\hsize 160 truemm
\vsize 240 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 18.\\
\\
Logarytm i funkcja wyk�adnicza
\endhead
\medskip

18.1.
Szukamy funkcji ci�g�ej $\varphi$ okre�lonej na $\bold R^+$, kt�ra ,,zamienia mno�enie na
dodawanie", to znaczy spe�nia r�wnanie
$$
\varphi(xy)=\varphi(x)+\varphi(y).\tag1
$$
Podstawiaj�c $x=y=1$ otrzymujemy $\varphi(1)=2\varphi(1)$, st�d funkcja
 $\varphi$ spe�niaj�ca (1) musi mie� w�asno��
$\varphi(1)=0$. Za��my, �e $\varphi$ jest r�niczkowalna. Wtedy dla ustalonego $x>0$ $$ \align
\varphi'(x)=&\lim_{h\to 0}\frac{\varphi(x+h)-\varphi(x)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\varphi\bigg(
x\big(1+\frac{h}{x}\big)\bigg)-\varphi(x)}{h}\\ =&\lim_{h\to
0}\frac{\varphi(x)+\varphi\big(1+\frac{h}{x}\big)-\varphi(x)}{h} =\lim_{h\to
0}\frac{\varphi\big(1+\frac{h}{x}\big)}{h}\\ =&\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}
\frac{\varphi\big(1+\frac{h}{x}\big)}{\frac{h}{x}} =\frac{1}{x}\lim_{k\to
0}\frac{\varphi(1+k)}{k}\\ =&\frac{1}{x}\varphi'(1).
\endalign
$$
Wynika st�d, �e
$$
\varphi'(x) =\frac{1}{x}\varphi'(1),
$$
czyli pochodna $\varphi(x)$ musi by� wielokrotno�ci� $1/x$. Widzimy wi�c, �e ka�da funkcja
(r�niczkowalna) spe�niaj�ca (1) jest ca�kowicie wyznaczona przez sta�� $c=\varphi'(1)$ i
wobec $\varphi(1)=0$ musi mie� posta�
$$
\varphi(x) =\int_1^xc\ \frac{1}{t}\  dt = c\int_1^x\frac{dt}{t}.
$$
Najnaturalniejszym wyborem jest oczywi�cie $c=1$. Wtedy nasza
funkcja $\varphi$ spe�niaj�ca (1) nazywa si� logarytmem naturalnym ($\log x$). Przyjmujemy wi�c
nast�puj�c� definicj� logarytmu naturalnego
$$
\log x = \int_1^x\frac{dt}{t}\quad\text{dla}\quad x>0.\tag2
$$
Na tym wyk�adzie logarytm naturalny b�dziemy nazywali po prostu logarytmem.
Je�eli $\varphi(x)$ spe�nia (1), $\varphi'(1)=1$, to musi mie� posta�
(2). Sprawdzimy, �e logarytm naturalny istotnie spe�nia (1).
$$
\align
\log(xy)=&\int_1^{xy}\frac{dt}{t}=\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_x^{xy}\frac{dt}{t}\\
=&\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_1^y\frac{ds}{s}\\
=&\log x+ \log y,
\endalign
$$
gdzie w drugiej ca�ce zastosowali�my podstawienie $t=xs$.

Zainteresowanie funkcj� $\varphi(x)$ spe�niaj�c� (1) wi��e si� z faktem, �e numerycznie liczby
znacznie �atwiej jest dodawa� ni� mno�y�. Fakt, �e logarytm naturalny jest tak�e ca�k�
nieoznaczon� funkcji $1/x$ jest dla nas znacznie bardziej interesuj�cy.

