\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 23.\\
\\
Ci�gi
\endhead

\medskip

23.1. {\it Ci�giem} nazywamy funkcj� okre�lon� na liczbach
naturalnych, do kt�rych cz�sto dodajemy jeszcze liczb� $0$:
$\bold N\ni n\to a(n)\in \bold R$. Zazwyczaj zamiast $a(n)$ piszemy $a_n$.
Cz�sto wypisujemy tylko {\it pocz�tkowe wyrazy ci�gu} $a_1,
a_2,a_3,\dots$ je�eli w spos�b jasny wynika z nich posta� {\it wyrazu og�lnego} $a_n$.
Na przyk�ad
$$
\gather
1,3,5,7,\dots\quad a_n=2n+1,\quad n=0,1,\dots\tag1\\
1,0,1,0,\dots\quad a_n=\cases 1&\text{ gdy }n\text{ jest nieparzyste}\\
0&\text{gdy }n\text{ jest parzyste}\endcases\tag2\\
1,1,2,3,5,8,13\dots\quad a_0=1,\ a_1=1,\
a_n=a_{n-2}+a_{n-1}.\tag3
\endgather
$$
Ci�g (3) nazywa si� czasem ci�giem liczb Fibonacciego.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ przez $[x]$ oznaczamy jej {\bf
cz�� ca�kowit�}, czyli
najwi�ksz� liczb� ca�kowit� $\xleq x$. Mamy wi�c zawsze
$[x]\xleq x<[x]+1$.

\medskip

23.2. Rozwa�my nast�puj�ce cztery ci�gi:
$$
\gather
1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots\quad a_n=\frac{1}{n}\quad
n=1,2,\dots\\
1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\dots\quad a_n=\frac{(-1)^{n-
1}}{n}\quad n=1,2,\dots\\
1,0,\frac{1}{10},0,\frac{1}{100},0,\dots\quad a_{2n+1}=10^{-n},\quad
a_{2n}=0,\quad n=0,1,\dots\\
1,\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 3},\frac{1}{\sqrt 4},\dots\quad
a_n=\frac{1}{\sqrt n}\quad n=1,2,\dots
\endgather
$$
Widzimy, �e w ka�dym z tych ci�g�w dalekie wyrazy s� bliskie
$0$.
Innymi s�owy, bior�c dowolne $\epsilon>0$ znajdziemy takie $N$, �e
dla $n> N$ $|a_n|<\epsilon$. W pierwszym i drugim ci�gu mo�emy
wzi�� $N=[\frac{1}{\epsilon}]$, w trzecim $N=[-\frac12\log_{10}\epsilon]$, w
czwartym $N=[\epsilon^{-2}]$. Ci�gi te s� {\it zbie�ne} do $0$.
\definition{Definicja} M�wimy, �e ci�g $a_n$ jest zbie�ny do
granicy $a$ i piszemy
$$
\lim_{n\to\infty}a_n=a \quad\text{lub}\quad  a_n\to a\quad\text{gdy}\quad n\to\infty,
$$
gdy dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $N\in\bold N$ takie, �e
$$
n>N\rightarrow|a_n-a|<\epsilon.
$$
M�wimy wtedy, �e
dla dowolnego $\epsilon>0$ {\it prawie wszystkie wyrazy ci�gu} s� w
odleg�o�ci mniejszej ni� $\epsilon$ od $a$, lub inaczej, �e poza
sko�czon� ilo�ci�, wszystkie wyrazy ci�gu s� w odleg�o�ci
mniejszej ni� $\epsilon$ od $a$.
\enddefinition

Przyk�ad. Niech $a_n=2+(-1)^n\frac{1}{n}$. Wtedy
$\lim_{n\to\infty}a_n=2$.
Mamy $|(2+(-1)^n\frac{1}{n})-2|=|\frac{1}{n}|<\epsilon$, je�li
$n> [\frac{1}{\epsilon}]= N$.
\medskip

23.3. M�wimy, �e ci�g $a_n$ jest zbie�ny, je�li istnieje $a$
takie, �e
$\lim_{n\to\infty}a_n=a$. Ci�g zbie�ny ma dok�adnie jedn� granic�.
Istotnie je�li $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ oraz $\lim_{n\to\infty}a_n=b$ i
$a\neq b$, to dla $\epsilon=|a-b|/2$, prawie wszystkie wyrazy ci�gu
s� r�wnocze�nie w odleg�o�ci mniejszej ni� $\epsilon$ od $a$ i od
$b$ co jest niemo�liwe.
\medskip

