\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\arcsinh{\text{\rm arcsinh}\,}
\def\arccosh{\text{\rm arccosh}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 19.\\
\\
Funkcja wyk�adnicza -- zastosowania
\endhead

\medskip


19.1. {\bf Procent sk�adany}. Inwestor wp�aca kwot� $N$ z�otych do banku, przy stopie procentowej $a$.
Je�li kapitalizacja odsetek nast�puje raz w roku, to po up�ywie roku do lokaty dop�acona zostaje
kwota odsetek $N\alpha$, gdzie $\alpha=a/100$. Je�eli kapitalizacja odsetek nast�puje kwartalnie
(cz�sta ostatnio sytuacja), to nale�ne odsetki dopisywane s� do lokaty 4 razy w roku. W ten spos�b
efektywny zysk procentowy z lokaty jest wy�szy, ni� nominalna stopa procentowa $a$. Lokata $N$
z�otych po pierwszym kwartale urasta do $(1+\alpha/4)N$ (doliczono $1/4$ nale�nych odsetek) i ta
kwota staje si� kapita�em podlegaj�cym oprocentowaniu w dalszym okresie. Ten sam proces nast�puje
pod koniec ka�dego kwarta�u. Po roku warto�� lokaty
wyniesie
$$
(1+\alpha/4)^4N.
$$
Im cz�stsza kapitalizacja odsetek, tym wy�szy zysk. Przy kapitalizacji $n$-krotnej w ci�gu roku,
kapita� $N$ z�otych po roku urasta do
$$
(1+\alpha/n)^nN.
$$
Jak wida� zysk ro�nie przy ka�dym zwi�kszeniu cz�stotliwo�ci kapitalizacji, ale nie wzrasta bez
ogranicze�. Lokata inwestora maksymalnie, po roku, przy ci�g�ej kapitalizacji wyniesie, zgodnie z
obliczeniami z poprzedniego tygodnia
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\alpha/n\right)^nN=e^\alpha N.
$$
Na przyk�ad, je�eli $\alpha=0,15$ (lokata na 15 \%), to efektywny zysk wyni�s�by oko�o 16,18 \%.
Zwi�zek procesu sk�adanego procentu z funkcj� wyk�adnicz� przy cz�stej kapitalizacji odsetek (lub,
r�wnowa�nie przy wieloletnim okresie trwania inwestycji) sugeruje bardzo szybki wzrost warto�ci
inwestycji. W 1626 roku holenderski osadnik Peter Minuit kupi� od rdzennych mieszka�c�w (Indian)
wysp� Manhattan, za kwot� 60 gulden�w, por�wnywaln� do oko�o 24 dzisiejszych dolar�w. Transakcja ta
stanowi przys�owiowy przyk�ad dobrego interesu. Czy rzeczywi�cie by� to tak dobry interes? Gdyby
holenderski osadnik zamiast kupowa� wysp� w 1626 roku zainwestowa� kwot� 24 dolar�w na 10 \%
rocznie, to w dniu dzisiejszym jego spadkobiercy dysponowaliby kwot�
$$
24\cdot 1,1^{375}\simeq8\cdot10^{16}
$$
dolar�w.

\medskip

19.2. {\bf Wzrost populacji}. Rozwa�my populacj� bakterii, kt�re dla uproszczenia naszych rozwa�a�
nigdy nie umieraj�. Niech $N(t)$ b�dzie ilo�ci� bakterii w
chwili $t$. Ka�da bakteria, przy wystarczaj�cej ilo�ci miejsca i po�ywienia co jaki� czas si� dzieli,
wydaj�c na �wiat now� bakteri�. Ustalmy miar� czasu, na przyk�ad niech czas $t$ b�dzie mierzony w
sekundach, i niech bakterie dziel� si� �rednio co $\rho$ sekund. W takim razie po up�ywie kr�tkiego
czasu $h$ (w czasie kt�rego liczb� $N(t)$ mo�na uzna� za sta��) liczebno�� populacji wzro�nie o
$N(t)\ h/\rho$. Widzimy wi�c, �e funkcja $N(t)$ spe�nia� b�dzie r�wnanie r�niczkowe
$$
N'(t)=\alpha N(t),\quad\alpha=1/\rho.
$$
Jak wiemy jedynym rozwi�zaniem powy�szego r�wnania jest funkcja
$$
N(t)=N_0e^{\alpha\ t}, \quad N_0=N(0).
$$
Wzrost populacji b�dzie wi�c bardzo szybki --- wyk�adniczy.

Je�eli bakterie nie s� nie�miertelne, a
stopa umieralno�ci populacji wynosi $\beta$ (czyli w jednostce czasu w populacji $N(t)$ umiera
$\beta N(t)$ osobnik�w), to, jak �atwo sprawdzi�, $N(t)=N_0e^{(\alpha-\beta)\ t}$. Populacja b�dzie
ros�a b�d� wymiera�a --- wyk�adniczo.

