\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 22.\\
\\
Zastosowania wzoru Taylora
\endhead

\medskip

22.1. Przypomnijmy wz�r Taylora:
$$
f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-
x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-
x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$
Za�o�yli�my przy tym, �e funkcja $f$ jest okre�lona w przedziale $(a,b)$ i ma
$n+1$ pochodnych w tym przedziale, $x,x_0\in (a,b)$, a punkt $\xi$ le�y pomi�dzy punktami
$x$ i $x_0$. Przypomnijmy, �e przyj�li�my konwencj� $0!=1$.

Wz�r Taylora zapisujemy kr�cej:
$$
f(x)=\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j+R_{n+1}(x),
$$
gdzie
$$
R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$
W przypadku gdy $x_0=0$ wz�r Taylora nazywa si�
{\bf wzorem Maclaurina} i ma posta�
$$
f(x)=\sum_{j=0}^n\frac{f^{(j)}(0)}{j!}x^j+R_{n+1}(x),\qquad
R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}.
$$
\medskip


22.2. Wz�r dwumianowy Newtona. Zastosujmy wz�r Maclaurina do funkcji $f(x) = (a+x)^n$. Oczywi�cie $f$
jest wielomianem stopnia n, wi�c $f^{(n+1)}(x)\equiv0$, czyli $R_{n+1}(x)\equiv0$. Obliczmy, dla
$j\xleq n$
$$
f^{(j)}(x)=
n(n-1)\dots(n-j+1)(a+x)^{n-j},
$$
sk�d
$$
f^{(j)}(0)=n(n-1)\dots(n-j+1)a^{n-j}.
$$
Oznaczmy
$$
\binom{n}{j}=\frac{n(n-1)\dots(n-j+1)}{j!}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.
$$
Mamy wi�c
$$
(a+x)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}x+\binom{n}{2}a^{n- 2}x^2+\dots+\binom{n}{n}x^n,
$$
lub, kr�cej
$$
(a+x)^n=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}a^{n-j}x^j.\tag1
$$
\medskip

22.3. Wz�r dwumianowy (1) mo�na wyprowadzi� pro�ciej, nie pos�uguj�c si� wzorem Taylora. Ale
prezentacja, kt�r� przedstawili�my sugeruje nast�pny krok.
Niech teraz $\alpha\neq 0$ b�dzie dowoln� liczb� rzeczywist�. Funkcja $f(x)=(1+x)^\alpha$ ma
wszystkie pochodne w przedziale $(- 1,+\infty)$. Obliczmy, dla wszystkich $j\xgeq0$
$$
f^{(j)}(x)
=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-j+1)(1+x)^{\alpha-j},
$$
sk�d
$$
f^{(j)}(0) =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-j+1).
$$
Stosuj�c wz�r Maclaurina otrzymujemy, dla $x>-1$
$$
(1+x)^\alpha=1+\frac{\alpha}{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-
1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R_{n+1}(x),
$$
gdzie
$$
R_{n+1}(x)=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\xi)^{\alpha-n-1}x^{n+1},
$$
dla jakiego� $\xi$ le��cego pomi�dzy $0$ i $x$. Wprowadzaj�c naturalne oznaczenia
$$
\binom{\alpha}{0}=1,\quad\binom{\alpha}{j}=\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-j+1)}{j!},\quad
j=1,2,\dots
$$
otrzymujemy
$$
(1+x)^\alpha=\sum_{j=0}^n\binom{\alpha}{j}x^j +R_{n+1}(x),\tag2
$$
gdzie
$$
R_{n+1}(x)=\binom{\alpha}{n+1}(1+\xi)^{\alpha-n-1}x^{n+1},
$$
dla jakiego� $\xi$ le��cego pomi�dzy $0$ i $x$.
\medskip

22.4. Przyk�ad. Obliczymy $\root 3\of{1,03} $ u�ywaj�c wzoru (2). Mamy
$$
\align
\root 3\of{1,03}=&(1+0,03)^{\frac{1}{3}}\\
=&1+\frac{1}{3}(0,03)+ \frac{\frac{1}{3}
(\frac{1}{3}-1)}{2}(0,03)^2+\frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)
(\frac{1}{3}-2)}{3!}(1+\xi)^{\frac{1}{3}-3}(0,03)^3\\
=&1+\frac{0,03}{3}-
\frac{(0,03)^2}{9}+\frac{5(0,03)^3}{81}(1+\xi)^{\frac{1}{3}-3}.
\endalign
$$
Poniewa� $0<\xi$, wi�c $0<(1+\xi)^{\frac{1}{3}-3}<1$, sk�d
$$
\root 3\of{1,03}=1+\frac{0,03}{3}-\frac{(0,03)^2}{9}\pm\frac{5(0,03)^3}{81}.
$$
\medskip

