8. Diagonalizacja

W tym rozdziale poznamy praktyczne metody diagonalizacji macierzy. Zakładamy, że $V$ jest przestrzenią liniową wymiaru skończonego oraz $F$ jest endomorfizmem $V$. Będziemy się starali rozstrzygnąć, czy istnieje baza przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych $F$ (tzn. równoważnie czy $F$ jest diagonalizowalne). Podamy proste kryterium diagonalizowalności. Naszą analizę endomorfizmu $F$ rozpoczniemy od zdefiniowania pewnych niezmienników przekształcenia $F$.

Definicja 8.1   Wyznacznikiem endomorfizmu $F$ nazywamy liczbę $\det(F)=\det(m_{{\cal B}{\cal B}}(F))$ dla dowolnej bazy ${\cal B}$ przestrzeni $V$.

Następujący fakt pokazuje, że wyznacznik $F$ nie zależy od wyboru bazy ${\cal B}$ i w tym właśnie sensie jest niezmiennikiem endomorfizmu $F$.

Fakt 8.2   $\det(F)$ nie zależy od wyboru bazy ${\cal B}$.

Dowód. Załóżmy, że ${\cal C}$ jest inną bazą $V$. Wówczas na mocy uwagi 6.6,

$$m_{{\cal C}{\cal C}}(F)=m_{{\cal B}{\cal C}}(id)m_{{\cal B}{\cal B}}(F)m_{{\cal C}{\cal B}}(id).$$

Z wniosku 5.12 dostajemy

$$\det\left(m_{{\cal C}{\cal C}}(F)\right)=\det\left(m_{{\cal B... ...B}{\cal B}}(F)\right)\det\left(m_{{\cal C}{\cal B}}(id)\right).$$

Na mocy uwagi 6.5 macierze $m_{{\cal B}{\cal C}}(id)$ i $m_{{\cal C}{\cal B}}(id)$ są wzajemnie odwrotne, ich iloczyn jest macierzą jednostkową o wyznaczniku $1$, więc wyznaczniki tych macierzy też są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Dlatego $\det\left(m_{{\cal C}{\cal C}}(F)\right)=\det\left(m_{{\cal B}{\cal B}}(F)\right)$.

Na mocy twierdzenia 5.13 i uwagi 4.7 dostajemy

Wniosek 8.3   $F$ jest odwracalne $\iff\det(F)\neq 0$.

Widzimy więc, że przy pomocy niezmienników $F$ potrafimy rozstrzygać różne kwestie dotyczące $F$. Innym niezmiennikiem $F$ jest tak zwany ślad $Tr(F)$, który definiujemy jako sumę wyrazów na głównej przekątnej w macierzy $m_{{\cal B}{\cal B}}(F)$. Podobnie definiujemy ślad macierzy kwadratowej.

Dla zbadania diagonalizowalności $F$ musimy się nauczyć znajdować wartości własne $F$.

Uwaga 8.4   1) $\lambda$ jest wartością własną $F\iff\det(F-\lambda\cdot id)=0$.
2) $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A\iff\det(A-\lambda I)=0$.

Dowód. 1) $\Rightarrow.$ Wybierzmy pewien niezerowy wektor $v_0\in V$ taki, że $F(v_0)=\lambda v_0$. Innymi słowy, przekształcenia liniowe $F$ i $\lambda\cdot id$ mają tę samą wartość dla wektora $v_0$, czyli

$$(F-\lambda\cdot id)(v_0)=0.$$

Znaczy to, że $v_0\in Ker(F-\lambda\cdot id)$, więc w szczególności $Ker(F-\lambda\cdot id)\neq\{O\}$. Na mocy twierdzenia 4.10, $F-\lambda\cdot id$ nie jest 1-1, nie jest więc odwracalne. Zgodnie z wnioskiem 8.3, $\det(F-\lambda\cdot id)=0$.

$\Leftarrow.$ Jeśli $\det(F-\lambda\cdot id)=0$, to $F$ nie jest odwracalne (wniosek 8.3), więc $F-\lambda\cdot id$ nie jest 1-1 (wniosek 4.13). Na mocy twierdzenia 4.10, $Ker(F-\lambda\cdot id)\neq\{O\}$. Dowolny niezerowy wektor w tym jądrze jest wektorem własnym $F$ dla wartości własnej $\lambda$.

2) pozostawiamy jako ćwiczenie.