23.4. Zauwa�my, �e $\lim_{j\to\infty}a_j = 0$ jest r�wnowa�ne
stwierdzeniu $\lim_{j\to\infty}|a_j|=0$. R�wnie�
$$
\lim_{j\to\infty}a_j=
\lim_{j\to\infty}a_{j+1}=\lim_{j\to\infty}a_{j+15}.
$$
\medskip

23.5. Dla dowolnej liczby $\alpha$ mamy
$\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot a_n=\alpha\cdot\lim_{n\to\infty}a_n$.
\medskip

23.6. Je�li $0<q<1$, to $\lim_{n\to\infty}q^n =0$. Istotnie, dla
$\epsilon>0$, poniewa� $\log$ jest funkcj� rosn�c�,
$$
q^n<\epsilon\iff n\log q < \log \epsilon.\tag4
$$
Poniewa� $0<q<1$, wi�c $\log q<0$, czyli (4) jest r�wnowa�na
$n>\frac{\log\epsilon}{\log q}$ co zachodzi dla $n>[\frac{\log\epsilon}{\log
q}]=N$.
\medskip

23.7. Mamy r�wnie�  $|q|<1\quad\rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}q^n =0$, co
wynika natychmiast z 23.4.
\medskip

23.8.  Dla ka�dego $x$ mamy $\lim_{n\to\infty}\frac{x^n}{n!}=0$.
We�my $m=[|x|]$. Wtedy dla $n>m$
$$
\bigg|\frac{x^n}{n!}\bigg|\leq\frac{|x|^m}{m!}\bigg(\frac{|x|
}{m+1}\bigg)^{n-m},
$$
a wi�c, uzyskujemy nast�puj�ce dwie nier�wno�ci
$$
0\xleq\bigg|\frac{x^n}{n!}\bigg|\xleq \frac{|x|^m}{m!}\bigg(\frac{|x|}{m+1}\bigg)^{n-m}.
$$
Zauwa�my, �e w powy�szych nier�wno�ciach czynnik $|x|^m/m!$ jest sta�y, niezale�ny od $n$. Mo�emy
teraz skorzysta� z twierdzenia o trzech ci�gach, kt�re jest natychmiastow� konsekwencj�
twierdzenia o trzech funkcjach, i obserwacji 23.9. Zgodnie z naszym wyborem $m$ zachodzi
$|x|/(m+1)<1$, i wobec 23.7. otrzymujemy
$$
0\xleq\li\bigg|\frac{x^n}{n!}\bigg|\xleq\li\frac{|x|^m}{m!}\bigg(\frac{|x|}{m+1}\bigg)^{n-m}=
\frac{|x|^m}{m!}\li\bigg(\frac{|x|}{m+1}\bigg)^{n-m}=0.
$$

\medskip

23.9. W�asno�ci granic ci�g�w mo�na �atwo sprowadzi� do
w�asno�ci granic funkcji. Istotnie, niech $a_n$, $n=0,1,\dots$
b�dzie ci�giem. Okre�lmy funkcj�
$$
f(x) = a_{[x]}.
$$
Funkcja $f(x)$ jest okre�lona na p�prostej $\{x\xge0\}$, sta�a na ka�dym przedziale postaci
$[n,n+1)$, i r�wna na nim $a_n$. Nietrudno zauwa�y�, �e
$$
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{x\to\infty} f(x).\tag5
$$
Istnienie dowolnej z tych dw�ch granic poci�ga istnienie drugiej, i ich r�wno��.

\medskip

23.10. Jako wniosek z 23.9. wypiszmy nast�puj�ce w�asno�ci granic ci�g�w. Niech
$\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ oraz $\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$, a $c$ niech b�dzie sta��.
Wtedy
$$
\li (a_n+b_n)=\alpha+\beta,\quad \li(ca_n)=c\alpha,\quad
\li(a_nb_n)=\alpha\beta,\quad\li\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta},\quad\text{dla}\quad
\beta\neq 0.
$$

\medskip

23.11. Zauwa�my, �e je�li $f$ jest funkcj� ci�g�� w punkcie $\alpha$, i $\li a_n=\alpha$, to $\li
f(a_n)=f(\alpha)$.

\medskip

Przyk�ad.
$$
\align
\li\frac{3n^2+2}{5n^2-2n+1}
&=\li\frac{3+\frac{2}{n^2}}{5-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\\
&=\frac{\li 3+\li\frac{2}{n^2}}
{\li 5-\li\frac{2}{n}+\li\frac{1}{n^2}}\\
&=\frac{3}{5}.
\endalign
$$
\medskip