22.5. $n$-ty wielomian Taylora funkcji $f(x)=\frac{1}{1+x}$ w punkcie $x_0=0$ ma posta�
$$
1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n=\sum_{j=0}^n(-1)^jx^j,
$$
gdy�, jak �atwo policzy�,
$$
\binom{-1}{j}=(-1)^j.
$$
Podstawiaj�c w poprzednim wzorze $-x$ za $x$ otrzymujemy $n$-ty wielomian Taylora dla
$\frac{1}{1-x}$ w punkcie $0$
$$
1+x+x^2+\dots+x^n.
$$
Do obliczenia reszty $R_{n+1}$ nie musimy korzysta� ze wzoru Taylora, gdy� wiemy, �e
$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\frac{x^{n+1}}{1-x},
$$
sk�d
$$
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.
$$
Dalej, mamy
$$
\frac{1}{1+x^2}=
1-x^2+x^4+\dots+(-1)^nx^{2n} +\frac{(-1)^{n+1}x^{2(n+1)}}{1+x^2}.\tag3
$$

\medskip

22.6. Poniewa� dla ka�dego $n$
$$
\frac{1}{1+t}=1-t+t^2+\dots+(-1)^nt^n+\frac{(-1)^{n+1}t^{n+1}}{1+t},
$$
wi�c, dla ka�dego $n$
$$
\log(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t} =x-\frac{x^2}{2}+
\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n-1}+R(x),\tag4
$$
gdzie
$$
R(x)=(-1)^n\int_0^x\frac{t^n}{1+t}\,dt.
$$
Oszacujemy $R(x)$. Dla $x\xgeq0$ mamy
$$
0<\int_0^x\frac{t^n}{1+t}dt\xleq\int_0^xt^n\,dt=\frac{x^{n+1}}{n+1},
$$
a dla $-1<x<0$, i $x<t<0$
$$
\frac{1}{1+t}<\frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-|x|}.
$$
St�d
$$
\left|\int_0^x\frac{t^n}{1+t}\,dt\right|\xleq\frac{1}{1-|x|} \left|\int_0^xt^n\,dt\right|
=\frac{|x|^{n+1}}{(1-|x|)(n+1)}.
$$
Otrzymali�my wi�c
$$
|R(x)|\xleq\cases\frac{x^{n+1}}{n+1};\quad&\text{dla}\quad x\geq 0\\
\frac{1}{1-|x|}\frac{|x|^{n+1}}{n+1};\quad&\text{dla}\quad -1<x\leq 0.
\endcases
$$
Podobnie,
$$
-\log(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{x^{n-1}}{n-1}+\int_0^x\frac{t^{n-1}}{1-t}dt\tag5
$$
Dodaj�c stronami (4) i (5)
zauwa�amy, �e parzyste pot�gi si� skr�c� i otrzymujemy
$$
\log\frac{1+x}{1-x} =
2x+\frac{2x^3}{3}+\dots+\frac{2x^{2m+1}}{2m+1}+R(x),\tag6
$$
gdzie
$$
R(x)=2\int_0^x\frac{t^{2m+2}}{1-t^2}\,dt.\tag7
$$
Ostatni� ca�k� jest �atwo policzy�, i otrzymujemy, dla $0<x<1$
$$
0<R(x)=2\int_0^x\frac{t^{2m+2}}{1-t^2}dt\xleq \frac{1}{1- x^2}\frac{x^{2m+3}}{2m+3}.
$$
\medskip

22.7 Wz�r (6) �atwo mo�na wykorzysta� do liczenia logarytm�w liczb $a>1$. Istotnie, zauwa�my,
�e ka�d� liczb� $a>0$ mo�na zapisa� jako
$$
a=\frac{1+x}{1-x},\quad\text{gdzie }x=\frac{a-1}{a+1}.
$$
�atwo zauwa�y�, �e je�eli $a>1$ to $0<x<1$. Mo�na wi�c zastosowa� do $a$ wzory (6) i (7).
St�d
$$
\log a=
2\frac{a-1}{a+1}+\frac{2}{3}\left( \frac{a-1}{a+1}\right)^3+\dots+\frac{2}{2m+1}\left(\frac{a-
1}{a+1}\right)^{2m+1}+2R(x),
$$
gdzie
$$
0\xleq R(x)\xleq\frac{(a+1)^2}{2a}\frac{1}{2m+3}\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2m+3}.
$$
Dla $a=2$ i $m=1$ otrzymujemy
$$
\log 2= \frac{2}{3}+\frac{2}{3}\frac{1}{3^3}+R(x),
$$
gdzie
$$
0<R(x)\xleq\frac{9}{4}\frac{1}{5}\frac{1}{3^5}.
$$
St�d
$$
0,692<\log 2<0,694.
$$
Zauwa�my, �e $\log 2$ mo�na policzy� r�wnie� z (4), wraz z z oszacowaniem $R(x)$.
$$
\log 2= 1-\frac12+\frac{1}{4}+\dots+(-1)^n\frac{1}{n}+R, \quad |R|\xleq\frac{1}{n+1}.
$$
�eby wyliczy� $\log 2$ z tego wzoru, z dok�adno�ci� do $0,002$ musieliby�my doda� oko�o 50
sk�adnik�w.
\medskip