Niech $A=[a_{ij}]$ będzie macierzą wymiaru $n\times n$. Potraktujmy $\lambda$ w wyznaczniku $\det(A-\lambda I)$ jako zmienną przebiegającą zbiór liczb rzeczywistych. Macierz $A-\lambda I$ powstaje z macierzy $A$ przez odjęcie $\lambda$ od wyrazów na głównej przekątnej.

$$A-\lambda I=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}-\lambda&\mbox{}&\... ...s&\mbox{}\\ A&\mbox{}&\mbox{}&a_{nn}-\lambda\end{array}\right]$$

Obliczając wyznacznik $\det(A-\lambda I)$ zgodnie ze wzorem 5.11$(\dagger)$ otrzymujemy wyrażenie, które jest wielomianem zmiennej $\lambda$. Przyjmujemy następującą definicję.

Definicja 8.5   1) Wielomian $\varphi_A(X)=\det(A-XI)$ nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy $A$.
2) Wielomian $\varphi_A(X)$, gdzie $A$ jest macierzą $F$ w pewnej bazie ${\cal B}$, nazywamy wielomianem charakterystycznym przekształcenia $F$, oznaczamy go przez $\varphi_F(X)$.

Zwróćmy uwagę, że wielomian $\varphi_A(X)$ ma stopień $n$, dokładniej $\varphi_A(X)=(-1)^nX^n+$ składniki niższych stopni. Zauważmy, że wyraz wolny wielomianu $\varphi_A(X)$ to wyznacznik macierzy $A$, zaś wyraz stojący przy $X^{n-1}$ to $(-1)^{n-1}\cdot$ ślad macierzy $A$. Dla obliczania wielomianu charakterystycznego macierzy wymiaru $>3\times 3$ wygodnie jest stosować rozwinięcie Laplace'a (twierdzenie 6.1). Na przykład wielomian charakterystyczny macierzy

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&1&0\\ 2&1&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&2\end{array}\right]$$

obliczamy stosując rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny.

$$\varphi_A(X)=\det\left[\begin{array}{cccc}1-X&2&1&0\\ 2&1-X&0&1\\ 0&0&1-X&0\\ 0&1&0&2-X\end{array}\right]=$$

$$(-1)^{1+1}(1-X)\cdot\det\left[\begin{array}{ccc}1-X&0&1 0&1-X&0\\ 1&0&2-X\end{array}\right]+$$

$$(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot\det\left[\begin{array}{ccc}2&1&0 0&1-X&0 1&0&2-X\end{array}\right]=\cdots$$

Uwaga 8.6   1) Wielomian $\varphi_F(X)$ nie zależy od wyboru bazy ${\cal B}$.
2) Dla każdego $\lambda\in {\mathbb{R}}, \varphi_F(\lambda)=\det(F-\lambda\cdot id)$.
3) $\lambda$ jest wartością własną $F\iff \varphi_F(\lambda)=0$.
3') $\lambda$ jest wartością własną macierzy $A\iff \varphi_A(\lambda)=0$.

Dowód. 1) Niech $A=m_{{\cal B}{\cal B}}(F)$. Załóżmy, że ${\cal C}\subset V$ jest inną bazą i $B=m_{{\cal C}{\cal C}}(F)$. Wówczas na mocy uwagi 6.6, $B=CAC^{-1}$, gdzie $C=m_{{\cal C}{\cal B}}(id)$. Korzystając z twierdzenia Cauchy'ego (wniosek 5.12) i rozdzielności mnożenia macierzy względem dodawania macierzy dostajemy

$$\varphi_A(X)=\det(A-XI)=\det(C(A-XI)C^{-1})=$$

$$\det(CAC^{-1}-X(CIC^{-1}))=\det(B-XI)=\varphi_B(X).$$

(2)

$$\det(F-\lambda\cdot id)=\det(m_{{\cal B}{\cal B}}(F-\lambda\cdot id))=\det(m_{{\cal B}}(F)-\lambda m_{{\cal B}}(id))=$$

$$\det(A-\lambda I)=\varphi_A(\lambda)=\varphi_F(\lambda),$$

gdzie $A=m_{{\cal B}}(F)$.

(3), (3') wynikają z (2).

Wniosek 8.7   Współczynniki wielomianu charakterystycznego $\varphi_F(X)$ nie zależą od wyboru bazy.

Wniosek 8.8   Jeśli $\dim(V)=n$, to $F$ ma $\leq n$ różnych wartości własnych. Macierz wymiaru $n\times n$ ma $\leq n$ różnych wartości własnych.

