4. Przekształcenia liniowe i macierze

Niech $V,W$ oznaczają przestrzenie liniowe nad ${\mathbb{R}}$. Przez $Hom(V,W)$ oznaczamy zbiór wszystkich przekształceń liniowych $V\rightarrow W$. Nazwa bierze się stąd, że w ogólnoalgebraicznej terminologii przekształcenie liniowe $V\rightarrow W$ to homomorfizm tych struktur algebraicznych.

Na zbiorze $Hom(V,W)$ określamy działania przestrzeni liniowej w następujący sposób. Dla $F,G\in Hom(V,W)$ definiujemy przekształcenia $F+G:V\rightarrow W$ oraz $tF:V\rightarrow W$ (dla skalara $t\in {\mathbb{R}}$) poprzez następujące wzory.

$$(F+G)(v)=F(v)+G(v), (tF)(v)=t\cdot F(v)$$

łatwo sprawdzić, że $F+G$ oraz $tF$ są liniowe, tzn. należą do $Hom(V,W)$. W ten sposób na zbiorze $Hom(V,W)$ określiliśmy działania dodawania i mnożenia przez skalary.

Uwaga 4.1   $Hom(V,W)$ z działaniami dodawania i mnożenia przez skalary jest przestrzenią liniową nad ${\mathbb{R}}$.

Dowód polega na łatwym sprawdzeniu aksjomatów.

Szczególne przypadki.

1. $Hom(V,{\mathbb{R}})$ oznaczamy przez $V^*$ i nazywamy przestrzenią sprzężoną do $V$. Składa się ona z funkcjonałów liniowych na przestrzeni $V$.

2. $Hom(V,V)$ oznaczamy przez $End(V)$ i nazywamy przestrzenią endomorfizmów liniowych przestrzeni $V$.

Niech $M_{m\times n}({\mathbb{R}})$ oznacza zbiór macierzy wymiaru $m\times n$, o wyrazach rzeczywistych. Na zbiorze tym definiujemy dodawanie i mnożenie przez skalar $t\in {\mathbb{R}}$ w następujący sposób.

$$[a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times n}=[c_{ij}]_{m\times n},\ \mbox{gdzie } c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$

$$t[a_{ij}]=[d_{ij}], \mbox{gdzie } d_{ij}=ta_{ij}$$

Na przykład,

$$\left[\begin{array}{cc}1&2 3&4\\ 5&6\end{array}\right]+\le... ...t]=\left[\begin{array}{cc}2&4 6&8\\ 10&12\end{array}\right].$$

Uwaga 4.2   $(M_{m\times n}({\mathbb{R}}),+,t)_{t\in {\mathbb{R}}}$ jest przestrzenią liniową nad ${\mathbb{R}}$, wymiaru $m\cdot n$.

Dowód. łatwo sprawdzić aksjomaty przestrzeni liniowej. Bazę przestrzeni $M_{m\times n}({\mathbb{R}})$ stanowi na przykład układ macierzy $M_{ij}$ złożonych z samych zer poza miejscem w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie, gdzie występuje $1$. Takich macierzy jest $m\cdot n$.

Twierdzenie 4.3   Załóżmy, że $\dim(V)=n,\dim(W)=m$ oraz ${\cal B}\subset V, {\cal C}\subset W$ są bazami. Przyporządkowanie $\Phi$ przekształceniu $F$ jego macierzy $m_{{\cal B}{\cal C}}(F)$ jest izomorfizmem liniowym przestrzeni $Hom(V,W)$ i $M_{m\times n}({\mathbb{R}})$.

Dowód. Każde przekształcenie liniowe $F\in Hom(V,W)$ ma macierz $m_{{\cal B}{\cal C}}(F)$, z której to przekształcenie możemy odtworzyć. Każda macierz $A$ wymiaru $m\times n$ wyznacza pewne przekształcenie liniowe $F\in Hom(V,W)$, poprzez wzór $(**)$ z twierdzenia 3.10. Dlatego $\Phi:Hom(V,W)\rightarrow M_{m\times n}({\mathbb{R}})$ jest bijekcją. Wystarczy więc sprawdzić, że $\Phi$ jest liniowe. Dla przykładu sprawdzimy jego addytywność.