18.2. �atwo sprawdzi� nast�puj�ce w�asno�ci logarytmu naturalnego
$$
\log\frac{x}{y}=\log x- \log y.\tag3
$$
Wynika to z nast�puj�cych r�wno�ci
$$
0=\log 1= \log\left(x\cdot\frac{1}{x}\right)=\log
x+\log\frac{1}{x},\quad\text{sk�d}\quad \log\frac{1}{x}=-\log x.\tag4
$$
Nast�pnie
$$
\log\frac{x}{y}=\log x +\log\frac{1}{y}=\log x-\log y,
$$
i dostajemy (3).
Je�li $r\in\bold Q$ to
$$
\log x^r=r\log x.\tag5
$$
Rozwa�my najpierw $r$ naturalne, $r=1,2,\dots$
$$
\log x^m=\log x+\dots+\log x =m\log x.
$$
��cz�c powy�sze z (4) otrzymujemy (5) dla dowolnego $r$ ca�kowitego. Dalej, dla
$n$ naturalnego
$$
\log x=\log x^{1/n}\cdots x^{1/n}=n\ \log x^{1/n},\quad\text{sk�d}\quad
\log x^{1/n}=\frac1n\log x.
$$
W ko�cu, je�eli $r=m/n$, to
$$
\log x^{m/n}=\log \big( x^{1/n}\big)^m= m\ \log x^{1/n}=\frac mn \log x,
$$
co daje (5).

\medskip

18.3. Zauwa�my, �e logarytm jest funkcj� rosn�c� na $(0,+\infty)$, (gdy� $\log'x=1/x>0$), wkl�s��,
(gdy� $\log''x=-1/x^2<0$) oraz
$$
\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty ,\quad\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty.\tag6
$$
Zauwa�my, �e skoro $\log1=0$, a logarytm jest funkcj� rosn�c�, wi�c $\log x>0$ dla $x>1$ i
$\log x<0$ dla $x<1$. Czyli, w szczeg�lno�ci $\log 2>0$. St�d, je�eli $x>2^n$ to
$$
\log x>\log 2^n=n\ \log2.
$$
To pokazuje pierwsz� granic� w (6). �eby udowodni� drug�, wystarczy zauwa�y�, �e gdy $x\to0^+$ to
$1/x\to+\infty$, wi�c $\log(1/x)\to+\infty$, a $\log(1/x)=-\log x$.

\medskip

18.4. Poniewa� $\log:\bold R^+\ni x\to \int_1^x\frac{dx}{x}$ jest
funkcj� ci�g��, $\log 1=0$, oraz  $\lim_{x\to+\infty}\log x = +\infty$,
wi�c istnieje liczba $e>1$ taka, �e $\log e = 1$. Je�li $a>0$, $a\neq0$
jest dowoln� liczb� dodatni� definiujemy logarytm {\it o
podstawie} $a$ jako
$$
\log_a x =\frac{\log x}{\log a}.
$$
Logarytm o podstawie $a$ jest wi�c wielokrotno�ci� logarytmu naturalnego. Sta�a wielokrotno�ci
jest dodatnia je�eli $a>1$ i ujemna je�eli $a<1$
Oczywi�cie funkcja $x\to \log_a x$ ma wszystkie w�asno�ci opisane
w 18.2. Je�eli $a>1$ to $\log_a x$ ma te� w�asno�ci opisane w 18.3., a gdy $a<1$, to logarytm przy
podstawie $a$ jest oczywi�cie funkcj� malej�c�, wypuk��, spe�niaj�c�
$$
\lim_{x\to+\infty}\log_a x=-\infty ,\quad\lim_{x\to 0^+}\log_a x=+\infty.
$$

\medskip

18.5. Rozwa�my funkcj� $f(x)=\log|x|$ okre�lon� na ca�ej prostej $\bold R$ z wyj�tkiem $0$. Funkcja $f$
jest r�niczkowalna (poza punktem 0) oraz
$$
\frac{d\ f(x)}{dx} = \frac{1}{x}\quad x\neq0.
$$
Wystarczy sprawdzi� powy�sz� r�wno�� dla $x<0$, gdy� dla $x>0$ wynika wprost z definicji (2).
Je�eli $x<0$ to
$$
\frac{d\ \log|x|}{dx}=\frac{d\ \log(-x)}{dx}=\frac{d\ \log(-x)}{d(-x)}\frac{d\ (-x)}{dx}=
\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.
$$
\medskip