Dowód. Wartości własne to pierwiastki wielomianu charakterystycznego. W naszym przypadku jest to wielomian stopnia $n$. Wielomian stopnia $n$ ma $\leq n$ różnych pierwiastków.

Załóżmy, że $\lambda$ jest wartością własną $F$, czyli pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego $\varphi_F(X)$. Wówczas wielomian ten możemy przedstawić w postaci $\varphi_F(X)=(\lambda-X)^tW(X)$ dla pewnego wielomianu $W(X)$ i pewnej liczby naturalnej $t>0$, przy czym $W(\lambda)\neq 0$. Liczbę $t$ nazywamy krotnością wartości własnej $\lambda$. Podobną definicję przyjmujemy dla wartości własnych macierzy.

Uwaga 8.9   Załóżmy, że $\lambda$ jest wartością własną endomorfizmu $F$. Wtedy zbiór $V^{\lambda}=\{v\in V:F(v)=\lambda v\}$ jest podprzestrzenią $V$, różną od $\{O\}$.

Dowód. Sprawdzenie, że $V^{\lambda}$ jest podprzestrzenią $V$ polega na prostym sprawdzeniu warunków definicji 1.6. $V^{\lambda}$ jest różna od $\{O\}$, gdyż zawiera pewien niezerowy wektor własny $F$ dla wartości własnej $\lambda$.

Przestrzeń $V^{\lambda}$ z uwagi 8.9 nazywamy przestrzenią wektorów własnych $F$ dla wartości własnej $\lambda$.

Definicja 8.10   Podprzestrzeń $W$ przestrzeni $V$ jest $F$-niezmiennicza, gdy $F(v)\in W$ dla wszystkich $v\in W$.

Przykładem podprzestrzeni $F$-niezmienniczej jest przestrzeń wektorów własnych $V^{\lambda}$. Następne twierdzenie zawiera kryterium diagonalizowalności endomorfizmu $F$.

Twierdzenie 8.11   Załóżmy, że $F\in End(V)$ oraz $\{\lambda_1,\dots,\lambda_k\}$ jest zbiorem wszystkich wartości własnych $F$, o krotnościach $t_1,\dots,t_k$ odpowiednio.
1) Jeśli $F$ jest diagonalizowalny, to
$\varphi_F(X)=(\lambda_1-X)^{t_1}(\lambda_2-X)^{t_2}\cdots(\lambda_k-X)^{t_k}$.
2) $V^{\lambda_i}=Ker(F-\lambda_i\cdot id)$.
3) Niech $W=V^{\lambda_1}+V^{\lambda_2}+\cdots +V^{\lambda_k}$. Wówczas $W=V^{\lambda_1}\oplus V^{\lambda_2}\oplus\cdots \oplus V^{\lambda_k}$.
4) Następujące warunki są równoważne:
i) $F$ jest diagonalizowalne.
ii) $\sum_i\dim(V^{\lambda_i})=\dim(V)$.
iii) $\sum_i\dim(V^{\lambda_i})\geq \dim(V)$.

Dowód. Załóżmy, że $\dim(V)=n$.

1) Niech ${\cal B}=\{b_1,\dots,b_n\}\subset V$ będzie bazą złożoną z wektorów własnych $F$ (fakt 7.13) i niech $A=m_{{\cal B}}(F)$. Mamy

$$F(b_i)=r_ib_i$$

dla pewnych wartości własnych $r_1,\dots,r_n$ endomorfizmu $F$. Zatem

$$A=\left[\begin{array}{cccc}r_1&0&\cdots&0\\ 0&r_2&\cdots&0\\... ...x{}&\mbox{}&\ddots&\mbox{}\\ 0&0&\cdots&r_n\end{array}\right].$$

Dlatego

$$\varphi_F(X)=\varphi_A(X)=\det\left[\begin{array}{cccc}r_1-X&... ...{}&\mbox{}&\ddots&\mbox{}\\ 0&0&\cdots&r_n-X\end{array}\right]$$

$$=(r_1-X)(r_2-X)\cdots(r_n-X).$$

Widzimy więc, że liczby $r_1,\dots,r_n$ są to wszystkie liczby $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ (z powtórzeniami odpowiadającymi krotnościom $t_1,\dots,t_k$).

(2) $v\in V^{\lambda_i}\iff F(v)=\lambda v\iff (F-\lambda\cdot id)(v)=O\iff v\in Ker(F-\lambda\cdot id)$.

