\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 21.\\
\\
Wz�r Taylora
\endhead

\medskip

Przypomnijmy nast�puj�ce twierdzenie z tygodnia 10.
\proclaim{Twierdzenie o warto�ci �redniej 10.11}. Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g�� na odcinku $[a,b]$
i r�niczkowaln� w ka�dym punkcie wewn�trznym odcinka (czyli na $(a,b)$). Wtedy istnieje punkt
$\xi\in (a,b)$ taki, �e
$$
\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)} = f'(\xi).
$$
\endproclaim
Nast�puj�ce twierdzenie jest �atwym, ale bardzo u�ytecznym uog�lnieniem twierdzenia o warto�ci
�redniej.
\proclaim{Uog�lnione Twierdzenie o warto�ci �redniej 21.1} Niech $F$ i $G$ b�d� dwoma
funkcjami ci�g�ymi na $[a,b]$ takimi, �e ich pochodne $F'$ i $G'$ istniej� w ka�dym punkcie przedzia�u
otwartego $(a,b)$. Wtedy istnieje punkt $\xi\in (a,b)$ taki, �e
$$
\left(F(b)-F(a)\right)G'(\xi)=\left(G(b)-G(a)\right)F'(\xi). \tag1
$$
Je�li $G'(x)\neq 0$ w ka�dym punkcie $(a,b)$, to (1) mo�na zapisa� jako
$$
\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F(\xi)}{G(\xi)}.\tag2
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Twierdzenie to udowodnimy w oparciu o Twierdzenie Rolle'a z tygodnia 10, podobnie jak
udowodnili�my zwyk�e twierdzenie o warto�ci �redniej. Zdefiniujmy funkcj�
$$
f(x) =\left(F(b)-F(a)\right)\left(G(x)-G(a)\right)-\left(G(b)-G(a)\right)\left(F(x)-F(a)\right).
$$
Funkcja $f$ jest ci�g�a, r�niczkowalna, oraz, jak �atwo sprawdzi�, $f(a)=f(b)=0$. Z
twierdzenia Rolle'a istnieje $\xi\in (a,b)$ takie, �e $f'(\xi)=0$. To jest dok�adnie (1).\qed
\enddemo
Zauwa�my nast�puj�cy natychmiastowy wniosek
\proclaim{Wniosek 21.2} Je�li spe�nione s� za�o�enia twierdzenia 21.1 oraz $F(a)=G(a)=0$,
to istnieje $\xi\in(a,b)$ takie, �e
$$
\frac{F(b)}{G(b)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}.
$$
\endproclaim

\medskip

21.3. Uog�lnione twierdzenie o warto�ci �redniej daje mo�liwo�� oszacowania b��du  przy przybli�eniu
funkcji $f$ funkcj� liniow�
$$
f(x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
$$

Niech $f$ b�dzie funkcj� dwukrotnie r�niczkowaln� wewn�trz przedzia�u $[a,b]$. Dla ustalonego punktu
$x_0\in (a,b)$  przybli�amy wykres funkcji $f$ w otoczeniu punktu $(x_0,f(x_0))$ przez prost� styczn�
do wykresu funkcji $f$ w tym punkcie. Innymi
s�owy piszemy
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+R(x).\tag3
$$
$R(x)$ reprezentuje r�nic� pomi�dzy warto�ciami funkcji $f$ a jej liniowego przybli�enia
$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, innymi s�owy b��d tego przybli�enia.
Z r�wno�ci (3) dostajemy
$$
\frac{R(x)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}- f'(x_0).
$$
Wynika st�d,
$$
\lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{x-x_0}=f'(x_0)-f'(x_0)=0,
$$
czyli reszta $|R(x)|$ jest ma�a w por�wnaniu do $|x-x_0|$. Korzystaj�c z wniosku 21.2. mo�emy uzyska�
oszacowanie tej reszty. Istotnie, mamy $R(x_0)=0$, a poniewa�
$$
f'(x)=f'(x_0)+R'(x),
$$
wi�c $R'(x_0)=0$. R�niczkuj�c powy�sze jeszcze raz dostajemy
$$
f''(x)=R''(x).
$$
Zastosujmy teraz wniosek  21.2. do funkcji $F(t)=R(t)$ i $G(t)=(t- x_0)^2$, $a=x_0$, $b=x$.
Istnieje wi�c liczba $\tau$ pomi�dzy $x_0$ i $x$ taka, �e
$$
\frac{R(x)}{(x-x_0)^2}= \frac{R'(\tau)}{2(\tau-x_0)}.\tag4
$$
Wniosek 21.2. stosujemy jeszcze raz, tym razem do funkcji $F(t)=R(t)$, $G(t)-2(t-x_0)$, $a=x_0$,
$b=\tau$, i otrzymujemy liczb� $\xi$ pomi�dzy $x_0$ a $\tau$ tak�, �e
$$
\frac{R'(\tau)}{2(\tau-x_0)}=\frac{R''(\xi)}2=\frac{f''(\xi)}2.\tag5
$$
szczeg�lno�ci, je�eli $|f''(x)|\xleq M$ pomi�dzy $x_0$ a $x$, to ��cz�c (4) z (5) otrzymujemy
$$
|R(x)|\leq \frac{M(x-x_0)^2}2.
$$