22.8 Liczba $\pi$. Przypomnijmy wz�r (3)
$$
\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\dots+(-1)^{n-1}t^{2n-2}
+(-1)^n\frac{t^{2n}}{1+t^2}.
$$
Ca�kuj�c od $0$ do $x$ otrzymujemy
$$
\arctg x= \sum_{j=0}^n(-1)^{j-1} \frac{x^{2j-1}}{2j-1}+R,
$$
gdzie
$$
R=(-1)^n\int_0^x\frac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt,
$$
sk�d
$$
|R|\xleq\frac{|x|^{2n+1}}{2n+1}.\tag8
$$
Poniewa� $\arctg 1 =\frac{\pi}{4}$ otrzymujemy
$$
\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{1}{2n-1}+R,\tag9
$$
gdzie
$$
|R|\xleq \frac{1}{2n+1}.
$$
Aby obliczy� st�d $\pi/4$ z dok�adno�ci� $1/n$ trzeba doda� oko�o $n/2$ sk�adnik�w.
Jednak�e formu�a (9) daje ma�e b��dy gdy $x$ jest bliskie zera. Mo�emy skorzysta� z nast�puj�cego wzoru
trygonometrycznego
$$
\arctg u +\arctg v = \arctg\frac{u+v}{1-uv}.
$$
Je�eli we�miemy, na przyk�ad, $u=1/2$ i $v=1/3$, to
$$
\frac{\pi}{4}=\arctg1=\arctg\frac12 +\arctg\frac{1}{3}.\tag10
$$
Inne kombinacje, $u=1/3$ i $v=1/7$ oraz $u=1/5$ i $v=1/8$ daj�
$$
\arctg\frac12=\arctg\frac13+\arctg\frac17,\quad\arctg\frac13=\arctg\frac15+\arctg\frac18,
$$
czyli
$$
\frac{\pi}{4}=
2\arctg\frac{1}{5}+\arctg\frac{1}{7}+2\arctg\frac{1}{8}.\tag11
$$

\medskip

22.9 Wz�r Taylora dla funkcji wyk�adniczej $x\to e^x$ daje
$$
e^x=\sum_{j=0}^n\frac{x^j}{j!}+e^\xi\frac{x^{n+1}}{(n+1)!},
$$
sk�d
$$
e=\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}+\frac{e^\xi}{(n+1)!}, \quad 0<\xi<1.
$$
Wynika st�d, �e $e$ jest liczb� niewymiern�. Istotnie, za��my, �e $e=\frac{p}{q}$. We�my $n>q$,
wtedy
$$
\frac{p}{q}=\sum_{j=0}^n\frac{1}{j!}+\frac{e^\xi}{(n+1)!},\quad0<\xi <1.
$$
Mno��c obie strony przez $n!$ otrzymujemy same liczby ca�kowite poza ostatnim sk�adnikiem, kt�ry jest
r�wny $e^\xi/(n+1)$. Poniewa� $e<3$, wi�c i $e^\xi<3$, czyli liczba $e^\xi/(n+1)$ nie mo�e
by� ca�kowita dla $n>3$. To daje sprzeczno��.

\medskip

22.10 Oto wzory Taylora dla funkcji $\cos x$ i $\sin x$ w punkcie $x_0=0$. Mamy
$$
\frac{d^k\cos x}{dx^k}\bigg|_{x=0}=\cases (-1)^j &\text{gdy}\quad k=2j,\\
0 &\text{gdy}\quad
k=2j+1,\endcases\quad \frac{d^k\sin x}{dx^k}\bigg|_{x=0}=\cases (-1)^j &\text{gdy}\quad k=2j+1,\\
0&\text{gdy}\quad k=2j\endcases.
$$
st�d
$$
\gather
\cos x=\sum_{j=0}^n(-1)^j\frac{x^{2j}}{(2j)!}+
R,\quad |R|\xleq\frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!}\\
\sin x=\sum_{j=0}^n(- 1)^j\frac{x^{2j+1}}{(2j+1)!}+
R,\quad |R|\xleq\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}
\endgather
$$
\enddocument