(3) Niech $W_t=V^{\lambda_1}+\cdots+V^{\lambda_t},\ t=1,\dots,k$. Zbiór $W_t$, jako suma podprzestrzeni, sam jest podprzestrzenią przestrzeni $V$. Zauważmy, że

(a)

$W_t$ jest $F$-niezmiennicza.

Istotnie, załóżmy, że $w\in W_t$. Wówczas $w=v_1+\cdots+v_t$ dla pewnych $v_i\in V^{\lambda_i}$. Mamy $F(v_i)=\lambda_iv_i\in V^{\lambda_i}$ (uwaga 8.9), więc

$$F(w)=F(v_1)+\cdots+F(v_t)=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_tv_t$$

$$\in V^{\lambda_1}+\cdots+V^{\lambda_t}=W.$$

Niech $F'=F\vert _{W_t}$ będzie ograniczeniem $F$ do podprzestrzeni $W_t$, tzn. $F':W_t\rightarrow W_t$ spełnia $F'(w)=F(w)$ dla wszystkich $w\in W$. Pokażemy, że

(b)

$\{\lambda_1,\dots,\lambda_t\}$ jest zbiorem wszystkich wartości własnych $F'$.

Istotnie, wybierzmy bazy ${\cal B}_1\subset V^{\lambda_1},\dots,{\cal B}_t\subset V^{\lambda_t}$ odpowiednich podprzestrzeni. Wówczas zbiór ${\cal B}_1\cup\dots\cup{\cal B}_t$ generuje $W_t$, zawiera więc pewną bazę ${\cal B}$ przestrzeni $W_t$ (twierdzenie 2.5). Baza ${\cal B}$ składa się z wektorów własnych endomorfizmu $F$ dla wartości własnych ze zbioru $\{\lambda_1,\dots,\lambda_t\}$. Wówczas macierz $m_{{\cal B}}(F')$ jest diagonalna na przekątnej ma wyrazy $t_1,\dots,t_r$ ($r=\dim(W_t)$) i jej wielomian charakterystyczny rozkłada się na czynniki liniowe

$$\varphi_{F'}(X)=(t_1-X)(t_2-X)\cdots(t_r-X).$$

Zatem $T=\{t_1,\dots,t_r\}$ to zbiór wszystkich wartości własnych $F'$. Jasne jest, że $\lambda_1,\dots,\lambda_t\in T$. Z drugiej strony $t_1,\dots,t_r\in\{\lambda_1\dots,\lambda_t\}$, więc $T=\{\lambda_1\dots,\lambda_t\}$.

Teraz możemy już udowodnić, że

$$W=V^{\lambda_1}\oplus V^{\lambda_2}\oplus\cdots \oplus V^{\lambda_k},$$

to znaczy każdy wektor $w\in W$ można jednoznacznie przedstawić w postaci

$$(*) w=v_1+\dots+v_k,$$

gdzie $v_i\in V^{\lambda_i}$. Przypuśćmy nie wprost, że

$$(**) w=v_1'+\dots+v_k'$$

jest jakimś innym przedstawieniem wektora $w$ w tej postaci. Wówczas dla pewnego $i, v_i\neq v_i'$. Weźmy maksymalne takie $i$, to znaczy mamy też $v_{i+1}=v_{i+1}',\dots,v_k=v_k'$. Jasne, że $i>1$ (bo jeśli $i=1$, to $v_1=w-(v_2+\cdots+v_k)=w-(v_2'+\cdots+v_k')=v_1'$, sprzeczność). Zatem $i=t+1$ dla pewnego $t\geq 1$.

Odejmując stronami $(*)$ i $(**)$ dostajemy $O=w-w=$

$$\overbrace{(v_1-v_1')+\cdots+(v_t-v_t')}^{v\in W_t}+\overbrac... ...u\neq O} +\overbrace{(v_{i+1}-v_{i+1}')+\cdots+(v_k-v_k')}^{O}.$$

Skoro $O=v+u$ i $v\in W_t$, to również $u\in W_t$. $F'(u)=F(u)=\lambda_{t+1}u$, więc $\lambda_{t+1}$ jest wartością własną $F'$, przecząc (b).

4) Na mocy (3) wiemy, że przestrzenie $V^{\lambda_1},\dots,V^{\lambda_k}$ generują sumę prostą $W=V^{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V^{\lambda_k}$.