Niech $F,G\in Hom(V,W), A=m_{{\cal B}{\cal C}}(F), A'=m_{{\cal B}{\cal C}}(G),\ A''=m_{{\cal B}{\cal C}}(F+G)$. Niech $b_j$ będzie $j$-tym wektorem bazy $B$. $(j$-ta kolumna $A'')=[(F+G)(b_j)]_{{\cal C}}$. Ale $(F+G)(b_j)=F(b_j)+G(b_j)$, więc

$$[(F+G)(b_j)]_{{\cal C}}=[F(b_j)]_{{\cal C}}+[G(b_j)]_{{\cal C}}=$$

$$=(j\mbox{-ta kolumna macierzy }A)+(j\mbox{-ta kolumna macierzy }A').$$

Dlatego $A+A'=A''$ i $\Phi(F+G)=\Phi(F)+\Phi(G)$.

W szczególności, gdy $\dim(V)=n$,

$$\dim(V^*)=\dim(Hom(V,{\mathbb{R}}))=\dim(M_{1\times n}({\mathbb{R}}))=1\cdot n=n.$$

Dlatego w tym przypadku przestrzenie $V$ i $V^*$ są izomorficzne (wniosek 3.7). Nie jest to prawdą, gdy wymiar $V$ jest nieskończony.

Wektor zerowy przestrzeni $M_{m\times n}({\mathbb{R}})$ nazywamy macierzą zerową, oznaczamy ją przez $O$. Wszystkie wyrazy tej macierzy są równe $0$, odpowiada ona (przez izomorfizm $\Phi$) przekształceniu zerowemu. Przekształcenie identycznościowe $id:V\rightarrow V$ w ustalonej bazie ${\cal B}$ ma macierz kwadratową $m_{{\cal B}}(id)$, która ma jedynki na głównej przekątnej, a poza nią zera. Macierz tę nazywamy macierzą jednostkową, oznaczamy ją przez $I$. Pełni ona rolę elementu neutralnego mnożenia macierzy, gdyż dla wszystkich macierzy $A,B$ odpowiednich rozmiarów mamy $AI=A$ i $IB=B$.

Wniosek 4.4   Załóżmy, że $\dim(V)=n$ oraz $\Phi:End(V)\rightarrow M_{n\times n}(R)$ jest izomorfizmem z twierdzenia 4.3 danym wzorem $\Phi(F)=m_{{\cal B}}(F)$. Wówczas dla $F,G\in End(V)$ mamy $\Phi(FG)=\Phi(F)\cdot \Phi(G)$.

Dowód. Wniosek wynika wprost z definicji $\Phi$ i twierdzenia 3.11.

Endomorfizm przestrzeni $V$, który jest izomorfizmem, nazywamy automorfizmem przestrzeni $V$. Zatem automorfizm przestrzeni $V$ to po prostu odwracalne przekształcenie liniowe $F:V\rightarrow V$. Zbiór wszystkich automorfizmów przestrzeni $V$ oznaczamy przez $Aut(V)$. Co można powiedzieć o macierzach automorfizmów przestrzeni $V$?

Definicja 4.5   Macierz $A$ wymiaru $n\times n$ jest odwracalna (inaczej: nieosobliwa) $\iff\exists A^{-1}\in M_{n\times n}({\mathbb{R}}),\ AA^{-1}=A^{-1}A=I$.
Zbiór macierzy odwracalnych wymiaru $n\times n$, nad ${\mathbb{R}}$, oznaczamy przez $GL(n,{\mathbb{R}})$.

Uwaga 4.6   Jeśli $A$ jest macierzą odwracalną, to macierz $A^{-1}$ taka, jak w definicji 4.5, jest wyznaczona jednoznacznie.

Dowód. Załóżmy, że $AB=BA=I$. Wtedy $A^{-1}=A^{-1}I=A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B=IB=B$.

Macierz $A^{-1}$ z definicji 4.5 nazywamy macierzą odwrotną do macierzy $A$. Zwróćmy uwagę, że wówczas macierz $A$ jest macierzą odwrotną do macierzy $A^{-1}$, tzn. $(A^{-1})^{-1}=A$, podobnie jak przy zwykłym potęgowaniu. Okazuje się, że macierze odwracalne odpowiadają dokładnie automorfizmom przestrzeni $V$.