23.12. Piszemy $\li a_n=+\infty$ je�li dla dowolnego $M$ $a_n>M$ dla
prawie wszystkich $n$ oraz $\li a_n=-\infty$ je�li dla dowolnego $M$ $a_n<M$
dla prawie wszystkich $n$. R�wno�� (5) rozci�ga si� te� na ten przypadek, czyli $\li a_n=\pm\infty$
wtedy i tylko wtedy gdy $\lim_{x\to+\infty}a_{[x]}=\pm\infty.$ M�wimy wtedy, �e ci�g $a_n\quad
n=0,1,\dots$ jest {\bf rozbie�ny do plus b�d� minus niesko�czono�ci.}
Ci�g w og�le nie maj�cy granicy nazywa si� ci�giem
rozbie�nym. Ci�g $1,0,1,0\dots$ jest rozbie�ny (ale nie jest rozbie�ny
do niesko�czono�ci). Widzimy, �e nie ma takiej liczby $\alpha$ dla
kt�rej prawie wszystkie wyrazy tego ci�gu by�yby blisko $\alpha$.
\medskip

23.13. Przyk�ady.
(a) Dla $a>1$ mamy $\li\frac{a^n}{n}=+\infty$. Poniewa� $a>1$, wi�c
$a=1+b$ dla $b>0$. St�d
$$
a^n=(1+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}b^k>\binom{n}{2}b^2=\frac{n(n-
1)}{2}b^2,
$$
czyli
$$
\frac{a^n}{n}>\frac{b^2}{2}(n-1).
$$
\newline (b)
$$
\li\frac{2n+\sin n}{5n+1}=\li\frac{2n}{5n+1}+\li\frac{\sin
n}{5n+1}=\frac{2}{5}+\li\frac{\sin n}{5n+1}=\frac{2}{5},
$$
gdy�
$$
0\xleq\left|\frac{\sin n}{5n+1}\right|\xleq\frac{1}{5n+1},
$$
i stosujemy twierdzenie o trzech ci�gach.
\medskip

23.14. Podci�giem $a_{k_n}$, $n=0,1,\dots$ ci�gu $a_k$, $k=0,1,\dots$
nazywamy ci�g, kt�ry powstaje z ci�gu $a_k$, $k=0,1,\dots$ przez
opuszczenie pewnych wyraz�w w tym ci�gu. Oczywi�cie
$k_1<k_2<k_3<\dots$. Na przyk�ad ci�g $a_1,a_3,a_5,\dots,a_{2n+1}\dots$,
$n=0,1,\dots$ jest podci�giem $a_1,a_2,\dots,a_k,\dots$, $k=0,1,\dots$,
podobnie ci�g
$$
a_{2^0},a_{2^1},\dots,a_{2^n},\dots\quad n=0,1,\dots
$$
jest podci�giem ci�gu $a_k$.
\proclaim{Twierdzenie} Je�li ci�g $a_k$ jest zbie�ny do granicy
$\alpha$, to ka�dy jego podci�g jest zbie�ny do $\alpha$.
\endproclaim
\demo{Dow�d} Istotnie, je�li dla $\epsilon>0$ prawie wszystkie wyrazy ci�gu s�
w odleg�o�ci mniejszej ni� $\epsilon$ od $\alpha$, to dla ka�dego
podci�gu prawie wszystkie jego wyrazy s� w odleg�o�ci mniejszej
ni�
$\epsilon$ od $\alpha$.\qed
\enddemo

\medskip

23.15. Niech $A$ b�dzie dowolnym niepustym podzbiorem liczb
rzeczywistych
ograniczonym od g�ry, to znaczy takim, �e dla pewnej liczby rzeczywistej $M$ zachodzi $x\xleq M$
dla wszystkich $x\in A$. {\bf Kresem g�rnym} zbioru $A$
nazywamy najmniejsz� tak� liczb� $M$, czyli najmniejsze ograniczenie zbioru $A$ od g�ry. �atwo
zauwa�y�, �e kres g�rny $A$ to taka liczba $\alpha$ dla kt�rej
$$
(i)\quad \forall_{x\in A}\quad
x\leq\alpha,\quad(ii)\quad\forall_{\epsilon>0}\exists_{x\in A}\quad x>\alpha-\epsilon.
$$
(i) m�wi �e $\alpha$ jest ograniczeniem $A$ od g�ry, a (ii) m�wi �e $\alpha$ jest najmniejszym
takim ograniczeniem. Podobnie,
niech $A$ b�dzie dowolnym niepustym podzbiorem liczb rzeczywistych
ograniczonym {\it od do�u}, czyli takim, �e $\forall_{x\in A}\quad x\xgeq M$
dla pewnej liczby rzeczywistej $M$. {\bf Kresem dolnym} zbioru $A$
nazywamy najwi�ksz� tak� liczb� $M$, czyli liczb� $\alpha$ tak�, �e
$$
(i)\quad \forall_{x\in A}\quad
x\geq\alpha,\quad(ii)\quad\forall_{\epsilon>0}\exists_{x\in A}\quad x<\alpha+\epsilon.
$$