(i) $\Rightarrow (ii)$. Niech ${\cal B}$ będzie bazą $V$ złożoną z wektorów własnych $F$. Wówczas ${\cal B}\subset W$, więc $V=W$ i $\dim(V)=\dim(W)=\dim(V^{\lambda_1})+\cdots+\dim(V^{\lambda_k})$.

(ii)$\Rightarrow$(iii) jest oczywiste.

(iii)$\Rightarrow$(i) Skoro $dim(W)\geq\dim(V)$ i $W\subset V$, to $\dim(W)=\dim(V)$, więc na mocy uwagi 2.9(2) $V=W$. łatwo więc znaleźć bazę $V$ złożoną z wektorów własnych $F$. $F$ jest więc diagonalizowalne na mocy faktu 7.13.

Na mocy twierdzenia 7.11 macierz $A$ wymiaru $n\times n$ jest diagonalizowalna $\iff$ endomorfizm $F_A:{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}^n$ (o macierzy $A$) jest diagonalizowalny. Dlatego twierdzenia 8.11 możemy używać również do rozstrzygania, czy dana macierz jest diagonalizowalna. W poniższych przykładach rozstrzygniemy, czy dane macierze $A$ są diagonalizowalne.

Przykłady.

1. $A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&1 0&2&0\\ 3&1&0\end{array}\right]$.

Macierzy $A$ odpowiada przekształcenie liniowe $F_A:{\mathbb{R}}^3\rightarrow {\mathbb{R}}^3$. By rozstrzygnąć, czy macierz $A$ jest diagonalizowalna, znajdujemy jej wielomian charakterystyczny i wartości własne.

$$\varphi_A(X)=\left\vert\begin{array}{ccc}1-X&2&1 0&2-X&0\\ 3&1&-X\end{array}\right\vert=(1-X)(2-X)(-X)-2(2-X)=$$

$$(2-X)(X^2-X-3)=(\lambda_1-X)(\lambda_2-X)(\lambda_3-X),$$

gdzie $\lambda_1=2, \lambda_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2},\ \lambda_3=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ (są to wartości własne macierzy $A$).

Przestrzenie wektorów własnych $V^{\lambda_1},V^{\lambda_2},V^{\lambda_3}$ mają wymiar przynajmniej $1$ (bo są różne od $\{O\}$), więc suma tych wymiarów jest $\geq 3=\dim({\mathbb{R}}^3)$. Dlatego na mocy twierdzenia 4.11 macierz $A$ jest diagonalizowalna. Możemy też wywnioskować, że wszystkie przestrzenie $V^{\lambda_i},i=1,2,3$ mają wymiar $1$ i ${\mathbb{R}}^3$ jest ich sumą prostą.

Możemy też znaleźć macierz odwracalną $C$ taką, że $C^{-1}AC$ jest diagonalna. Rozwiązując odpowiednie układy równań znajdujemy, że $V^{\lambda_1}$ jest prostą wzdłuż wektora $u=\left[\!\!\!\begin{array}{r}5 -1 7\end{array}\!\!\!\right]$, $V^{\lambda_2}$ prostą wzdłuż wektora $v=\left[\!\!\!\begin{array}{l}\lambda_2 0\\ 3\end{array}\!\!\!\right]$, zaś $V^{\lambda_3}$ prostą wzdłuż wektora $w=\left[\!\!\!\begin{array}{l}\lambda_3 0 3\end{array}\!\!\!\right]$.

W bazie ${\cal B}=\{u,v,w\}$ przekształcenie liniowe $F_A$ ma macierz

$$m_{{\cal B}}(F_A)=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\ 0&\lambda_... ...{{\cal B}{\cal E}}(id)m_{{\cal E}}(F_A)m_{{\cal B}{\cal E}}(id)$$

$$=\left[\begin{array}{rrr}5&\lambda_2&\lambda_3\\ -1&0&0\\ 7... ...rrr}5&\lambda_2&\lambda_3\\ -1&0&0\\ 7&3&3\end{array}\right].$$

2. Przykład macierzy $A$ takiej, że $\varphi_A(X)$ rozkłada się na czynniki liniowe, ale $A$ nie jest diagonalizowalna.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 0&2&1 0&0&2\end{array}\right]$$

$$\varphi_A(X)=\left\vert\begin{array}{ccc}1-X&0&0 0&2-X&1\\ 0&0&2-X\end{array}\right\vert=(1-X)(2-X)^2$$