Uwaga 4.7   Załóżmy, że $\dim(V)=n$ i ${\cal B}$ jest bazą $V$. Wtedy dla $F\in End(V)$ mamy :
$F$ jest odwracalne $\iff m_{{\cal B}}(F)$ jest odwracalna.

Dowód. $\Rightarrow.$ $F^{-1}$ istnieje, więc $m_{{\cal B}}(F^{-1})m_{{\cal B}}(F)=m_{{\cal B}}(F^{-1}F)=m_{{\cal B}}(id)=I$. Podobnie sprawdzamy, że $m_{{\cal B}}(F)m_{{\cal B}}(F^{-1})=I$. Dlatego macierz $m_{{\cal B}}(F^{-1})$ jest macierzą odwrotną do macierzy $m_{B}(F)$.

$\Leftarrow.$ Załóżmy, że macierz $m_{{\cal B}}(F)$ jest odwracalna. Niech $F':V\rightarrow V$ będzie przekształceniem liniowym o macierzy $m_{{\cal B}}(F')=(m_{{\cal B}}(F))^{-1}$. Mamy więc

$$m_{{\cal B}}(F')m_{{\cal B}}(F)=I=m_{{\cal B}}(F)m_{{\cal B}}(F').$$

Na mocy twierdzenia 3.11, $m_{{\cal B}}(F')m_{{\cal B}}(F)=m_{{\cal B}}(F'F)$ i $m_{{\cal B}}(F)m_{{\cal B}}(F')=m_{{\cal B}}(FF')$. Dlatego $m_{{\cal B}}(F'F)=m_{{\cal B}}(FF')=I=m_{{\cal B}}(id)$. Stąd wnioskujemy, że $F'F=FF'=id$, więc $F$ jest bijekcją i $F^{-1}=F'$.

Aby sprawdzić, czy dane przekształcenie liniowe $F:V\rightarrow V$ jest bijekcją wystarczy więc sprawdzić, czy jego macierz ( w dowolnej bazie ${\cal B}\subset V$) jest odwracalna. W związku z tym powstają następujące problemy.
a) Jak sprawdzić, czy macierz $A$ jest odwracalna ?
b) Jeśli $A$ jest odwracalna, jak obliczyć $A^{-1}$?
Problemami tymi zajmiemy sie w następnym rozdziale.

Z przekształceniem liniowym $F:V\rightarrow W$ wiążemy dwie ważne podprzestrzenie.

Definicja 4.8  

$$Ker(F)=\{v\in V:F(v)=O\}, Im(F)=\{w\in W:\exists v\in V, F(v)=w\}$$

Zbiór $Ker(F)$ nazywamy jądrem przekształcenia $F$, zaś zbiór $Im(F)$ obrazem $F$.

Rysunek: Jądro i obraz przekształcenia $F$

Fakt 4.9   1) $Ker(F)$ jest podprzestrzenią $V$.
2) $Im(F)$ jest podprzestrzenią $W$.

Dowód. Dla przykładu udowodnimy (2). Musimy pokazać, że zbiór $Im(F)$ jest zamknięty względem dodawania i mnożenia wektorów przez skalary. Sprawdzimy np. dodawanie. Niech $v,w\in Im(F)$. Zatem istnieją $v',w'\in V$ takie, że $F(v')=v$ i $F(w')=w$. Wówczas z liniowości $F$ dostajemy $F(v'+w')=v+w$, czyli $v+w\in Im(F)$.

Przykład.

Niech $P_{\Pi}:{\mathbb{R}}^3\rightarrow {\mathbb{R}}^3$ oznacza rzut prostopadły na płaszczyznę $\Pi\subset {\mathbb{R}}^3$ o równaniu ogólnym $ax_1+bx_2+cx_3=0$. Płaszczyzna ta składa się z wektorów ortogonalnych do wektora

$$A=\left[\begin{array}{c}a b c\end{array}\right]\neq O.$$

W tym przypadku $Im(P_{\Pi})$ to płaszczyzna $\Pi$, zaś $Ker(P_{\Pi})$ to prosta wzdłuż $A$, tzn. podprzestrzeń $Lin(A)$.