Okazuje si�, �e kresy zawsze istniej�. Udowodnimy istnienie kresu g�rnego.
Niech $a$ b�dzie najmniejsz� liczb� ca�kowit� tak�, �e $\quad
\forall_{x\in A}\quad x<a+1$. Poniewa� $a$ jest {\it najmniejsza}, wi�c musi istnie�
$x_0\in A$ takie, �e $x_0\xgeq a$. Niech $a_1$ b�dzie najmniejsz�
w�r�d liczb $0,\dots,9$  tak�, �e $\forall_{x\in A}\quad
x<a+\frac{a_1+1}{10}$. Wtedy $\exists_{x_1\in A}\quad
a+\frac{a_1}{10} < x_1 < a+\frac{a_1+1}{10}$. Post�puj�c tak
dalej otrzymamy ci�g cyfr $0,dots,9$ taki, �e dla wszystkich $x\in A$
$$
x<a+\frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_n+1}{10^n},
$$
oraz istnieje $x_n\in A$ takie, �e
$$
x_n>a+\frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_n}{10^n}.
$$
Widzimy, �e liczba
$$
\alpha =a,a_1a_2\dots,
$$
jest kresem g�rnym $A$. Istotnie, dla ka�dego $x\in A$
$$
x<a+\frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_n}{10^n}+\frac{1}{10^n}\quad\rightarrow\quad
x\xleq a,a_1a_2\dots.
$$
Dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $n$ takie, �e
$\epsilon>\frac{1}{10^n}$. W zbiorze $A$ istnieje $x_n$  takie,
�e
$$
x_n>a+\frac{a_1}{10}+\dots+\frac{a_n}{10^n}>a,a_1a_2\dots-
\frac{1}{10^n}>\alpha-\epsilon.
$$
\medskip

23.16. Dla danego niepustego zbioru ograniczonego od g�ry (od
do�u) $A$, jego kres g�rny (kres dolny) $\alpha$ jest {\it jedyny}.
Piszemy
$$
\alpha =\sup A    \quad (\alpha=\inf A).
$$
\medskip

23.17. Ci�g $\alpha_n\quad n=0,1,\dots$ nazywa si� {\bf rosn�cy} ({\bf
niemalej�cy}), je�li $a_0<a_1<a_2<\dots.$, $(a_0\leq a_1\leq
a_2\leq \dots)$. Podobnie definiujemy ci�g {\bf malej�cy} i {\bf nierosn�cy}.
Ci�g $\alpha_n\quad n=0,1,\dots$ nazywa si� {\bf ograniczony}, je�li
istnieje liczba $M$ taka, �e $\forall_n\quad |a_n|\xleq M$.
\medskip

\proclaim{Twierdzenie 23.18} Ci�g $a_n$, $n=0,1,\dots$ niemalej�cy
i ograniczony od g�ry jest
zbie�ny.
\endproclaim
\demo{Dow�d}
Istotnie, niech $A=\{a_n:\quad n=0,1,2\dots\}$. Wtedy
$$
\li a_n=\sup A,
$$
bo z definicji $\sup A$ dla dowolnego $\epsilon>0$ istnieje $N$ takie,
�e $a_N>\sup A-\epsilon$ i $\forall_{n} a_n\xleq \sup A$. Poniewa� ci�g
jest niemalej�cy mamy wi�c $\sup A-\epsilon<x_N\xleq x_n\xleq \sup A$.\qed
\enddemo

\proclaim{Twierdzenie 23.19} Ci�g $a_n,\quad n=0,1,\dots$ nierosn�cy
i ograniczony od do�u jest
zbie�ny oraz
$$
\li a_n =\inf \{a_n: n=0,1,\dots\}.
$$
\endproclaim
\enddocument