18.6 Zauwa�my nast�puj�ce zastosowanie w ca�kowaniu. Je�li funkcja $\varphi$ jest r�na od zera w
przedziale $[a,b]$ i ci�g�a, to
$$
\int_a^b \frac{\varphi'(x)}{\varphi(x)} dx=\left.
\log|\varphi(x)|\right|_a^b=\log|\varphi(b)|-\log|\varphi(a)|.
$$

\medskip

18.7. Przyk�ady: (a) Znajdziemy pierwotn� funkcji
$$
f(x) =\frac{x^{99}}{1+x^{100}}.
$$
Niech $\varphi(x) = 1+x^{100}$. Wtedy $\varphi'(x)=100\ x^{99})$, sk�d
$$
\int\frac{x^{99}}{1+x^{100}} dx= \frac{1}{100}\log(1+x^{100})+C.
$$
\newline (b) $\int\tg\theta\ d\theta = \int\frac{\sin\theta}{\cos\theta}d\theta = -
\log|\cos\theta|+C.$
\newline (c) $\int\ctg\theta\  d\theta = \int\frac{\cos\theta}{\sin\theta}d\theta =
\log|\sin\theta|+C.$
\newline (d) $\int \arctg x\  dx = x\arctg x-\int xd\arctg x=x\arctg x-
\int\frac{xdx}{1+x^2}=x\arctg x-\frac12\log(1+x^2)+C.$
\newline (e) $\int\log x\  dx =x\log x-\int x\frac{1}{x} \ dx=x\log x-x +C$.
\newline (f) $\int x\log x\ dx = \frac{x^2}{2}\log x-\int
\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}\ dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C.$
\newline (g) $\int\frac{dx}{x\log x}=\int\frac{\frac{1}{x}}{\log x}
dx=\log|\log x|+ C$.
\newline W powy�szych przyk�adach wsz�dzie zak�adamy �e $x\in(a,b)$, gdzie przedzia�
jest tak dobrany, �eby wszystkie funkcje ca�kowane okre�lone i ci�g�e w $(a,b)$.

\medskip

18.8. Dla ustalonego $a>0$, $a\neq1$ i dowolnego $x\in \bold R$ okre�lamy
$a^x$ jako tak� liczb� rzeczywist� $y$, �e
$$
\log_a y=x.
$$
Dla wygody okre�lmy te� $1^x=1$ dla wszystkich $x\in \bold R$.
Je�eli $x=m/n$ jest liczb� wymiern�, to powy�sza definicja $a^x$ zgadza
si� ze star� definicj� wymiernej pot�gi liczby $a$. Wynika to natychmiast z w�asno�ci (5)
$$
\log_a\left(a^{m/n}\right)=\frac mn\log_a a=\frac mn.
$$

Innymi s�owy, je�eli $a\neq0$ to funkcja $x\to a^x$ okre�lona na $\bold R$ o warto�ciach w
$\bold R^+$ jest funkcj� odwrotn� do $\log_a y$. Jako funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej i
ci�g�ej
$$
\bold R\ni x\to a^x\in R^+
$$
jest funkcj� ci�g�� i monotoniczn�, �ci�lej rosn�c� dla $a>1$ i malej�c� dla $a<1$.
Tak zdefiniowana funkcja nazywa si� funkcj� {\bf wyk�adnicz�}. Szczeg�lny przypadek $e^x$ jest
jedn� z najwa�niejszych funkcji w matematyce.
�atwo sprawdzamy nast�puj�ce fakty:
$$
\log e^x= x,\quad
e^{\log u}=u,\quad u>0,\quad a^{x+y}=a^xa^y,a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y},\quad (ab)^x=a^xb^x.
$$
Zauwa�my, �e dla dowolnego $x\in \bold R$ zachodzi
$$
\log a^x=x\ \log a.\tag7
$$
Istotnie, r�wno�� $s=a^x$ oznacza, �e $\log_as=x$. Ale $\log_as=\log s/\log a$, co dowodzi (7).
�atwo wynikaj� z tego nast�puj�ce r�wno�ci
$$
a^x=e^{x\log a},\quad \left(a^x\right)^y=a^{x,y}.
$$

