Czy szachownicę 8´8 z wyciętymi dwoma przeciwległymi narożnymi polami da się pokryć kamieniami domina pokrywającymi dwa pola?

*A jeśli wytniemy z niej dowolne dwa pola tego samego koloru?

**A gdybyśmy wycięli z niej jedno narożne pola – czy dałoby się pozostałe pokryć kamieniami trimina 3´1?

A szachownicę 10´10 (bez żadnego wycinania!) takimi „literami T”?

 

*A L?

 

 

A prawdziwszymi literami T?

 

A jeszcze prawdziwszymi? (Tzn. jakimi?)

*A literami I rozmiaru 4´1? A 3´1? A...?

 

Czy da się tak pokryć szachownicę 6´6 kamieniami 2´1, żeby każda z prostych poprowadzonych wzdłuż linii dzielących pola szachownicy przecinała któryś z kamieni?

 

Na każdym polu szachownicy 5´5 stoi sobie wieża. Nagle na wydany sygnał dźwiękowy każda wieża przechodzi na sąsiednie pole. Czy możliwe jest, żeby znów na każdym polu stała wieża?

 

Czy konik szachowy (skoczek) może w 1001 ruchach przemieścić się z pola A1 na H8? Czy odpowiedź jest taka sama na szachownicy 100´100? A 101´101? A odpowiedź właściwie na jakie pytanie? A można zadać inne analogiczne? A gdyby pytać o dwa nieprzeciwległe naroża?

 

Tego typu zadania są na pewno nieobce żadnemu wyjadaczowi konkursów matematycznych i łamigłówkowych. Czy jednak każdy potrafi je rozwiązać? Wszystkie (?) rozwiązania opierają się właściwie na tej samej metodzie. Przyjrzymy się jej wspólnie już w najbliższy wtorek!

Co ciekawe, metoda ta ma zastosowanie również do takich, pozornie chyba dość różnych, zadań:

 

  1. W narożnym sześcianiku kostki Rubika (3´3´3 sześcianiki) siedzi plastikowy kornik. Potrafi on przegryźć się przez środek dowolnej ścianki sześcianu, w którym siedzi. Czy może odbyć spacer, przechodząc raz przez każdy sześcianik kostki i kończąc w środkowym sześcianie?

 

  1. Na stole leży 2006 monet, wszystkie odwrócone orzełkiem do góry. W każdym ruchu można odwrócić dowolnie wybrane trzy monety. Czy za pomocą tych ruchów da się uzyskać sytuację, gdy na stole jest 2006 reszek?

 

  1. Dla jakich k istnieje taki k-kąt, że pewna prosta przecina wszystkie jego boki (nie w wierzchołkach)?

 

  1. Do dyspozycji masz 3 kawałki papieru. Po każdej lekcji dowolny z posiadanych kawałków możesz porwać na 4 mniejsze. Po ilu lekcjach możesz stać się w ten sposób posiadaczem 2006 kawałków papieru?

 

  1. Do dyspozycji są początkowo liczby 3, 4 i 12. Co minutę pewne dwie z posiadanych liczb, a i b zastępowane są liczbami  a/4 + b/3  i  3a/4 + 2b/3. Czy możliwe jest dojście w ten sposób do liczb p, 7 i 9? A 2, 5 i 11?

 

  1. Pewien biznesmen ma 1 dukata i 0 koron. W jednym kantorze może dostać 10 koron za dukata, a w drugim 10 dukatów za koronę. Czy dokonując dowolnie wielu wymian waluty, może stać się posiadaczem takiej samej liczby koron co dukatów?

 

  1. Na każdym z sześciu kawałków pizzy leży oliwka. Konsument K wybiera co jakiś czas dwie oliwki i każdą z nich przekłada na wybrany przez siebie sąsiedni kawałek. Czy może w ten sposób zgromadzić wszystkie oliwki na jednym kawałku?

 

  1. Na wyspie Bogo-Jogo mieszka 25 osób. Czy możliwe jest, żeby każda z nich przyjaźniła się z nieparzystą liczbą bogojogczyków?

 

9.* Wybieramy 2006 punktów płaszczyzny (tak, żeby żadne trzy nie leżały na jednej prostej) i połowę kolorujemy na czarno, a drugą na... zielono! Czy można narysować takie 1003 nieprzecinające się ani niestykające odcinki, które jeden koniec mają zielony, a drugi czarny?

 

Czy umiesz rozwiązać te zadania? A widzisz ich podobieństwo?

M. Śliwiński