\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 25.\\
\\
Szeregi
\endhead

\medskip
25.1. {\it Szeregiem geometrycznym} nazywamy szereg
$$
\sum_{j=0}^\infty q^j.
$$
Szereg ten jest zbie�ny dla $|q|<1$ oraz rozbie�ny dla $|q|\xgeq
1$, bo
$$
\li\sum_{j=0}^n q^j=\li\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}.
$$
\medskip

25.2.Przyk�ad. Szereg $\sum_{j=1}^\infty jq^{j-1}$ jest zbie�ny do
$\frac{1}{(1-q)^2}$ dla $|q|<1$. Istotnie, mamy
$$
\sum_{j=0}^nq^j=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
$$
R�niczkuj�c obie strony po $q$ otrzymujemy
$$
\sum_{j=1}^njq^{j-1}=\frac{-(n+1)q^n(1-q)+1-q^{n+1}}{(1-q)^2},
$$
sk�d
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^njq^{j-1}=\li\frac{-(n+1)q^n(1-q)+1-q^{n+1}}
{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}.
$$

\medskip

25.3. Z twierdzenia o granicach ci�g�w zastosowanych do
ci�g�w sum cz�ciowych mamy
$$
\sum_{j=0}^\infty a_j= A\quad,\sum_{j=0}^\infty b_j= B\quad\rightarrow\quad\sum_{j=0}^\infty
ca_j= cA\quad\sum_{j=0}^\infty (a_j+b_j)= A+B.
$$
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 25.4} Niech $\sum_{j=0}^\infty a_j$ b�dzie
szeregiem o wyrazach nieujemnych czyli $a_j\xgeq 0$, $j=0,1,2,\dots$.
Wtedy, je�li ci�g sum cz�ciowych jest ograniczony, czyli $\exists_M\quad
\forall_n\quad\sum_{j=0}^n a_j\xleq M$, to szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$
jest zbie�ny.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Istotnie, je�li $a_j\xgeq 0$, to ci�g sum cz�ciowych jest
niemalej�cy, a wi�c je�li jest ograniczony to jest zbie�ny.\qed
\enddemo
Je�li szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$ o wyrazach nieujemnych jest zbie�ny, to
piszemy
$$
\sum_{j=0}^\infty a_j<\infty.
$$
\medskip

\proclaim{Definicja 25.5} M�wimy, �e szereg $\sum_{n=0}^\infty a_n$ jest
bezwzgl�dnie zbie�ny, je�li szereg $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ jest zbie�ny.
\endproclaim
\proclaim{Twierdzenie} Je�li szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$ jest bezwzgl�dnie
zbie�ny, to jest zbie�ny.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Mamy
$$
\left|\sum_{j=m}^n a_j\right|\xleq \sum_{j=m}^n|a_j|,
$$
czyli szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$ musi spe�nia� warunek Cauchy'ego, je�li szereg
$\sum_{j=0}^\infty |a_j|$ spe�nia.\qed
\enddemo

\medskip

\proclaim{Twierdzenie (Test Por�wnawczy) 25.6} Niech $\sum_{j=0}^\infty a_j$ i $\sum_{j=0}^\infty b_j$
b�d� dwoma szeregami i niech wyrazy $b_j$ b�d� nieujemne: $b_j\xgeq 0$. Wtedy, je�eli
$$
|a_j|\xleq b_j,\quad j=0,1,2,\dots,\quad\text{oraz}\quad\sum_{j=0}^\infty b_j<\infty,
$$
to szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$ te� jest zbie�ny.
\endproclaim
\demo{Dow�d}
Mamy
$$
\left|\sum_{j=m}^n a_j\right|\xleq\sum_{j=m}^n |a_j|\xleq \sum_{j=m}^nb_j,
$$
czyli szereg $\sum a_j$ spe�nia warunek Cauchy'ego, wi�c jest zbie�ny.\qed
\enddemo
\medskip

25.7. Przyk�ad. Niech
$$
x=a,a_1a_2\dots
$$
b�dzie liczb� rzeczywist�. Wtedy
$$
x=\li \left(a+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\dots+\frac{a_n}{10^n}\right)=a+\li
\sum_{j=1}^n\frac{a_j}{10^j}=a+\sum_{j=1}^\infty\frac{a_j}{10^j}.
$$
Istotnie,
$$
\frac{a_j}{10^j}\xleq \frac{9}{10^j},
$$
oraz
$$
\sum_{j=1}^\infty\frac{9}{10^j}=\frac{9}{10}\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{10^j}=1.
$$

