\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 26.\\
\\
Funkcje analityczne
\endhead

\medskip
\proclaim{26.1. Twierdzenie} Niech szereg pot�gowy
$$
\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j\tag1
$$
b�dzie zbie�ny dla $|x-x_0|<R$ przy czym $R>0$ (czyli ma �ci�le dodatni promie� zbie�no�ci).
Oznaczmy jego sum� przez $f(x)$. Innymi s�owy, funkcja $f(x)$ jest okre�lona dla $|x-x_0|<R$ wzorem
$$
f(x)\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j.
$$
Wtedy funkcja $f(x)$ jest ci�g�a i r�niczkowalna w przedziale $(x_0-R, x_0+R)$ oraz
$$
\gather
f'(x)=\sum_{j=1}^\infty ja_j(x-x_0)^{j-1},\tag2\\
\int_{x_0}^xf(t)\,dt=\sum_{j=0}^\infty\frac{a_j}{j+1}(x-x_0)^{j+1}.\tag3
\endgather
$$
\endproclaim
Jak wida�, szeregi pot�gowe (o �ci�le dodatnim promieniu zbie�no�ci) mo�na r�niczkowa� i ca�kowa�
wyraz za wyrazem, jak wielomiany. Udowodnimy tylko, �e szeregi (1), (2) i (3) maj� te same
promienie zbie�no�ci. Fakt, �e suma szeregu (2) jest r�wna pochodnej funkcji $f(x)$, a suma
szeregu (3) jest r�wna pierwotnej funkcji $f(x)$
opuszczamy.
\demo{Dow�d} Niech $R,R_1,R_2$ b�d� promieniami zbie�no�ci
szereg�w (1),(2) i (3) odpowiednio. Za��my, �e $R>0$. Niech
$0<\rho<R$. Wtedy z lematu Abela wynika, �e dla pewnej sta�ej $M$
mamy $|a_n|\xleq \frac{M}{\rho^n}$, sk�d dla $|x-x_0|<\rho$
$$
\align
\left|na_n(x-x_0)^{n-1}\right|&\xleq n\frac{M}{\rho}\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}
\right)^{n-1},\\
\left|\frac{a_n(x-x_0)^{n+1}}{n+1}\right|&\xleq\frac{M|x-x_0|}{n+1}
\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^n\\
&\xleq M|x-x_0|\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^n.
\endalign
$$
Wynika st�d, �e wyrazy szeregu (2) i (3) s� co do
bezwzgl�dnej warto�ci nie wi�ksze ni� odpowiednie wyrazy
bezwzgl�dnie zbie�nych szereg�w
$$
\gather
\sum_{j=1}^\infty j\frac{M}{\rho}\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^{j-1},\\
\sum_{j=1}^\infty M|x-x_0|\left(\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^j.
\endgather
$$
Zbie�no�� pierwszego szeregu wynika natychmiast z kryterium
por�wnawczego. Mo�na te� �atwo udowodni� (by�o to zrobione), �e jego suma jest
r�wna
$$
\frac{M}{\rho}\left(1-\frac{|x-x_0|}{\rho}\right)^{-2}.
$$
U�ywaj�c kryterium por�wnawczego, widzimy, �e
szeregi (2) i (3) s� bezwzgl�dnie zbie�ne dla $|x-x_0|<\rho<R$,
co dowodzi, �e $R_1\xgeq R$ i $R_2\xgeq R$. Ale szereg (1)
powstaje z szeregu (2) przez ca�kowanie wyrazu po wyrazie, a z szeregu (3) przez
r�niczkowanie wyrazu po wyrazie. A wi�c $R\xgeq R_2$ i $R\xgeq R_1$, co
daje $R=R_1=R_2$.\qed
\enddemo
\medskip

26.2. Przyk�ad. Wiemy, �e funkcja wyk�adnicza $x\to f(x)=e^x$ spe�nia r�wnanie
r�niczkowe
$$
f'(x) = f(x)
$$
z warunkiem $f(0)=1$.
Chcemy przedstawi� funkcj� wyk�adnicz� w postaci szeregu pot�gowego
$$
f(x) = \sum_{j=0}^\infty a_j x^j.
$$
Poniewa� $f(0) = a_0$, mamy $a_0=1$. Innymi s�owy, chcemy wi�c funkcj� $f$
napisa� w postaci szeregu
$$
f(x) = 1+ a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\dots,\tag4
$$
przy czym zak�adamy, �e szereg mo�na r�niczkowa� wyraz za wyrazem
$$
f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\dots.
$$
Wtedy, poniewa� $f'(x)=f(x)$ por�wnuj�c wsp�czynniki przy
kolejnych  pot�gach $x$ mamy
$$
a_1=1,\quad 2a_2=a_1,\quad 3a_3=a_2,\quad 4a_4 =a_3\quad\dots,
$$
czyli
$$
a_1=1,\quad a_2=\frac{1}{2},\quad a_3=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3},\quad a_4=
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4},\dots.
$$
St�d
$$
f(x)= 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots.
$$
W ten spos�b, przy za�o�eniu, �e $f(x)$ mo�na zapisa� przy pomocy szeregu pot�gowego (4), i �e
szereg ten mo�na r�niczkowa� wyraz za wyrazem, uzyskali�my powy�szy szereg.
Aby sprawdzi�, �e tak otrzymany szereg jest zbie�ny, mo�emy
zastosowa� kryterium ilorazowe
$$
\lim_{n\to\infty}\frac{\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\right|}{\left|
\frac{x^n}{n!}\right|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0,
$$
co pokazuje, �e szereg ten jest zbie�ny dla ka�dego $x$.
W ten spos�b otrzymali�my rozwini�cie funkcji wyk�adniczej w szereg pot�gowy niezale�nie od wzoru
Taylora.