Je�eli populacja bakterii osi�gnie du�e rozmiary, to jej dalszy wzrost b�dzie utrudniony. Brakowa�
b�dzie miejsca lub po�ywienia. Wyobra�my sobie sytuacj�, gdy tempo wzrostu populacji $dN(t)/dt$ jest
proporcjonalne do iloczynu $N(t)$ oraz $M-N(t)$, gdzie $M$ jest ,,pojemno�ci� �rodowiska".
Otrzymujemy tak zwane r�wnanie logistyczne
$$
N'(t)=\alpha N(t)(M-N(t)).\tag1
$$
Bardzo wiele populacji wyst�puj�cych w przyrodzie rozwija si� zgodnie z r�wnaniem logistycznym.
U�ywaj�c zapisu r�niczkowego mo�emy zapisa� (1) jako
$$
\frac{d\ N}{N(M-N)}=\alpha dt.
$$
Ca�kuj�c obie strony otrzymujemy
$$
\align
\int\frac{d\ N}{N(M-N)}&=\frac1M\int\frac{d\ N}{N}+\frac1M\int\frac{d\ N}{M-N}\\
&=\frac1M\log |N|-\frac1M\log|M-N|\\
&=\alpha t +C.
\endalign
$$
Otrzymujemy wi�c
$$
\frac{|N|}{|M-N|}=C'e^{M\alpha t},\quad C'=e^{M C},
$$
gdzie $C'$ jest jak�� sta�� dodatni�. Nietrudno si� przekona�, �e $M-N$ zachowuje znak, czyli
$$
\frac{N(t)}{M-N(t)}=C''e^{M\alpha t},
$$
gdzie $C''$ jest dowoln� sta�� dodatni� b�d� ujemn�. Rozwi�zuj�c ze wzgl�du na $N(t)$ otrzymujemy
$$
N(t)=\frac {C_1e^{M\alpha t}}{1+C_2e^{M\alpha t}}=\frac{c_1}{1+c_2e^{-M\alpha t}}.
$$
Wykres $N(t)$ to znana w biologii krzywa logistyczna.

\medskip

19.3. {\bf Eksplozja populacji}. Za��my teraz, �e przyrost populacji jest
proporcjonalny nie do ilo�ci osobnik�w w populacji, ale do
ilo�ci par tej populacji, czyli �e {\it ka�da para} osobnik�w tej
populacji produkuje potomstwo. Ilo�� par w populacji $N$ jest
oczywi�cie $\frac{N(N-1)}{2}\sim \frac{N^2}{2}$ gdy $N$ jest
du�e.
Mamy wtedy
$$
N'(t)=\alpha N(t)^2.
$$
Ca�kuj�c powy�sze r�wnanie otrzymujemy
$$
\int_0^t\frac{N'(s)}{N^2(s)}ds=\alpha t,
$$
sk�d
$$
-\frac{1}{N(t)}+\frac{1}{N(0)}=\alpha t,
$$
czyli dalej
$$
N(t) =\frac{1}{c-\alpha t},\quad c=1/N(0).
$$
Widzimy wi�c, �e populacja eksploduje w sko�czonym czasie $T$ ($T=1/(N(0)\alpha)$:
$$
\lim_{t\to T^-}N(t)=+\infty.
$$

\medskip

19.4. {\bf Rozpad promieniotw�rczy} Pr�dko�� rozpadu substancji promieniotw�rczej jest
proporcjonalna do ilo�ci tej substancji. Je�eli $N(t)$ oznacza ilo�� tej substancji w czasie
$t$, to mamy nast�puj�ce r�wnanie
$$
\frac{d\ N(t)}{dt}=-\alpha N(t).
$$
Oznacza to, �e $N(t)$ maleje wyk�adniczo
$$
N(t)=N_0e^{-\alpha t}.
$$
Fakt, �e na Ziemi wci�� pozostaj� znacz�ce ilo�ci substancji radioaktywnych spowodowany jest tym,
�e obecne naturalnie substancje promieniotw�rcze rozpadaj� ci� bardzo powoli. Czas po�owicznego
rozpadu uranu 238 (czyli czas po jakim ilo�� substancji zmniejsza si� o po�ow�) liczony jest w
miliardach lat.