\medskip

\proclaim{Twierdzenie (Test Ca�kowy) 25.8} Niech $\bold R^+\ni t\to f(t)$ b�dzie
funkcj� ci�g��, nieujemn� i nierosn�c�. Wtedy ca�ka niew�a�ciwa
$$
\int_1^\infty f(t)dt=\li\int_1^n f(t)dt
$$
istnieje wtedy i tylko wtedy gdy
$$
\sum_{n=1}^\infty f(n)<\infty.
$$
\endproclaim
Test jest uog�lnieniem rozumowania w 24.9.
\demo{Dow�d twierdzenia} Zauwa�my, �e poniewa� wykres funkcji $f$ maleje, wi�c
$$
f(2)+f(3)+\dots+f(n)\xleq \int_1^nf(t)dt\xleq f(1)+f(2)+\dots+f(n-1).
$$
Wszystkie wyra�enia rosn� wraz z $n$, czyli s� zbie�ne, je�eli s� ograniczone od g�ry.
Je�eli zbie�ny jest szereg to prawa nier�wno�� poci�ga istnienie ca�ki niew�a�ciwej. Je�eli
istnieje ca�ka niew�a�ciwa, to lewa nier�wno�� poci�ga zbie�no�� szeregu. Wynika st�d tak�e, �e
$$
\int_2^\infty f(t)\,dt \xleq\sum_{j=2}^\infty f(j)\xleq\int_1^\infty f(t)\, dt,
$$
je�eli wyra�enia s� zbie�ne.\qed
\enddemo

\medskip

\proclaim{Twierdzenie (Test Ilorazowy) 25.9} Niech $\sum_{j=0}^\infty a_j$ b�dzie szeregiem o
wyrazach dodatnich. Wtedy
$$\gather
\li\frac{a_{n+1}}{a_n}<1\quad\rightarrow\quad \sum_{j=0}^\infty a_j<\infty,\\
\li\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\quad\rightarrow\quad \sum_{j=0}^\infty a_j=\infty,
\endgather
$$
(czyli jest rozbie�ny).
\endproclaim
\demo{Dow�d}
Istotnie, je�li $\li\frac{a_{n+1}}{a_n}= L <1$, to dla $\eta$
takiego, �e $L<\eta<1$ istnieje $N$ takie, �e dla wszystkich $n>N$
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}<\eta,
$$
czyli
$$
a_{n+1}<\eta a_n.
$$
Wynika st�d, �e
$$
a_{N+2}<\eta a_{N+1},\quad a_{N+3}<\eta^2a_{N+1},\quad\dots\quad a_{N+k}<\eta^{k-1}a_{N+1}.
$$
St�d, szereg
$$
\sum_{k=N+1}^\infty a_k
$$
ma wyrazy nie wi�ksze ni� szereg
$$
a_{N+1}\sum_{j=0}^\infty\eta^j,
$$
co przez kryterium por�wnawcze daje pierwsz� cz��
testu ilorazowego. Je�li $\li\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$, to (podobnie jak powy�ej) dla
$n>N$ mamy $a_n\xgeq a_{N+1}(1+\eta)^{n-N+1}$, czyli szereg $\sum_{j=N+1}^\infty a_j$ jest
rozbie�ny, bo
wyrazy szeregu nie d��� do zera.\qed
\enddemo
\medskip

25.10. Przyk�ady. (a) Szereg $\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{\sqrt{j!}}$ jest zbie�ny, bo
$\li\frac{a_{n+1}}{a_n}=\li\sqrt{\frac{n!}{(n+1)!}}=$
\linebreak
$=\li\frac{1}{\sqrt{n+1}}=0<1$.

