewymiernych na odcinku). Poza tym ma szereg innych porządnych własności. O niektórych mówiliśmy na wykładzie.

    • Miara, całka a rachunek prawdopodobieństwa.

      • Miara jest nie tylko uogólnieniem pojęcia długości, ale może przede wszystkich formalizacją pojęcia prawdopodobieństwa. Już definicja przestrzeni miarowej powinna nasunąć skojarzenia: X jest zbiorem zdarzeń elementarnych, sigma-cialo to zdarzenia losowej, a miara to wlasnie prawdopodobienstwo (w takim ujeciu warto zalozyc, że miara calego X wynosi 1).

      • Wszystkie pojęcia, które znacie z rachunku prawdopodobieństwa można sformalizować w ten właśnie sposób: zmienna losowa to funkcja mierzalna z X w prostą rzeczywistą. Calka z f po X wzgledem miary P to po prostu wartosc oczekiwana (tak wiec abstrakcyjne miary i calki po tych miarach wcale nie sa jakims specjalnym kuriozum, to po prostu wartosci oczekiwane). Rozklad zmiennej losowej to miara na R, ktora mierzy podzbiory borelowskie tak jak miara P mierzy ich przeciwobrazy. W koncu: gestosc to pewna funkcja borelowska, ktora umozliwa zdefiniowanie rozkladu jako calki wzgledem miary Lebesgue'a.