\medskip

21.5. Przyk�ad. Rozwa�my funkcj� $f(x)= \sqrt{x}$. Aby obliczy� warto�� $f(x)$ dla $x$ bliskich
$1$ piszemy $x=1+h$. Mamy
$$
\sqrt{1+h} = 1+f'(1)h + R(h) = 1+\frac h2 + R(h),
$$
oraz
$$
f''(x)=\frac{-1}{4x\sqrt{x}}=-\frac{1}{4(1+h)\sqrt{1+h}}.
$$
Dla oszacowania b��du chcemy pokaza�, �e $f''(x)$ jest ograniczona w jakim� otoczeniu
1. Zauwa�amy, �e funkcja $h\to |f''(1+h)|$ jest funkcj� malej�c�. Tak wi�c k�ad�c, na przyk�ad,
$h=-\frac{3}{4}$ otrzymujemy $|f''(\frac{1}{4})| =2 $ sk�d
$$
|\sqrt{1+h}-\left(1+\frac h2\right)|\xleq h^2,\quad|h|\xleq \frac{3}{4}.
$$
Na przyk�ad, $\sqrt{1,03}=1.015$ i $\sqrt{0,97}=0,985$ z b��dem mniejszym ni� $0,03^2=0,0009$.
Innym zastosowaniem uog�lnionego twierdzenia o warto�ci �redniej jest tak zwana regu�a de
l'Hospitala, bardzo przydatna przy liczeniu granic funkcji, kt�r� om�wimy w przysz�o�ci.


\medskip

21.6. Udowodnili�my powy�ej, �e je�eli funkcja $f$ jest dwukrotnie r�niczkowalna, to
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12 f''(\xi)(x-x_0)^2,\tag6
$$
gdzie $\xi$ jest odpowiednio dobran� liczb� pomi�dzy $x_0$ i $x$.
Je�li funkcja $f(x)$ jest {\it trzykrotnie} r�niczkowalna, to w szczeg�lno�ci $f''(x)$ jest ci�g�a,
i dla $x$ bliskich $x_0$ mamy $f''(\xi)\simeq f''(x_0)$. Sugeruje to, �e funkcj� $f(x)$ mo�na jeszcze dok�adniej
przybli�y� w otoczeniu punktu $x_0$ przez funkcj� kwadratow�
$$
P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2.
$$
Zauwa�my, �e parabola $(x,P(x))$
jest styczna do wykresu funkcji $f(x)$ w punkcie $(x_0,f(x_0))$, i dodatkowo $f''(x_0)=P''(x_0)$.
Zbadamy jak dobrze funkcja kwadratowa $P(x)$ przybli�a $f(x)$ w pobli�u punktu $x_0$. Piszemy
$$
R(t) = f(t)-P(t),
$$
i zauwa�amy, �e
$$
R(x_0)=R'(x_0)=R''(x_0)=0,\quad\text{oraz}\quad R'''(x)=f'''(x).
$$
St�d, korzystaj�c kilkakrotnie z wniosku 21.2. otrzymujemy
$$
\align
\frac{R(x)}{(x-x_0)^3}=\frac{R'(t_1)}{3(t_1-x_0)^2}\quad&\text{dla pewnego $t_1$
pomi�dzy $x_0$ i $x$},\\
\frac{R'(t_1)}{3(t_1-x_0)^2}=\frac{R'(t_2)}{3\cdot2(t_2- x_0)}\quad&\text{dla pewnego $t_2$ pomi�dzy
$x_0$ i $t_1$},\\
\frac{R'(t_2)}{3\cdot2(t_2- x_0)}=\frac{R'''(\xi)}{3\cdot2}\quad&\text{dla pewnego $\xi$ pomi�dzy
$x_0$ i $t_2$}.
\endalign
$$
Podsumowuj�c, otrzymujemy
$$
\frac{R(x)}{(x-x_0)^3}=\frac{f'''(\xi)}{3\cdot2}\quad\text{dla pewnego $\xi$ pomi�dzy
$x_0$ i $x$}.
$$
Je�li wi�c $|f'''(t)|<M$ dla wszystkich $t$ pomi�dzy $x_0$ i $x$, to
$$
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac1{1\cdot2} f''(x_0)(x-x_0)^2+R(x),
$$
przy czym
$$
|R(x)|\xleq \frac{M|x-x_0|^3}6.
$$