(b) Kryterium ilorazowe nie zawsze pozwala rozstrzygn�� czy szereg
jest zbie�ny czy nie. Np. Szereg $\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{j^s}$ przy $s>1$ jest
zbie�ny a szereg $\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j^s}$ przy $0<s\leq 1$ jest
rozbie�ny, a w obu przypadkach $\li\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$.
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 25.11} Niech $a_0>a_1>a_2>\dots>0$ oraz
$\li a_n=0$. Wtedy szereg
$$
\sum_{j=0}^\infty (-1)^ja_j=a_0-a_1+a_2+\dots
$$
jest zbie�ny.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Sprawdzamy, �e szereg $\sum_{j=0}^\infty (-1)^ja_j$ spe�nia warunek Cauchy'ego.
Niech $m=2k$, $n=2l+1$ wtedy
$$
\sum_{j=m}^n(-1)^ja_j=(a_{2k}-a_{2k+1})+(a_{2k+2}-
a_{2k+3})+\dots+(a_{2l}-a_{2l+1})>0,
$$
oraz
$$
\sum_{j=m}^n(-1)^ja_j=a_{2k}-(a_{2k+1}-a_{2k+2})-(a_{2k+3}-
a_{2k+4})-\dots-(a_{2l-1}-a_{2l})-a_{2l+1}\xleq a_{2k}.
$$
Poniewa� $\lim_{k\to\infty}a_{2k}=0$, widzimy, �e dla dowolnego
$\epsilon>0$ istnieje $N\in \bold N$ takie, �e dla parzystych $m$ i nieparzystych
$n$
$$
\left|\sum_{j=m}^n (-1)^ja_j\right|<\epsilon,
$$
przy $n>m>N$. Je�li $n$ i $m$ s�
dowolne , to $|\sum_{j=k}^r a_j|$ r�ni si� od $|\sum_{j=m}^n
a_j|$ gdzie $m$ jest parzyste, a $n$ nieparzyste tylko co najwy�ej
o dwa wyrazy, kt�re d��� do zera. To dowodzi, �e szereg $\sum_{j=0}^\infty(-1)^ja_j$
spe�nia warunek Cauchy'ego.\qed
\enddemo

\medskip
\proclaim{Twierdzenie 25.12} Je�li szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j$ jest
bezwzgl�dnie zbie�ny, to jego suma nie zale�y od kolejno�ci sumowanych wyraz�w.
\endproclaim
Dow�d tego twierdzenia nie jest trudny, ale wymaga sprecyzowania,
co to znaczy przestawianie wyraz�w szeregu. Wiemy, �e je�li
tylko zmienimy miejscami sko�czenie wiele wyraz�w szeregu to
jego suma nie ulegnie zmianie, niezale�nie od tego czy szereg jest
zbie�ny bezwzgl�dnie czy tylko zbie�ny.

Zauwa�my, �e twierdzenie to nie jest prawdziwe dla szereg�w,
kt�re nie s� bezwzgl�dnie zbie�ne. Oczywi�cie
przestawiamy wyrazy bliskie z wyrazami dalekimi. Wiemy, �e szereg $\sum_{j=1}^\infty(-1)^j\frac{1}{j}$
jest zbie�ny, ale nie bezwzgl�dnie. Widzieli�my wcze�niej, �e w tym przypadku suma szeregu zale�y
od kolejno�ci sumowania wyraz�w.

\medskip

\proclaim{Twierdzenie Cauchy'ego o mno�eniu szereg�w 25.13}
Niech $\sum_{j=0}^\infty a_j=A$ i $\sum_{j=0}^\infty b_j=B$ b�d�
dwoma szeregami bezwzgl�dnie zbie�nymi. Wtedy
$$
AB=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{j+k=n}a_jb_k\right).
$$
\endproclaim
Sprawdzimy to twierdzenie na przyk�adzie, �e zachodzi dla szereg�w
$$
\sum_{j=0}^\infty\frac{a^j}{j!}= e^a,\quad \text{oraz}\quad  \sum_{j=0}^\infty\frac{b^j}{j!}= e^b.
$$
Istotnie,
$$
\align
\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{j+k=n}\frac{a^jb^k}{j!k!}\right)=&\sum_{n
=0}^\infty\sum_{j=0}^n\frac{a^jb^{n-j}}{j!(n-j)!}\\
=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^n\frac{n!}{j!(n-j)!}
a^jb^{n-j}\\
=&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}a^jb^{n-
j}\\
=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+b)^n}{n!} = e^{a+b}.
\endalign
$$
\medskip