Wartości własne to $\lambda_1=1$ (o krotności $1$) i $\lambda_2=2$ (o krotności $2$). Przestrzeń wektorów własnych $V^{\lambda_1}$ to prosta wzdłuż $E_1$, ma ona wymiar $1$. Dla obliczenia wymiaru przestrzeni $V^{\lambda_2}=Ker(F_A-2\cdot id)$ nie musimy znajdować jej bazy. Możemy posłużyć się tu twierdzeniem 4.12. Wiemy, że

$$3=\dim({\mathbb{R}}^3)=\dim(Ker(F_A-2\cdot id))+\dim(Im(F_A-2\cdot id)).$$

Przekształcenie $F_A-2\cdot id$ ma macierz $A-2I$ ( w bazie standardowej). Dlatego $\dim(Im(F_A-2\cdot id))=\mbox{rząd}(A-2I)$.

$$\dim(V^{\lambda_2})=3-\mbox{rząd}(A-2I),\ A-2I=\left[\begin{array}{rrr}-1&0&0 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right],$$

macierz ta ma więc rząd $2$, czyli $\dim(V^{\lambda_2})=1$. $\dim(V^{\lambda_1})+\dim(V^{\lambda_2})=2<3=\dim({\mathbb{R}}^3)$, więc macierz $A$ nie jest diagonalizowalna.

3. Przykład macierzy diagonalizowalnej $A'$ o tym samym wielomianie charakterystycznym, co macierz z przykladu 2.

$$A'=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0 0&2&0 0&0&2\end{array}\right],\ \varphi_{A'}(X)=(1-X)(2-X)^2$$

4. $A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0 0&0&1\\ 0&-1&0\end{array}\right], \varphi_A(X)=(1-X)(X^2+1)$. Wielomian ten nie rozkłada się na czynniki liniowe nad ${\mathbb{R}}$, więc macierz $A$ nie jest diagonalizowalna (nad ${\mathbb{R}}$).

Możemy badać diagonalizowalność endomorfizmów liniowych skończeniewymiarowej przestrzeni $V$ nad dowolnym ciałem. Podobnie rozważa się diagonalizację macierzy nad dowolnym ciałem. Wszystkie wyniki na temat wielomianu charakterystycznego, wartości i wektorów własnych, jak również charakteryzacja diagonalizowalności z twierdzenia 4.12 pozostają słuszne. Zwróćmy uwagę na szczególny przypadek zespolonych przestrzeni liniowych i macierzy o wyrazach zespolonych. Każdy wielomian stopnia $>0$ nad ciałem liczb zespolonych ma pierwiastek (ciało ${\mathbb{C}}$ jest algebraicznie domknięte). Dlatego każdy endomorfizm zespolonej przestrzeni liniowej $V$ skończonego wymiaru ma wartość własną, podobnie każda macierz zespolona ma wartość własną. Macierz $A$ z przykładu 4 nie jest diagonalizowalna nad ciałem ${\mathbb{R}}$, gdyż nad tym ciałem jej wielomian charakterystyczny nie rozkłada sie na czynniki liniowe. Wielomian ten rozkłada sie jednak na czynniki liniowe nad ciałem liczb zespolonych, ma tam $3$ różne pierwiastki : $1,i,-i$. Dlatego (podobnie jak w przykładzie 1) wnioskujemy, że macierz $A$ jest diagonalizowalna nad ${\mathbb{C}}$.

Niestety, wiele macierzy (np. macierz z przykładu 2) nie jest diagonalizowalnych nawet nad ciałem liczb zespolonych. Jednak okazuje się, że dla endomorfizmu przestrzeni zespolonej można znaleźć bazę, w ktorej ma on stosunkowo prostą macierz.

Klatką Jordana nazywamy macierz kwadratową postaci

$$\left[\begin{array}{cccc}\lambda&1&\mbox{}&0\\ \mbox{}&\ddot... ...mbox{}&\ddots&1\\ 0&\mbox{}&\mbox{}&\lambda\end{array}\right],$$

dla pewnego $\lambda\in \mathbb{C}$. Macierz Jordana to macierz kwadratowa, w której na głównej przekątnej rozmieszczone są klatki Jordana (niekoniecznie tych samych rozmiarów), a wszędzie indziej są zera.

Można udowodnić, że każdy endomorfizm $F$ zespolonej przestrzeni liniowej $V$ skończonego wymiaru ma macierz Jordana w pewnej bazie. Podobnie można pokazać, że dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej $A$, $CAC^{-1}$ jest macierzą Jordana dla pewnej zespolonej macierzy odwracalnej $C$.