\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage{amsmath,amsthm}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
\setlength{\evensidemargin}{0 pt} \setlength{\oddsidemargin}{0 pt}
\setlength{\textwidth}{16 cm} \setlength{\textheight}{24 cm}
\setlength{\topmargin}{0 pt} \setlength{\headheight}{0 pt}
\setlength{\headsep}{0 pt} \setlength{\voffset}{0.4cm}
\def\en{\mathbf N}
\def\zet{\mathbf Z}
\def\er{\mathbf R}
\def\ce{\mathbf C}
\def\aj{{\rm \bf i}}
\pagestyle{plain}
\begin{document}
\title{Analiza matematyczna\\
\medskip Lista zadań 14\\
\medskip 17.01.11} \maketitle
\begin{enumerate}
\item Zbadaj zbieżność podanych wzorami ciągów funkcyjnych, oraz
    zbieżność jednostajną na podanych zbiorach:
    \halign{\hspace{1.3cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil\cr
    (a)\quad$f_n(x)=\sqrt{x^4+\displaystyle\frac{x^2}{n}},\ (-\infty,\infty)$,&
    (b)\quad$f_n(x)=\sqrt[n]{1+x^{2n}},\ (-\infty,\infty)$,\cr
    (c)\quad$f_n(x)=x^n-x^{2n},\ [0,1]$,&
    (d)\quad$f_n(x)=\sin\Big(\displaystyle\frac{x}{n}\Big),\ [0,\pi]$,\cr
    (e)\quad$f_n(x)=\sin^n(x),\ (-\infty,\infty)$,&
    (f)\quad$f_n(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x+n},\ [0,\infty)$,\cr
    (g)\quad$f_n(x)=\displaystyle\frac{1}{1+(x+n)^2},\ (-\infty,\infty)$,&
    (h)\quad$f_n(x)=\displaystyle\frac{1}{nx},\ (0,1]$,\cr
    (i)\quad$f_n(x)=\displaystyle\frac{nx}{1+nx^2},\ [-1,1]$,&
    (j)\quad$f_n(x)=\displaystyle\frac{nx}{1+n^2x^2},\ [-1,1]$,\cr
    (k)\quad$f_n(x)=n\sin\Big(\displaystyle\frac{x}{n}\Big),\ [-1,1]$,&
    (l)\quad$f_n(x)=nx^{-nx^2},\ [-1,1]$.\cr}
\medskip
\item Wyznacz zbiór, na którym zbieżny jest podany szereg funkcyjny,
    oraz sprawdź, czy zbieżność jest jednostajna:
    \halign{\hspace{1.3cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil\cr
    (a)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\,e^{-nx^2}$,&
    (b)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n\sqrt{1+nx}}$,&
    (c)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(n\,x)}{10^n}$,\cr
    (d)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\,e^{-nx}$,&
    (e)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!\,x^n}$,&
    (f)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{n^3+x^2}}$,\cr
    (g)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n\,x^n}{n^2}$,&
    (h)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty2^n\,x^n$,&
    (i)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{5^n\,x^n}{n}$,\cr
    (j)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\big(\sqrt{x\,(1-x)}\big)^n$,&
    (k)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}$,&
    (l)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin\Big(\frac{x}{n^2}\Big)$,\cr
    (m)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{x}{x^2+n^2}$,&
    (n)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\sin(nx)$.&\cr}
\medskip
\item Udowodnij, że następujące szeregi funkcyjne są jednostajnie zbieżne na
    całej prostej $(-\infty,\infty)$:
    \newline (a)\quad$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(nx)}{n!}$, \qquad
    (b)\quad $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{10^n}$, \qquad
    (c)\quad $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{x^2+n^2}$.
\medskip
\item Udowodnij, że szereg funkcyjny
    $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n\sqrt{1+nx}}$ jest zbieżny
    jednostajnie na zbiorze $[0,\infty)$.
\medskip
\item Udowodnij, że szereg funkcyjny
    $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\log(1+nx)}{n\,x^n}$ jest zbieżny
    punktowo, ale nie jednostajnie na zbiorze $[1,\infty)$, oraz że jest
    zbieżny jednostajnie na zbiorze $[2,\infty)$.
\medskip
\item Znajdź pochodną $f'$ oraz całkę nieoznaczoną $\int f(x)\,dx$
    następujących funkcji:
    \halign{\hspace{1.3cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil\cr
    (a)\quad$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}\,x^n$,&
    (b)\quad$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1}\,x^n$,\cr
    (c)\quad$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(n+1)\,x^n$,&
    (d)\quad$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty x^n$.\cr}
\medskip
\item ,,Zwiń'' następujące szeregi potęgowe, to znaczy znajdź wzór na sumę, i
    określ dziedzinę tak powstałej funkcji:
    \halign{\hspace{1.3cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil&\hspace{1cm}#\hfil\cr
    (a)\quad$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$,&
    (b)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\,x^{2n}$,&
    (c)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^2\,x^{2n}$,\cr
    (d)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\,n\,x^n$,&
    (e)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\,(n+1)\,x^n$,&
    (f)\quad$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\,(n+1)\,(n+2)\,x^n$.\cr}
\end{enumerate}
\end{document}
