Zad 1. Umiejętnie i fachowo naszkicuj wykres  y = -|2-x – 2|. Jaki zbiór wartości ma ta funkcja?
Zad 2. Rozwiąż równanie: .
Zad 3. A tu nierówność: .
Zad 6*. A ile rozwiązań mogą mieć równania postaci  ax = x100 + 2008 ?

Zad 1. Umiejętnie i fachowo naszkicuj wykres  y = -|5-x – 5|. Jaki zbiór wartości ma ta funkcja?
Zad 2. Rozwiąż równanie: .
Zad 3. A tu nierówność: .
Zad 6*. A ile rozwiązań mogą mieć równania postaci  x100 + 2009 = ax ?

Für die Aufgaben 1-3 kann man je 2 Pkt. erreichen, und das genügt für ein bdb+. Für die Aufgabe 4 kann man seine Note sogar um 1 erhöhen!
A.1. Bestimme die Anzahl der Wurzeln der Gleichung  -3-|x| = p + 3  in Abhängigkeit von p.
A.2. Finde alle Nullstellen der Funktion  h(x) = 28x  4x+1,5 + 2x+3.
A.3. Löse:  9x+1  3x-1 + 2  0.
A.4. Wie viele Nullstellen hat die Funktion  g(x) = 2sinx  m  in Abhängigkeit von m?

Für die Aufgaben 1-3 kann man je 2 Pkt. erreichen, und das genügt für ein bdb+. Für die Aufgabe 4 kann man seine Note sogar um 1 erhöhen!
A.1. Bestimme die Anzahl der Wurzeln der Gleichung  -2-|x| = 2 + p  in Abhängigkeit von p.
A.2. Finde alle Nullstellen der Funktion  g(x) = 327x  29x+0,5 + 3x+1.
A.3. Löse:  4x-1  2x+3 + 100  0.
A.4. Wie viele Nullstellen hat die Funktion  h(x) = 2cosx  m  in Abhängigkeit von m?

1. (2 pkt.) Uprość jak najmaksymalniej: .
2. (2 pkt.) Znajdź x, dla których  przyjmuje wartości niedodatnie.
3. (2 pkt.) Podaj (może być w formie złożonej formy zdaniowej) warunek na a, b i c równoważny 
zdaniu: „Równanie  (r1) ma niepusty zbiór rozwiązań”.
0*. (+1 pkt) Czy dla każdego x0 istnieje taka wartość m, że x0 jest m. zerowym 
?

1. (2 pkt.) Uprość jak najmaksymalniej: .
2. (2 pkt.) Znajdź x, dla których  przyjmuje wartości nieujemne.
3. (2 pkt.) Podaj (może być w formie złożonej formy zdaniowej) warunek na a, b i c równoważny 
zdaniu: „Równanie  (r1) ma niepusty zbiór rozwiązań”.
0*. (+1 pkt) Czy dla każdego x0 istnieje taka wartość m, że x0 jest m. zerowym 
?

Zad. 1-3 po 2 pkt. Wszędzie można korzystać z wszelkich poznanych w listopadzie (grudniu??!) własności logarytmów.
1. Mój przenośny kalkulator wykazuje, że log29  3,2, a log311  2,2. Przybliż  log49log2324  i  log9121log3311.
2. Wykaż, że . 
3. Co jest większe: log1/310  czy  log422 ?   log1/310  czy  log0,2522 ?
log1/1110  czy ?   log1/1110  czy ?
4. (+1 pkt) Udowodnij (ściśle i bez żadnej ściemy!), że log532Q.
5. (+0 pkt.) Skomponuj krótki (= do 6 strofek + refren) utwór muzyczny o tematyce logarytmicznej.

1. (3 pkt.) Rozwiąż nierówność: A) .   B) .
2. (3 pkt.) Co jest większe:   A) 2log310  czy  22,5 ?   B) 2log35  czy  22,5 ?
C) 0,5log21001  czy  52 ?   D) 0,5log22009  czy  52 ?

3. (3 pkt.) Rozwiąż równanie:   A) log4(x+3) = x/4 + 3/4.   B) log4(x+3) = x/6 + 5/6.
C) log3(x+1) = x/6 + 2/3.   D) log3(x+1) = x/3 + 1/3.

4. (4 pkt.) Niech  A) f(x) = |3−|x| − 4|.   B) fB(x) = |0,5|x| − 3|.

Znajdź miejsca zerowe f  i stwierdź, ile rozwiązań ma równanie f(x) = p w zależności od wartości p.

5. (5 pkt.) Dla jakich m równanie (A) (m−2)∙25x − 10∙5x−1 + 2−m =0   (B) (1−m)∙9x − 6∙3x+1 + m−1 =0 nie ma rozwiązań?