Przy pomocy jądra przekształcenia $F$ możemy rozpoznać, czy $F$ jest 1-1.

Twierdzenie 4.10   $F$ jest 1-1 $\iff Ker(F)=\{O\}$.

Dowód. $\Rightarrow.$ $F(O)=O$ (uwaga 3.9), więc $O\in Ker(F)$. Jeśli $F$ jest 1-1, to dla $v\neq O$ musi być $F(v)\neq F(O)=O$, czyli $v\not\in Ker(F)$. Dlatego wtedy $Ker(F)=\{O\}$.

$\Leftarrow.$ Nie wprost. Przypuśćmy, że $v\neq w\in V$ oraz $F(v)=F(w)$. Wtedy $F(v-w)=F(v)-F(w)=O$, więc $v-w\in Ker(F)$. Ale $v\neq w$, więc $v-w\neq O$. Dlatego $Ker(F)\neq\{O\}$.

W dowodzie kolejnego twierdzenia będziemy potrzebowali pewnych prostych uwag o generatorach przestrzeni $V$.

Uwaga 4.11   Załóżmy, że $F,G:V\rightarrow W$ są liniowe oraz $X$ jest pewnym zbiorem generatorów $V$.
1) Jeśli $F(v)=G(v)$ dla wszystkich $v\in X$, to $F=G$.
2) $F[X]$ generuje podprzestrzeń $Im(F)$.

Dowód. 1) $Lin(X)=V$, więc dowolny wektor $v\in V$ jest liniową kombinacją wektorów z $X$: $v=\sum t_ix_i$ dla pewnych $t_i\in {\mathbb{R}}$ i $x_i\in X$. Dlatego

$$F(v)=F(\sum t_ix_i)=\sum t_iF(x_i)=\sum t_iG(x_i)=G(\sum t_ix_i)=G(v),$$

czyli $F=G$.

2) Niech $w\in Im(F)$, tzn. $w=F(v)$ dla pewnego $v\in V$. Jak wyżej, $v=\sum t_ix_i$ dla pewnych $t_i\in {\mathbb{R}}$ i $x_i\in X$. Dlatego

$$w=F(v)=\sum t_iF(x_i).$$

Widzimy, że $w$ jest liniową kombinacją wektorów z $F[X]$.

Dla przekształcenia liniowego $F:V\rightarrow W$, wymiary przestrzeni $V, Ker(F)$ i $Im(F)$ są ze sobą ściśle związane.

Twierdzenie 4.12   $\dim(V)=\dim(Ker(F))+\dim(Im(F))$.

Liczbę $\dim(Im(F))$ nazywamy rzędem przekształcenia $F$.

Dowód. Dowód twierdzenia przeprowadzimy w przypadku, gdy wymiar $\dim(V)$ jest skończony. Wtedy $\dim(Ker(F))$ jest skończony, bo $Ker(F)$ jest podprzestrzenią $V$ (fakt 4.9(1), uwaga 2.9(1)). Również $\dim(Im(F))$ jest wtedy skończony.

Istotnie, niech ${\cal B}$ będzie skończoną bazą przestrzeni $V$. Na mocy uwagi 4.11(2), zbiór $F[{\cal B}]$ generuje $Im(F)$. Na mocy twierdzenia 2.5(2) zbiór $F[{\cal B}]$ zawiera bazę przestrzeni $Im(F)$. Baza ta jest skończona, gdyż zbiór $F[{\cal B}]$ jest skończony.

Niech $\{e_1,\dots,e_n\}$ będzie bazą przestrzeni $Ker(F)$, zaś $\{f_1,\dots,f_m\}$ bazą przestrzeni $Im(F)$. Wystarczy pokazać, że $\dim(V)=n+m$. Wybierzmy wektory $g_i\in V$ takie, że $F(g_i)=f_i$. Pokażemy, że wektory $e_1,\dots,e_n,g_1,\dots,g_m$ są liniowo niezależne i generują $V$, tworzą więc $n+m$-elementową bazę przestrzeni $V$.