\medskip

26.3. Za��my, �e funkcja $x\to f(x)$ mo�e by� zapisana w
postaci szeregu
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\tag5
$$
kt�rego promie� zbie�no�ci $R$ jest �ci�le dodatni.
Stosuj�c wielokrotnie twierdzenie 26.1 otrzymujemy
$$
f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1},\quad f''(x)=\sum_{n=2}^\infty n(n-
1)a_n(x-x_0)^{n-2},
$$
i og�lnie
$$
f^{(j)}(x)=\sum_{n=j}^\infty n(n-1)\cdots(n-
j+1)a_n(x-x_0)^{n-j}.
$$
Podstawiaj�c w powy�szych szeregach $x=x_0$ otrzymujemy
$$
f(x_0)=a_0,\quad f'(x_0)=a_1,\quad f''(x_0)=2a_2,\quad f'''(x_0)=2\cdot3a_3,\quad
\dots\quad f^{(j)}(x_0)=j!a_j,
$$
sk�d
$$
a_j=\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}.
$$
Widzimy, �e je�li funkcja $f$ mo�e by� przedstawiona w postaci szeregu (5), to tylko w jeden spos�b
$$
f(x)=\sum_{j=0}^\infty a_j(x-
x_0)^j=\sum_{j=0}^\infty\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j.
$$
Szereg ten nazywamy {\bf szeregiem Taylora} funkcji $f(x)$. Je�li
$x_0=0$, to szereg ten nazywa si� szeregiem Maclaurina funkcji
$f(x)$.

\medskip

\definition{Definicja 26.4} Funkcja $x\to f(x)$ nazywa si�
analityczna w otoczeniu punktu $x_0$ je�li da si� przedstawi� w
postaci szeregu pot�gowego
$$
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,\tag6
$$
kt�rego promie� zbie�no�ci $R$ jest �ci�le dodatni.
\enddefinition
Funkcja analityczna ma pochodne wszystkich rz�d�w w punkcie $x_0$
i w jego otoczeniu. Istniej� funkcje $f(x)$, kt�re
maj� pochodne
wszystkich rz�d�w, ale ich szereg Taylora mo�e mie� promie�
zbie�no�ci r�wny zero, albo nie by� zbie�ny do funkcji $f(x)$.


\medskip

26.5. Przyk�ady.

(a) Funkcja $x\to 1/x$ jest analityczna w otoczeniu
ka�dego punktu $x_0\neq 0$. Istotnie
$$
\align
\frac{1}{x} =& \frac{1}{x_0+(x-x_0)}=\frac{1}{x_0}\frac{1}{1+\frac{x-x_0}{x_0}}\\
=& \frac{1}{x_0}\left(1-\frac{x-x_0}{x_0}+\left(\frac{x-
x_0}{x_0}\right)^2-\left(\frac{x-x_0}{x_0}\right)^3+\dots\right)\\
=&\sum_{j=0}^\infty\frac{(-1)^j}{x_0^{j+1}}(x-x_0)^j,
\endalign
$$
przy czym szereg ten jest zbie�ny dla
$$
\left|\frac{x-x_0}{x_0}\right|<1,
$$
czyli dla $x$ ze zbioru $\{x:|x-x_0|<|x_0|\}$.

(b) Funkcja wyk�adnicza jest analityczna w ka�dym punkcie
$x_0$.
Istotnie
$$
e^x=e^{x_0}e^{x-x_0}=e^{x_0}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}(x-x_0)^j=
\sum_{j=0}^\infty\frac{e^{x_0}}{j!}(x-x_0)^j.
$$

(c) Funkcja
$$
f:x\to \cases e^{\frac{1}{x^2}}\quad\text{dla}& x\neq 0\\
0\quad\text{dla}& x=0
\endcases
$$
ma wszystkie pochodne w punkcie $0$ r�wne $0$, tzn,
wsp�czynniki
szeregu Taylora funkcji $f$ w  zerze s� r�wne zero, sk�d wynika,
�e szereg ten
jest zbie�ny do funkcji r�wnej zero. Nie jest wi�c zbie�ny do
funkcji $f(x)$, gdy� dla $x\neq 0$ mamy $f(x)\neq 0$.

(d) Oto szeregi Taylora niekt�rych funkcji w punkcie $x_0=0$.
$$
\gather
e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots\qquad R=\infty,\qquad
e^{-x}= 1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\dots\qquad R=\infty\\
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots,\qquad R=\infty,\qquad
\cosh x= 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots,\qquad R=\infty,\\
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots,\qquad R=\infty,\qquad
\sinh x= x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots,\qquad R=\infty,\\
\log (1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots,\qquad R=1,\qquad
\arctg x =  x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots,\quad\quad R=1.
\endgather
$$
\enddocument