\medskip

19.5. {\bf Funkcje hiperboliczne}. Funkcje postaci $x\to a\cos x+
b\sin x$ spe�niaj� r�wnanie r�niczkowe $u''(x) + u(x)=0$.
Rozwa�my teraz podobne r�wnanie
$$
u''(t)-u(t) =0.
$$
Zauwa�my, �e funkcje $t\to e^t$ i $t\to e^{-t}$ spe�niaj� to
r�wnanie. Przez analogi� z funkcjami trygonometrycznymi wprowadzamy nast�puj�ce dwie nowe funkcje
$$
\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2},\quad\sinh t = \frac{e^t-e^{-t}}{2},
$$
kt�re nazywamy odpowiednio hiperbolicznym kosinusem  i hiperbolicznym sinusem.
Mamy
$$
\gather
\cosh 0 = 1,\quad \sinh 0 = 0,\\
\sinh (-t)=\sinh t,\quad\cosh (-t)=t,\\
\cosh^2 t-\sinh^2 t = 1.
\endgather
$$
Mamy r�wnie�
$$
\lim_{t\to +\infty}\frac{\sinh t}{\frac12 e^t}=\lim_{t\to +\infty}\frac{\cosh
t}{\frac12 e^t}= 1,\tag 2
$$
co pokazuje, �e obie funkcje hiperboliczne zachowuj� si�
w $+\infty$ jak $\frac12 e^t$. �atwo jest policzy� pochodne
$$
\frac{d\cosh t}{dt}=\sinh t,\qquad  \frac{d\sinh t}{dt}=\cos t.
$$

\medskip

\proclaim{Twierdzenie 19.6} Niech
$$
f''(t)-f(t)=0,\quad f(0)= a,\quad f'(0)=b. \tag3
$$
Wtedy
$$
f(t)= a\cosh t + b\sinh t.
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d}
Sprawdzamy najpierw, �e funkcja $t\to a\cosh t + b\sinh t$ spe�nia (3).
Nast�pnie, niech $f$ spe�nia (3). Wprowad�my funkcj� pomocnicz� $g(t)$
$$
g(t) = f(t)- a\cosh t - b\sinh t.
$$
�atwo sprawdzi�, �e $g(t)$ spe�nia
$$
g''(t)=g(t),\quad g(0)=0,\quad g'(0)=0.
$$
Niech $\varphi(t)=g(t)-g'(t)$. Wtedy $\varphi(0)=g(0)-g'(0)=0$ oraz
$$
\varphi'(t)=g'(t)-g''(t)=g'(t)-g(t)=-\varphi(t).
$$
Widzimy wi�c, �e $\varphi(t)=\varphi(0)e{-t}= 0$,
sk�d $g(t)=g'(t)$ oraz $g(0)=0$. Jeszcze raz korzystaj�c z 18.12.
otrzymujemy $g(t)\equiv 0$, co ko�czy dow�d.\qed
\enddemo
Powy�sze twierdzenie ma natychmiastowe uog�lnienie.

\medskip

\proclaim{Twierdzenie 19.7} Niech $\omega>0$ oraz
$$
f''(t)-\omega^2f(t)=0.
$$
Wtedy
$$
f(t)= a\cosh\omega t + b\sinh \omega t.
$$
\endproclaim

Zauwa�my, �e $\cosh t>0$, wi�c bior�c pod uwag� wz�r na pochodn�, otrzymujemy, �e $\sinh t$ jest
funkcj� rosn�c�. Dodatkowo, z (2) i nieparzysto�ci $\sinh t$ wynika, �e
$$
\lim_{t\to-\infty}\sinh t=-\infty,\qquad\lim_{t\to\infty}\sinh t=+\infty.
$$
Funkcja $\sinh t$ jest wi�c odwracalna, a odwrotna do niej, nazywana $\arcsinh$ okre�lona jest na
ca�ej prostej $\bold R$. Obliczmy pochodn� $\arcsinh t$, Niech $y=\sinh t$.
$$
\frac{d\arcsinh y}{dy}=\frac1{\frac{d\sinh t}{dt}}=\frac1{\cosh
t}=\frac1{\sqrt{1+\sinh^2t}}=\frac1{\sqrt{1+y^2}}.
$$
Bior�c pod uwag�, �e $\arcsinh 0=0$, otrzymujemy kolejn� interesuj�c� ca�k�
$$
\arcsinh t=\int_0^t\frac{d u}{\sqrt{1+u^2}}.
$$

Zauwa�my teraz, �e $\sinh t>0$ dla $t>0$, wi�c $\cosh t$ jest funkcj� rosn�c� na $[0,+\infty)$, i
przyjmuje tam warto�ci z przedzia�u $[1,+\infty)$. Istnieje wi�c funkcja odwrotna, nazywana
$\arccosh t$, okre�lona na $[1,+\infty)$, o warto�ciach w $[0,+\infty)$. Obliczmy jej pochodn�,
niech $y=\cosh t$.
$$
\frac{d\arccosh y}{dy}=\frac1{\frac{d\cosh t}{dt}}=\frac1{\sinh
t}=\frac1{\sqrt{\cosh^2 t -1}}=\frac1{\sqrt{y^2-1}}.
$$
Poniewa� $\arccosh 1=0$, wi�c
$$
\arccosh y=\int_1^y\frac{d u}{\sqrt{u^2-1}}.
$$
Funkcje $\arcsinh$ i $\arccosh$ mo�na wyrazi� przy pomocy funkcji wprowadzonych wcze�niej
$$
\gather
\arcsinh y=\log\left(y+\sqrt{1+y^2}\right),\\
\arccosh y=\log\left(y+\sqrt{y^2-1}\right).
\endgather
$$
\enddocument