\medskip

21.7. Przyk�ad. Niech $f(x)=\sqrt{x}$. Obliczamy
$$
f(1)=1, \quad f'(1)=\frac12, \quad f''(1)=-\frac{1}{4},\quad |f'''(x)=\frac{3}{8}x^{-5/2}.
$$
Jak �atwo si� przekona�, $|f'''(x)|<12$ dla $\frac{1}{4}\xleq x\xleq \frac{5}{4}$. St�d
$$
\sqrt{1+h} = 1 +\frac12 h -\frac{1}{8}h^2+R(h),
$$
gdzie
$$
|R(h)|\xleq 2h^3\quad\text{dla}\quad |h|<\frac{3}{4}.
$$
Na przyk�ad, $\sqrt{1,2} = 1,1-\frac{1}{8}(0,04)=1,095 $ z b��dem nie przekraczaj�cym
$2(0,2)^3=0,016$.

\medskip

21.8. Powy�sze rozwa�ania stanowi� szczeg�lne przypadki nast�puj�cego problemu. Maj�c funkcj� $f(x)$,
r�niczkowaln� $n$-krotnie, i dla kt�rej znamy warto�ci pochodnych w punkcie $x_0$, $f(x_0)$,
$f'(x_0)$, $f''(x_0),\dots,f^{(n)}(x_0)$ jak obliczy� najdok�adniej warto�ci $f(x)$ w pobli�u $x_0$.
Problem ten mo�e si� wydawa� na pierwszy rzut oka nieco sztuczny, ale jest blisko zwi�zany z najbardziej
interesuj�cymi zagadnieniami analizy. Rozwi�zanie tego problemu nast�pi w dw�ch krokach. W pierwszym
skonstruujemy wielomian $P(x)$ stopnia $n$, dla kt�rego jego warto��, i warto�ci wszystkich jego
pochodnych, do stopnia $n$ w��cznie, w punkcie $x_0$, b�d� takie same jak warto�ci funkcji $f(x)$
i jej pochodnych w tym punkcie. Taki wielomian mo�e by� tylko jeden, i nazywa si� wielomianem
Taylora funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$. W drugim kroku zajmiemy si� oszacowaniem r�nicy
$$
f(x)-P(x).
$$

