Załóżmy, że
. Zbiór
Gdy wektory są liniowo niezależne i
, zbiór
jest zwykłym równoległościanem (dla
) lub
równoległobokiem (dla
) o wierzchołkach
.
Zwróćmy uwagę, że rzut prostopadły na podprzestrzeń
istnieje, gdyż podprzestrzeń ta ma
skończony wymiar, więc ma bazę ortonormalną (twierdzenie 11.1,
uwaga 10.9). Ponadto liczba
to odległość wektora
od podprzestrzeni
(rozdział 11).
Rozważmy szczególny przypadek, gdy i
jest
standardową bazą ortonormalną. Wówczas kolumny macierzy
w fakcie 15.2(2) to po prostu wektory
. Fakt ten
potwierdza zatem naszą intuicję dotyczącą wyznacznika w rozdziale
5.
Dowód faktu 15.2.
1) Skoro są liniowo zależne, to dla pewnego
wektor
jest liniową kombinacją wektorów
. Dlatego jest on równy swojemu rzutowi
na
podprzestrzeń
. Wtedy
i zgodnie z definicją
15.1,
2) Stosujemy indukcję względem . Dla
teza jest
oczywista. Załóżmy, że
i teza jest udowodniona dla
.
Niech
. Zbiór
jest
bazą przestrzeni
i
. Zauważmy, że
nie zależy od wyboru bazy
przestrzeni
. Istotnie, załóżmy,
że
jest inną bazą ortonormalną przestrzeni
. Wtedy macierz
jest ortogonalna, więc
(wniosek 11.13). Mamy
, więc
.
Stosując metodę ortonormalizacji Grama-Schmidta, możemy wybrać
bazę ortonormalną
przestrzeni
tak,
że zbiór
jest bazą przestrzeni
. Niech
będzie rzutem prostopadłym wektora
na przestrzeń
.
Niech
, gdzie
Następny wniosek dostarcza innego sposobu obliczania objętości uogólnionego równoległościanu.
Załóżmy więc, że są liniowo niezależne. Niech
będzie bazą ortonormalną przestrzeni
i niech
. Na mocy
uwagi 10.8 i faktu 15.2 mamy
Wyznacznik
występujący we wniosku 15.3 nazywamy
wyznacznikem Grama układu wektorów
.