6.* Rozwiąż nierówność: logx/2(x2−¼ ) > 2.

2. Nierówność bądź łaskaw rozwiązać:  (12x)lgx<0,  .
4. Dziedzinę uprzejmie ustal:  (63lnx+2ln2xln3x),  (155lnx+3ln2xln3x).
6. Zbiór wartości racz znaleźć:  ,  f(x)=lg|9cosx|.
7*. Przykładową funkcję o dziedzinie naturalnej (1,2](3,4](5,6]... zechciej zapodać.
(Wskazówki: wygodnie będzie chyba najpierw znaleźć jakąś funkcję z jakąkolwiek dziedziną okresową, popracować nad krańcami przedziałów, potem wyeliminować x ujemne, a potem odpowiednio przeskalować...  Powo!)

I poprawa:
1. Ustal zbiór wartości 23+|tgx|.
2. A tutaj dziedzinę: √(ln2x−1).
3. Rozwiążesz? sinx ≤ 2−(1/3)|x|

1. (2 pkt.) Rozwiąż sobie nierówność: a) (2x1)x2 > 0,  b) (12x)+x+2  0.
2. (2 pkt.) Ile punktów wspólnych mają krzywe: a)  y=2x+1  i  y=(x+p),  b)  y=2x1  i  y=(xp) w zależności od wartości p? Przedstaw możliwe sytuacje w ukł. współrzędnych.
3. (3 pkt.) Jakie wartości może przyjmować suma odwrotności pierwiastków funkcji postaci:
a)  –mx2 + (2m+1) x  m + 1,  b)  mx2 + (2m+1) x + m  1 ?
4*. Dla nieujemnych x i pewnego dodatniego a zdefiniujmy f(x)=xa i g(x)=x1/a. Rozwiąż równanie f(x)=g(x). Przedstaw sytuację na wykresie (choć rozwiązać możesz algebraicznie).

I poprawa:
1. Rozw. a) (2x5) > x3,  b) (2x3) > x5.
2. Dla jakich p funkcja  a(x)=(x+1)x+p,  b(x)=(x+1)xp  ma jednoelementowy zbiór miejsc zerowych?
3. Podaj możliwe wartości sumy kwadratów pierwiastków wielomianu  A(x) = x2+2mx+m2m,  B(x) = x2+2mx+m2+m.
4*. Wyprowadź wzory Viète’a dla wielomianu stopnia n>2. (Tj., mając dane jego współczynniki, znajdź sumę i iloczyn pierwiastków). Podaj ewentualne założenia.
I II poprawa:
0. Rozwiąż, proszę: .
1. Rozwiąż w zależności od m: .
2. Jakie wartości przyjmują sumy odwrotności pierwiastków równań postaci  (m2+1)x2 + 3mx = −1?

I III:
0. Rozwiąż: .
1. Dla jakich p równanie  ma w ogóle jakieś rozwiązanie?
2. Dla jakich ś kwadrat różnicy pierwiastków wielomianu śx2+(ś−1)x+1 jest większy od 1?

SPRAWDZIAN NA ZAKOŃCZENIE KL. II (C)

1. Udowodnij indukcyjnie:
  a) (3 pkt.) 1∙1! + 2∙2! + … + n∙ n! + 1 = (n+1)! dla n≥1
  b) (4 pkt.) 2n > 5n2 dla n>8
2. Podaj w postaci liczbowej (= bez symboli Newtona):
  a) (2 pkt.) wzór na (a−b)5
  b) (3 pkt.) współczynnik stojący przy x−3 w rozwinięciu wyrażenia .
3. (3 pkt.) Korzystając z („silniowej”) definicji współczynnika Newtona, udowodnij, że .
+ * Udowodnij tę tożsamość, używając tylko własności wsp. N.
+ ** Udowodnię przez indukcję, że suma dowolnie wielu zbiorów postaci  [0, p], gdzie p>0, ma element największy: Dla jednego takiego zbioru jest to oczywiście prawda (tym elementem jest wówczas p). Załóżmy teraz, że suma każdych n zbiorów postaci  [0, p], gdzie p>0, ma element największy, i rozpatrzmy zbiór [0, p1][0, p2]… [0, pn][0, pn+1] (z pi>0 i). Suma pierwszych n przedziałów ma element największy na mocy założenia ind. Oznaczmy go przez P. Wówczas suma wszystkich n+1 przedziałów też ma element największy – jest nim max(P, pn+1). Wobec tego zasada ind. mat. orzeka, że rzeczywiście – suma dowolnie wielu zbiorów postaci  [0, p], gdzie p>0, ma element największy. Popatrzmy jednak na zbiór [0, 2-1/1][0, 2-1/2] [0, 2-1/3]… albo co gorsza po prostu na [0, 1][0, 2] [0, 3]… (tu i tu sumujemy nieskończenie wiele przedziałów) – żadna z tych sum nie ma elementu największego!! Co jest nie tak?!