\medskip

\proclaim{Twierdzenie 21.9} Niech b�dzie danych $n+2$ liczb $x_0,\alpha_0,\dots,\alpha_n$.
Istnieje dok�adnie jeden wielomian $P(x)$ stopnia nie wi�kszego ni� $n$ dla kt�rego
$$
P(x_0)=\alpha_0,\quad P'(x_0)=\alpha_1,\quad\cdots,\quad P^{(n)}(x_0)=\alpha_n.\tag7
$$
Wielomian ten to
$$
P(x)=\alpha_0+\frac{\alpha_1}1(x-x_0)+\frac{\alpha_2}{1\cdot2}(x-x_0)^2+\frac{\alpha_3}{1\cdot2\cdot3}
(x-x_0)^3+\cdots+\frac{\alpha_n}{1\cdot2\cdot3\cdots n}(x-x_0)^n.\tag8
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Niech $P(x)$ b�dzie dany wzorem (8). Jest to wi�c wielomian stopnia nie wi�kszego ni�
$n$ ( mo�e by� stopnia mniejszego, je�eli $\alpha_n=0$). Nast�pnie zauwa�my, �e dla wszystkich
nieujemnych liczb ca�kowitych $j,k$ zachodz� nast�puj�ce r�wno�ci.
$$
\gather
\frac{d^k(x-x_0)^j}{dx^k}=j(j-1)(j-2)\cdots(j-k+1)(x-x_0)^{j-k},\quad\text{dla }k<j,\\
\frac{d^j(x-x_0)^j}{dx^j}=1\cdot2\cdot3\cdots j,\qquad\frac{d^k(x-x_0)^j}{dx^k}=0,\quad\text{dla
}k>j.
\endgather
$$
Powy�sze wzory s� oczywiste. Formalny dow�d mo�na przeprowadzi� indukcyjnie. Pozostawiamy to
czytelnikowi, jako �wiczenie. U�ywaj�c powy�szych zale�no�ci obliczamy $k$-t� pochodn� $P(x)$
($k<n$).
$$
P^{(k)}(x)=\alpha_k+\alpha_{k+1}(x-x_0)+\cdots+\frac{\alpha_n}{1\cdot2\cdot3\cdots(n-k)}(x-x_0)^{n-k},
$$
oraz $n$-t� pochodn�
$$
P^{(n)}(x)=\alpha_n.
$$
Podstawiaj�c $x=x_0$ otrzymujemy (7). Pozostaje pokaza�, �e $P(x)$ jest jedynym wielomianem
spe�niaj�cym (7). Za��my �e $\tilde P(x)$ te� spe�nia (7) i jest stopnia nie wi�kszego od $n$.
Wtedy $Q(x)=P(x)-\tilde P(x)$ jest wielomianem stopnia nie wi�kszego od $n$, takim, �e wszystkie
jego pochodne stopni od $0$ do $n$ s� zerami. �atwo pokaza�, indukcyjnie, �e taki wielomian musi
by� wielomianem zerowym.\qed
\enddemo

\medskip

21.10. Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g�� w przedziale $[a,b]$ i niech $f', f'',\dots, f^{(n)}$
istniej� w tym przedziale. {\bf $\bold n$-tym wielomianem Taylora} funkcji $f(x)$ w punkcie
$x_0\in (a,b)$ nazywamy wielomian $P(x)$ stopnia nie wi�kszego ni� $n$ spe�niaj�cy
$$
P(x_0)=f(x_0),\quad P'(x_0)=f'(x_0),\quad
P''(x_0)=f''(x_0),\quad\cdots,\quad P^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0).
$$
Jak wynika z Twierdzenia 21.9. wielomian taki mo�e by� tylko jeden, i dany jest wzorem
$$
P(x) =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{1\cdot2}(x-
x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.
$$
Warto zwr�ci� uwag� na nast�puj�ce w�asno�ci. $n+1$-szy wielomian Taylora w punkcie $x_0$
otrzymujemy przez dodanie do $n$-tego wielomianu w tym samym punkcie tylko jednego sk�adnika
$$
\frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
$$
Nast�pnie, je�eli $P(x)$ jest $n$-tym wielomianem Taylora funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$, to
$P'(x)$ jest $n-1$-tym wielomianem Taylora funkcji $f'(x)$ w tym samym punkcie. Podobnie,
$$
\int_{x_0}^xP(t)\,dt
$$
jest $n+1$-szym wielomianem funkcji
$$
\int_{x_0}^xf(t)\,dt,
$$
w punkcie $x_0$.
Zauwa�my jeszcze, �e je�eli $f(x)$ jest wielomianem stopnia $n$, to funkcja $f(x)$ sama jest swoim
$n$-tym wielomianem Taylora w ka�dym punkcie $x_0$.

