15. O teorii mnogości

Zbiory były podstawowymi obiektami w całym dotychczasowym wykładzie. Czytelnik zauważył być może, że w trakcie wykładu często w sposób niejawny zakładaliśmy istnienie pewnych zbiorów czy wykonalność określonych operacji na zbiorach. Pod koniec zmuszeni byliśmy odwoływać się do bardziej zaawansowanych własności zbiorów. Dla wygody zainteresowanego czytelnika w tym rozdziale naszkicujemy aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru. Teorię tę oznacza się skrótem ZFC. Zachęcamy też czytelnika do sięgnięcia do bardziej systematycznego wprowadzenia do tej teorii.

Na początku przyjmujemy upraszczające założenie, że wszystkie rozważane obiekty to zbiory. Okazuje się, że pomimo tego założenia zbiorów jest nadal wystarczająco dużo, by przy ich pomocy zinterpretować wszystkie pojęcia matematyczne.

Aksjomaty są dwóch rodzajów. Aksjomaty pierwszego rodzaju opisują własności zbiorów. Należą tu aksjomaty ekstensjonalności i regularności oraz aksjomaty postulujące istnienie określonych zbiorów: aksjomat nieskończoności i pewnik wyboru. Aksjomaty drugiego rodzaju gwarantują wykonalność pewnych operacji na zbiorach. Należą tu aksjomaty pary, zbioru potęgowego, sumy i zastępowania (wraz ze szczególnym przypadkiem: aksjomatem wyróżniania). Poniżej podajemy te aksjomaty w wersji potocznej i symbolicznej.

Aksjomat ekstensjonalności

Dwa zbiory są równe, gdy mają te same elementy.

$$\forall x,y(x=y\Leftrightarrow\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y))$$

Aksjomat pary

Dla każdych $x,y$ istnieje zbiór $\{x,y\}$.

$$(\forall x,y)\exists z\forall v(v\in z\Leftrightarrow v=x\lor v=y)$$

Aksjomat zbioru potęgowego

Dla każdego zbioru $x$ istnieje zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $x$.

$$\forall x\exists y\forall v(v\in y\Leftrightarrow v\subseteq x),$$

gdzie $v\subseteq x$ jest skrótem dla: $\forall t(t\in v\Rightarrow t\in x)$.

Aksjomat sumy

Dla każdej rodziny zbiorów istnieje suma tej rodziny.

$$\forall x\exists y\forall t(t\in y\Leftrightarrow\exists v(t\in v\land v\in x))$$

Aksjomat zastępowania

Jeśli $\varphi(x,y),x\in X$ jest funkcją zdaniową taką, że dla każdego $x\in X$ istnieje jedyne $y$ takie, że $\varphi(x,y)$, to istnieje zbiór $\{y:(\exists x\in X)\varphi(x,y)\}$. (Innymi słowy, funkcja zdaniowa $\varphi(x,y)$ definiuje funkcję.)

$$\forall x\exists y(\varphi(x,y)\land\forall z(\varphi(x,z)\Rightarrow y=z))\Rightarrow$$

$$\forall x\exists y\forall t(t\in y\Leftrightarrow\exists v(v\in x\land\varphi(v,t)))$$

Aksjomat wyróżniania

Jeśli $\varphi(x),x\in X$ jest funkcją zdaniową, to istnieje zbiór $\{t\in X:\varphi(t)\}$. (Ten aksjomat wynika z aksjomatu zastępowania.)

$$\forall x\exists y\forall t(t\in y\Leftrightarrow t\in x\land\varphi(t))$$

Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór nieskończony. Dokładniej, istnieje zbiór niepusty $X$ taki, że $\emptyset\in X$ i dla każdego $x\in X$ również $x\cup\{x\}\in X$. Tu istnienie zbioru $x\cup\{x\}$ wynika z aksjomatów sumy i pary. W częściowo sformalizowanej postaci możemy ten aksjomat zapisać następująco:

$$\exists x(\emptyset\in x\land\forall t(t\in x\Rightarrow t\cup\{t\}\in x))$$

Jest to również jedyny aksjomat postulujący bezwarunkowe istnienie jakiegoś zbioru. Z jego sformułowania można usunąć pojęcie zbioru pustego, wprowadzając dodatkowo pojęcie zbioru tranzytywnego.

Aksjomat regularności

Każdy zbiór niepusty $x$ ma element $\in$-minimalny.

$$\forall x(x\neq\emptyset\Rightarrow(\exists y\in x)\forall z\neg(z\in x\land z\in y))$$

Pewnik wyboru

Każda rodzina zbiorów niepustych posiada funkcję wyboru.

$$\forall x((\forall y,z\in x)(y\cap z=\emptyset)\Rightarrow\exists v(\forall y\in x)(\vert v\cap y\vert=1))$$