\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 27.\\
\\
Regu�a de l'Hospitala i inne ciekawe rzeczy
\endhead
\medskip
Istnieje bardzo wygodne narz�dzie do obliczania granic funkcji w punktach (lub w
$\pm\infty$). Metoda ta ma zastosowanie na przyk�ad w sytuacjach gdy mamy policzy� granic� ilorazu,
w kt�rym i licznik i mianownik d��� do 0.
\medskip

27.1. Wyra�enia nieoznaczone $0/0$. Niech b�d� dane dwie funkcje $F(x)$ i $G(x)$ i punkt $x_0$.
Za��my, �e $F(x)$ i $G(x)$ s� w otoczeniu $x_0$ ci�g�e, i maj� tam ci�g�e pochodne. Dodatkowo za��my,
�e dla $x\neq x_0$ $G'(x)\neq0$. Je�eli
$$
\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}G(x)=0,\tag1
$$
to u�amek $F(x)/G(x)$ nazywamy {\it wyra�eniem nieoznaczonym typu 0/0 w $x_0$}.
W powy�szej sytuacji prawdziwe jest nast�puj�ce twierdzenie
\proclaim{Twierdzenie (Regu�a de l'Hospitala)} Je�eli istnieje granica
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)},
$$
to istnieje tak�e granica
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)}{G(x)},
$$
i obie granice s� sobie r�wne
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)}.
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Dow�d tego twierdzenia jest natychmiastow� konsekwencj� uog�lnionego twierdzenia o
warto�ci �redniej (twierdzenie 21.1.). We�my punkt $x\neq x_0$. Istnieje wtedy punkt $\xi$ pomi�dzy
$x_0$ i $x$ taki, �e
$$
\frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}.
$$
($F(x_0)$ i $G(x_0)$ mo�emy opu�ci� we wzorze, bo zgodnie z za�o�eniem s� zerami.) Tak wi�c, je�eli
$x$ jest blisko $x_0$, to $\xi$ jest r�wnie� blisko $x_0$, wi�c prawa strona jest blisko swojej
granicy w $x_0$, wi�c lewa strona r�wnie� musi by� blisko tej granicy. \qed
\enddemo
\medskip

27.2. Przyk�ady. (a) Obliczymy
$$
\lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{2x}}{x^3-8}.
$$
Stosujemy regu�� de l'Hospitala:
$$
\lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt{2x}}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{1-1/\sqrt{2x}}{3x^2}
=\frac{1-1/4}{12}=\frac1{16}.
$$
(b) Regu�� de l'Hospitala mo�na stosowa� wielokrotnie. Mo�e si� zdarzy�, �e u�amek $F'(x)/G'(x)$ jest
znowu wyra�eniem nieoznaczonym typu 0/0.
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin x-e^x+1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^x}{2x}
=\lim_{x\to0}\frac{-\sin x-e^x}{2}=-\frac12.
$$
\medskip

27.3. Wyra�enia nieoznaczone postaci $\infty/\infty$. Niech funkcje $F(x)$ i $G(x)$ maj� wszystkie
w�asno�ci z punktu 27.1., i zamiast (1) spe�niaj�
$$
\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}G(x)=+\infty.\tag2
$$
Wtedy u�amek $F(x)/G(x)$ nazywamy {\it wyra�eniem nieoznaczonym postaci $\infty/\infty$ w $x_0$}, i
prawdziwe jest nast�puj�ce twierdzenie.
\proclaim{Twierdzenie (Regu�a de l'Hospitala)} Je�eli istnieje granica
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)},
$$
to istnieje te� granica
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F(x)}{G(x)},
$$
i obie granice s� sobie r�wne.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Dow�d tylko naszkicujemy. Niech
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=L.
$$
Niech $x_1\neq x_0$, i rozwa�my dowolny punkt $x$ pomi�dzy $x_0$ i $x_1$. Wykorzystuj�c uog�lnione
twierdzenie o warto�ci �redniej otrzymujemy punkt $\xi$, pomi�dzy $x$ i $x_1$ taki, �e
$$
\frac{F(x)-F(x_1)}{G(x)-G(x_1)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}.\tag3
$$
W poprzednim dowodzie zamiast $x$ wzi�li�my $x_0$, i wykorzystuj�c (1) pomin�li�my $F(x_0)$ i
$G(x_0)$. Obecnie wykorzystuj�c (2) zauwa�amy, �e po lewej stronie, gdy $x$ jest blisko $x_0$,
istotne staj� si� tylko warto�ci $F(x)$ i $G(x)$. Zapiszmy t� obserwacj�:
$$
\frac{F(x)-F(x_1)}{G(x)-G(x_1)}=\frac{F(x)}{G(x)}\ \frac{1-(F(x_1)/F(x))}{1-(G(x_1)/G(x))},
$$
czyli (3) mo�e by� zapisane jako
$$
\frac{F(x)}{G(x)}=\frac{1-(G(x_1)/G(x))}{1-(F(x_1)/F(x))}\ \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}.\tag4
$$
Prawa strona sk�ada si� z dw�ch u�amk�w. Zauwa�my, �e je�eli $x_0$ jest wystarczaj�co blisko $x_0$,
to drugi u�amek jest dowolnie blisko swojej granicy $L$ (niezale�nie od wyboru $x$ pomi�dzy $x_1$ i
$x_0$). Z drugiej strony, przy ustalonym $x_1$ mo�emy dobra� $x$ tak bliskie $x_0$, aby pierwszy
u�amek (4) by� dowolnie blisko 1. Wynika to z faktu, �e granica pierwszego u�amka przy $x\to x_0$
wynosi 1. Iloczyn obu u�amk�w jest wi�c dowolnie bliski $L$, dla $x_1$ wystarczaj�co bliskiego
$x_0$. \qed
\enddemo
Jak wynika z powy�szego dowodu, warunek (2) mo�na zast�pi� warunkiem
$$
\lim_{x\to x_0}|F(x)|=\lim_{x\to x_0}|G(x)|=+\infty.\tag5
$$
\medskip