\medskip

21.11. Przyk�ady. (a) Czwartym wielomianem Taylora funkcji $f(x)= \sqrt{1+x}$ w punkcie $x_0=0$
jest
$$
\align
P(x)&=1+\frac12 x- \frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{3!}\cdot\frac{3}{8}x^3-
\frac{1}{4!}\cdot\frac{15}{16}x^4\\
&=1+\frac{x}{2}- \frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}.
\endalign
$$
\newline (b) Wyliczenie czwartego wielomianu Taylora $P(x)$ funkcji $(1+x)^{3/2}$ w punkcie $0$
mo�na otrzyma� ,,na skr�ty" zauwa�aj�c, �e
$$
(1+x)^{\frac{3}{2}}=1+\frac{3}{2}\int_0^x\sqrt{1+t}\,dt.
$$
W przyk�adzie (a) znale�li�my czwarty wielomian Taylora funkcji podca�kowej, a wi�c
$$
P(x)=
1+\frac{3}{2}\int_0^x\left(1+\frac{t}{2}- \frac{t^2}{8}+\frac{t^3}{16}-\frac{5t^4}{128}\right)\,dt=
1+\frac{3x}{2}+\frac{3x^2}{8}-\frac{3x^3}{48}+\frac{3x^4}{128}.
$$

\medskip

Teraz zajmiemy si� oszacowaniem ,,reszty" $R(x)$.
\proclaim{Twierdzenie (wz�r Taylora) 21.12} Niech $f$ b�dzie funkcj� ci�g�� w
przedziale $[a,b]$ maj�c� $n+1$ pochodnych w $(a,b)$. Niech $x_0,x\in(a,b)$ i niech
$$
f(x)=
f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+\cdots
+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x- x_0)^n +R_{n+1}(x).
$$
Wtedy istnieje $\xi$ pomi�dzy $x$ i $x_0$ taki, �e
$$
R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x- x_0)^{n+1},
$$
($\xi$ zale�y od $x$). Wynika st�d, �e je�eli $|f^{(n+1)}(t)|\xleq M$ dla wszystkich $t\in (a,b)$
to
$$
|R_{n+1}(x)|\xleq\frac{M|x-x_0|^{n+1}}{(n+1)!}.
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Mamy
$$
R_{n+1}(x) =f(x)-P(x),
$$
gdzie $P(x)$ jest $n$-tym wielomianem Taylora funkcji $f(x)$ w punkcie $x_0$.
Pisz�c w skr�cie $R_{n+1}(x)=R(x)$, mamy
$$
R(x_0)=R'(x_0)=\cdots=R^{(n)}(x_0)=0.
$$
Teraz, tak jak w 21.6., piszemy
$$
\align
\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R'(t_1)}{(n+1)(t_1-x_0)^n}\quad&\text{dla pewnego $t_1$ pomi�dzy
$x_0$ i $x$},\\
\frac{R'(t_1)}{(n+1)(t_1-x_0)^n}=\frac{R''(t_2)}{(n+1)n(t_2- x_0)^{n-1}}\quad&
\text{dla pewnego $t_2$ pomi�dzy $x_0$ i $t_1$},\\
\frac{R''(t_2)}{(n+1)n(t_2- x_0)^{n-1}}=\frac{R'''(t_3)}{(n+1)n(n-1)(t_3-x_0)^{n-2}}\quad&
\text{dla pewnego $t_3$ pomi�dzy $x_0$ i $t_2$},\\
..........&\\
\frac{R^{(n)}(t_n)}{(n+1)n(n-1)\cdots2(t_n-x_0)}=\frac{R^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\quad&
\text{dla pewnego $\xi$ pomi�dzy $x_0$ i $x$},
\endalign
$$
sk�d, poniewa� $P^{(n+1)}(x)=0$, czyli $f^{(n+1)}(x)=R^{(n+1)}(x)$, mamy
$$
\frac{R^{(n+1)}(\xi)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\quad
\text{dla pewnego $\xi$ pomi�dzy $x_0$ i $x$}.\qed
$$
\enddemo

\medskip

21.13. Przyk�ad. Niech $f(x)=e^x$. Poniewa� $f^{(n)}(x)= f(x)$, wi�c $n$-ty wielomian Taylora
$f(x)$ w punkcie $0$ ma posta�
$$
1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}.
$$
Ze wzoru Taylora mamy
$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^\xi x^{n+1}}{(n+1)!},
$$
sk�d dla $x=1$ mamy, poniewa� $0<\xi<1$,
$$
1+x+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}-\frac{e}{(n+1)!} < e <
1+x+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e}{(n+1)!} ,
$$
czyli
$$
\left(1+x+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\big(1+\frac{1}{(n+1)!}
\big)^{-1}<e<\left(1+x+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\big(1-\frac{1}{(n+1)!}\big)^{-1}
$$
Dla
$n=5$ otrzymujemy $2,712 < e < 2.7197$.
\enddocument