GRANICE CIĄGÓW (każdy przykład po 4 pkt.)
1. Znajdź granicę ciągu, ew. stwierdź, że nie istnieje:
, , , .
2. Znajdź (ew. stwierdź, że nie istnieje) .
3. Uzasadnij, że 0/0 jest jako granica symbolem nieoznaczonym.
6*. Co powiesz o zbieżności szeregu ? (Nie warto próbować użyć kryterium całkowego!)

GRANICE FUNKCJI, 2 grupy (każdy przykład po 5 pkt.)
0. Znajdź albo uzasadnij, że nie istnieje: a) , b) ,
c) , d) , e) 

a) , b) , c) , d) , e) 
1. Napisz, co w sensie Cauchy’ego znaczy, że . A ?
6*. Co dzieje się z pierwiastkami funkcji  f(x) = ax2+5x+3, kiedy a0?
a)	Wylicz. b) Spróbuj opisać takie zachowanie funkcji.

POCHODNE, 2 grupy (każde zadanie po 5 pkt.)

1. Oblicz z definicji pochodną  f(x) = (x2−3).
2. Oblicz pochodną (nie musi być z definicji) funkcji .

3. Naszkicuj jak najdokładniej przykładową zależność od czasu położenia, prędkości i przyspieszenia ciała, które w chwili 0 rozpoczyna ruch z prędkością (-3) i porusza się coraz wolniej aż do zatrzymania.
Jak widać na wykresie położenia, ile wynosi prędkość początkowa?
4. Obok wykres f ’(x). Naszkicuj wykresy f(x) i f ’’(x). Opisz słowami
(„jest stała / rośnie / maleje jednostajnie / coraz szybciej / wolniej”) poszczególne przedziały zmienności f.
Czy możliwa jest równość  f(0) = 5 ?
3.bis* Podaj wszystkie możliwe typy rozwiązań zad. 3 (wykresy) przy założeniu, że przyspieszenie tego ciała jest liniową funkcją czasu.

1. Oblicz z definicji pochodną  f(x) = (x2−5).

2. Oblicz pochodną (nie musi być z definicji) funkcji .
3. Naszkicuj jak najdokładniej przykładową zależność od czasu położenia, prędkości i przyspieszenia ciała, które od chwili 0 coraz szybciej porusza się do tyłu aż do osiągnięcia prędkości -4.
Jak widać na wykresie położenia, ile wynosi prędkość końcowa?
4. Obok wykres f ’(x). Naszkicuj wykresy f(x) i f ’’(x). Opisz słowami („jest stała / rośnie / maleje jednostajnie / coraz szybciej / wolniej”) poszczególne przedziały zmienności f.
Czy możliwa jest równość  f(0) = 3 ?
3.bis* Podaj wszystkie możliwe typy rozwiązań zad. 3 (wykresy) przy założeniu, że przyspieszenie tego ciała jest liniową funkcją czasu.

Poprawa II terminu dodatkowego (4·5 pkt.)
0. Oblicz z definicji pochodną funkcji .
1. Oblicz pochodną funkcji .
2. Naszkicuj, zaznaczając wszystko, co da się stwierdzić, wykresy  i , jeśli  wygląda tak: [...]
Co dzieje się z f na poszczególnych przedziałach – jest stała / rośnie / maleje jednostajnie / coraz szybciej / wolniej?
3. Naszkicuj wykresy położenia, prędkości i przyspieszenia ciała, które, poruszając się w chwili 0 z prędkością 2, zaczyna ją zmniejszać do 1 ze stałym opóźnieniem a, a następnie zwiększać do wartości 4, najpierw coraz szybciej, a potem coraz wolniej. Na wykresach podpisz wszystko, co wynika z tych danych. Po czym poznać, czy na Twoim wykresie przyspieszenie przekracza |a|?
*. Czy funkcja  ma ciągłą pochodną?
	BADANIE FUNKCYJ
0. Zbadaj (ustal o niej wszystko, co umiesz, i możliwie dokładnie narysuj wykres, opisując jego charakterystyczne punkty) funkcję  f(x) = 2x + 1/x5.
1. Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = xe3x?
6*. Udowodnij, że  x > 4  lnx < x. (Można to pokazać, korzystając z posiadanej przez nas wiedzy o odpowiednich funkcjach oraz metody indukcji mat., ale jest to rozwiązanie dość żmudne i wcale nie tak proste, a przecież znamy pochodne...)

Wyciąg [z] ważnych treści:

  (dla tych  i x, dla których obie strony mają sens)