25.14. Niech $a_0,a_1,\dots$ b�dzie ci�giem liczb, $x_0$ ustalon�
liczb� w przedziale $(a,b)$ a $x\in (a,b)$. {\it Szeregiem
pot�gowym} o wsp�czynnikach $a_0,a_1,\dots$ nazywamy szereg
$$
\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\dots.
$$
Je�li $x_0=0$ wtedy szereg pot�gowy ma posta�
$$
\sum_{j=0}^\infty a_jx^j.
$$
Dla ustalonego $x$ szereg pot�gowy jest zwyk�ym szeregiem liczbowym,
kt�ry mo�e by� zbie�ny lub nie. M�wimy wtedy, �e szereg pot�gowy jest zbie�ny lub nie ,,w punkcie $x$".
Oczywi�cie szereg pot�gowy jest zawsze zbie�ny w punkcie $x_0$,
bo wtedy $\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j= a_0+0+\dots$.
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 25.15} Niech $\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_)^j$ b�dzie
szeregiem pot�gowym. Istnieje liczba $R\xgeq 0$, by� mo�e r�wna
$+\infty$, kt�ra nazywa si� promieniem zbie�no�ci szeregu
pot�gowego, taka, �e szereg ten jest bezwzgl�dnie zbie�ny dla
wszystkich $x$ takich, �e $|x-x_0|<R$ i jest rozbie�ny dla
wszystkich $x$ takich, �e $|x-x_0|>R$. (Dla punkt�w $x$ takich, �e
takich, �e $|x-x_0|=R$ bywa r�nie.)
\endproclaim
Dow�d tego twierdzenia jest oparty na lemacie Abela.
\proclaim{Lemat Abela} Je�li szereg pot�gowy $\sum_{j=0}^\infty a_jx^j$ jest
zbie�ny dla pewnego $x=\rho\neq0$, to szereg ten jest zbie�ny
bezwzgl�dnie dla ka�dego $|x|<|\rho|$ oraz istnieje sta�a $M$
taka, �e
$$
\forall_j\quad |a_j|\xleq \frac{M}{|\rho|^j}.\tag1
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Zbie�no�� szeregu $\sum_{j=0}^\infty a_j\rho^j$ poci�ga, �e
$\lim_{j\to\infty}a_j\rho^j =0$. Wi�c $\exists_N$ takie, �e
$|a_j||\rho|^j<1$ dla $j>N$. Bior�c
$M=\max\{1,|a_0|,|a_1||\rho|,\dots,|a_N||\rho|^N\}$
otrzymujemy (1).

Je�li $|x|<|\rho|$, to $|\frac{x}{\rho}|<1$, sk�d wobec (1) mamy
$$
|a_jx^j|\xleq M\left|\frac{x}{\rho}\right|^j,
$$
a poniewa� $M\sum_{j=0}^\infty|\frac{x}{\rho}|^j$ jest zbie�ny, z kryterium por�wnawczego wynika,
�e $\sum_{j=0}^\infty a_jx^j$ jest bezwzgl�dnie zbie�ny.\qed
\enddemo

\medskip
\demo{Dow�d Twierdzenia 25.15} Z lematu Abela wynika, �e je�li
$$
R=\sup\left\{|\rho|:\sum_{j=0}^\infty a_j\rho^j\quad\text{jest zbie�ny}\right\},\tag2
$$
to $\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j$ jest bezwzgl�dnie zbie�ny dla $x$ takich,
�e $|x-x_0|<R$, bo $|x-x_0|<R\rightarrow |x-x_0|<|\rho|<R$ dla jakiego� $\rho$ ze zbioru w (2), a wtedy
$\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j$ jest zbie�ny.

Z drugiej strony, je�li $|x-x_0|>R$, to szereg $\sum_{j=0}^\infty a_j(x-x_0)^j$
jest rozbie�ny z definicji $R$: $R=\sup\{|\rho|:\sum_{j=0}^\infty
a_j\rho^j\quad\text{jest zbie�ny}\}$.\qed
\enddemo
\medskip
25.16. Przyk�ady. (a) Szereg $\sum_{j=0}^\infty j!x^j$ jest rozbie�ny dla ka�dego $x\neq 0$, bo
$\li n! |x|^n = \infty$ dla $x\neq 0$, wi�c wyrazy szeregu nie d���
do zera.
\newline (b) Szereg geometryczny $\sum_{j=0}^\infty x^j$ ma promie� zbie�no�ci r�wny
$1$, bo dla $|x|<1$ szereg jest bezwzgl�dnie zbie�ny, dla $|x|>1$
jest rozbie�ny.
\newline (c) Szereg $\sum_{j=0}^\infty\frac{1}{j!}{x^j}$ jest zbie�ny dla ka�dego $x$ do
$e^x$. Jego promie� zbie�no�ci jest r�wny $+\infty$.
\newline (d) Szereg $\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{j+1}x^j$ jest zbie�ny do $\log
(1+x)$. Jest bezwzgl�dnie zbie�ny dla $|x|<1$ i jest rozbie�ny
dla $|x|>1$, bo wtedy jego wyrazy d��� do $+\infty$. Wi�c jego
promie� zbie�no�ci jest r�wny $1$. Dla $x=1$ szereg ten jest
zbie�ny, a dla $x=-1$ rozbie�ny.
\newline (e) Szereg $\sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{2j+1}x^{2j+1}$ jest zbie�ny dla
$|x|<1$ i wtedy jego suma jest r�wna $\arctg x$. Jest rozbie�ny
dla $|x|>1$.
\enddocument