27.4. Przyk�ad. Znajdziemy granic�
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\log\sin^2 x}{\ctg x}.
$$
Zauwa�my, �e granica licznika wynosi $-\infty$, podczas kiedy granica mianownika nie istnieje:
lewostronna wynosi $-\infty$, a prawostronna $+\infty$. Z drugiej strony (5) jest spe�nione, wiec
korzystamy z regu�y de l'Hospitala
$$
\lim_{x\to 0}\frac{\log\sin^2 x}{\ctg x}=\lim_{x\to0}\frac{(1/\sin^2x)2\sin x\cos x}{-1/\sin x}
=\lim_{x\to0}(-2\sin x\cos x)=0.
$$
\medskip

27.5. Oba powy�sze twierdzenia pozostaj� prawdziwe, je�eli granice zast�pi� wsz�dzie granicami
jednostronnymi, i dowody mo�na pozostawi� bez zmian. Na przyk�ad
$$
\lim_{x\to\pi/2^+}\frac{\log\tg x}{\tg x}=\lim_{x\to\pi/2^+}\frac{(1/\tg x)1/\cos^2 x}{1/\cos^2 x}
=\lim_{x\to\pi/2^+}\frac1{\tg x}=0.
$$
Podobnie, twierdzenia pozostaj� prawdziwe je�eli granica
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{F'(x)}{G'(x)}
$$
jest niew�a�ciwa $\pm\infty$. Oba twierdzenia s� te� prawdziwe w przypadku gdy $x_0=\pm\infty$.
Obliczmy
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctg 2/x}{1/x}.
$$
U�amek jest wyra�eniem nieoznaczonym postaci 0/0 w $+\infty$. Zastosujemy wi�c regu�� do
l'Hospitala.
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctg 2/x}{1/x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(1/(1+4/x^2))(-2/x^2)}{-1/x^2}=
\lim_{x\to+\infty}\frac2{1+4/x^2}=2.
$$
\medskip

27.6. Inne wyra�enia nieoznaczone. Wiele innych granic mo�na sprowadzi� do rozpatrywanych powy�ej
przypadk�w.
\newline $0\cdot\infty$. Na przyk�ad $\lim_{x\to0^+}x\log x$. Sprowadzamy to to wyra�enia
$\infty/\infty$.
$$
\lim_{x\to0^+}x\log x=\lim_{x\to0^+}\frac{\log
x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.
$$
$\infty-\infty$. Na przyk�ad
$$
\align
\lim_{x\to0}\left(\ctg x-\frac1x\right)&=\lim_{x\to0}\frac{\ctg x}x\left(x-\frac1{\ctg
x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{x-\tg x}{x\tg x}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{1-1/\cos^2x}{\tg x+x/\cos^2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos^2x-1}{\sin x\cos x+x}\\
&=\lim_{x\to0}\frac{-\sin^2x}{(1/2)\sin 2x+x}=\lim_{x\to0}\frac{-2\sin x\cos x}{\cos 2x+1}\\
&=\frac02=0,
\endalign
$$
gdzie regu�a de l'Hospitala zosta�a zastosowana dwukrotnie.
\newline
$1^\infty$. Na przyk�ad
$$
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x.
$$
Rozwa�my funkcj�
$$
\varphi(x)=\log\left(1+\frac1x\right)^x.
$$
Wtedy
$$
\align
\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)&=\lim_{x\to+\infty}\log\left(1+\frac1x\right)^x=\lim_{x\to+\infty}
x\log\left(1+\frac1x\right)\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\log(1+1/x)}{1/x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/(1+1/x)(-1/x^2)}{-1/x^2}\\
&\lim_{x\to+\infty}\frac1{1+1/x}=1.
\endalign
$$
\enddocument