1) Liniowa niezależność.

Załóżmy, że

$$(*) \sum t_ie_i+\sum s_jg_j=O$$

dla pewnych $t_i,s_j\in {\mathbb{R}}$. Pokażemy, że wszystkie $t_i,s_j$ są równe $0$. Skoro $e_i\in Ker(F)$, również wektor $\sum_it_ie_i\in Ker(F)$, więc $F(\sum t_ie_i)=O$. Dlatego

$$O=F(\sum t_ie_i+\sum s_jg_j)=F(\sum t_ie_i)+F(\sum s_jg_j)=$$

$$=O+F(\sum s_jg_j)=\sum s_j F(g_j)=\sum s_j f_j.$$

Skoro $f_1,\dots,f_m$ są liniowo niezależne, to wszystkie $s_j$ są równe $0$. Dlatego równość $(*)$ redukuje się do $\sum t_ie_i=O$. Korzystając z liniowej niezależności wektorów $e_1,\dots e_n$ dostajemy również, że wszystkie $t_i$ są równe $0$.

(2) Generowanie $V$.

Niech $v\in V$. Szukamy skalarów $t_i,s_j\in {\mathbb{R}}$ takich, że $v=\sum t_ie_i+\sum s_jg_j$. Niech $w=F(v)\in Im(F)$. Skoro wektory $f_1,\dots,f_m$ tworzą bazę $Im(F)$, to $w=\sum s_jf_j$ dla pewnych $s_j\in {\mathbb{R}}$.

Niech $v'=\sum s_jg_j$. Mamy

$$F(v')=\sum s_jF(g_j)=\sum s_j f_j=w=F(v).$$

Dlatego $F(v-v')=F(v)-F(v')=O$ i $v-v'\in Ker(F)$.

Wektory $e_1,\dots,e_n$ tworzą bazę $Ker(F)$, więc $v-v'=\sum t_ie_i$ dla pewnych $t_i\in {\mathbb{R}}$. Dlatego

$$v=\sum t_i e_i+v'=\sum t_ie_i+\sum s_jg_j,$$

co kończy dowód.

Wniosek 4.13   Załóżmy, że $\dim(V)$ jest skończony i $F:V\rightarrow V$ jest liniowe. Wtedy $F$ jest 1-1 $\iff F$ jest ``na''. W szczególności każdy z tych warunków jest równoważny temu, że $F$ jest bijekcją.

Dowód.

$$F\mbox{ jest 1-1 }\stackrel{4.10}{\iff} Ker(F)=\{O\}\iff\dim(Ker(F))=0\stackrel{4.12}{\iff}$$

$$\dim(Im(F))=\dim(V)\stackrel{2.9(2)}{\iff} V=Im(F)\iff F\mbox{ jest \lq\lq na''.}$$

Wniosek 4.14   Niech $A\in M_{n\times n}({\mathbb{R}})$. Wtedy $A$ jest odwracalna $\iff$ kolumny macierzy $A$ są liniowo niezależne (jako wektory z ${\mathbb{R}}^n$).

Dowód. Niech $F:{\mathbb{R}}^n\rightarrow {\mathbb{R}}^n$ będzie przekształceniem liniowym o macierzy $A$ ( w bazie standardowej ${\cal E}=\{E_1,\dots,E_n\}$). Kolumny $A$ to wektory $F(E_1),\dots,F(E_n)$ oraz $A=m_{{\cal E}}(F)$. Mamy

$$A\mbox{ jest odwracalna }\stackrel{4.6}{\iff} F\mbox{ jest izomorfizmem }\stackrel{4.13}{\iff} F\mbox{ jest \lq\lq na'' }\iff$$

$$Im(F)={\mathbb{R}}^n\stackrel{4.11(2)}{\iff}F[{\cal E}]= \{F(... ...generuje }{\mathbb{R}}^n\stackrel{\dim({\mathbb{R}}^n)=n}{\iff}$$

$$F[{\cal E}]\mbox{ jest bazą }{\mathbb{R}}^n\stackrel{\dim({\m... ...}^n)=n}{\iff} F(E_1),\dots,F(E_n)\mbox{ są liniowo niezależne.}$$