\medskip

18.9. Mamy nast�puj�cy wz�r
$$
\frac{d\ e^x}{dx}=e^x.
$$
Istotnie, dla $u=e^x$
$$
\frac{d\ e^x}{dx}=\frac{1}{\frac{d\ \log u}{du}}=
\frac{1}{\frac{1}{u}}=u=e^x.
$$
Dla $a>0$ mamy
$$
\frac{d\ a^x}{dx}=\frac{d\ e^{x\log a}}{dx}=e^{x\log a}(\log a)=
(\log a) a^x.
$$

\medskip

18.10. Dla dowolnego $\alpha\in \bold R$ definiujemy {\it funkcj�
pot�gow�} na $\bold R^+$
$$
x\to x^\alpha=e^{\alpha\log x}.
$$
Oczywi�cie dla $\alpha=m/n$ wymiernego, tak zdefiniowana funkcja jest
identyczna z funkcj� pot�gow� zdefiniowan� wcze�niej
$$
e^{m/n\ \log x}=e^{1/n\log x+\dots+1/n\log x}=e^{1/n\log x}\cdot\dots\cdot e^{1/n\log x}=
\left(e^{1/n\log x}\right)^m.
$$
Z drugiej strony
$$
x=e^{\log x}=e^{1/n\log x+\dots+1/n\log x}=e^{1/n\log x}\cdot\dots\cdot e^{1/n\log x}=
\left(e^{1/n\log x}\right)^n,
$$
sk�d
$$
e^{1/n\log x}=x^{1/n}.
$$
Widzimy wi�c, �e
$$
x^{m/n}=e^{m/n\log x},
$$
gdzie z lewej strony wyst�puje pot�ga w starym sensie.
Mamy
$$
\frac{d\ x^\alpha}{dx}= \alpha x^{\alpha-1}.
$$
Istotnie,
$$
\frac{d\ x^\alpha}{dx}=\frac{d\ e^{\alpha\log x}}{dx}=e^{\alpha\log x}\frac{d\ \alpha\log x}{dx}
=e^{\alpha\log x}\frac\alpha x=\alpha\frac{x^\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}.
$$
Widzimy, �e dla $\alpha>0$ funkcja pot�gowa jest rosn�ca oraz (wprost z definicji)
$$
\lim_{x\to+\infty}x^\alpha =+\infty,\quad\lim_{x\to0^+}x^\alpha=0.\tag8
$$
Dla $\alpha<0$ funkcja pot�gowa jest malej�ca i
$$
\lim_{x\to+\infty}x^\alpha =0,\quad\lim_{x\to0^+}x^\alpha=+\infty.
$$

Przyk�ad. Niech $f:\bold R^+\ni x\to x^x\in \bold R^+.$ Mamy
$$
\frac{d\ f(x)}{dx}= \frac{d\ e^{x\log x}}{dx}=e^{x\log x}\frac{d\ x\log
x}{dx}=x^x(\log x+1).
$$

\medskip

18.11. Funkcja wyk�adnicza $e^x$ jest jedynym rozwi�zaniem nast�puj�cego r�wnania
r�niczkowego
$$
f'(x) =f(x)\quad\text{z warunkiem pocz�tkowym}\quad f(0)=1.\tag9
$$
Udowodnili�my ju�, �e $e^x$ spe�nia (9). Teraz za��my, �e funkcja $f$ spe�nia (9).
Rozwa�my funkcj� $g(x)=e^{-x}f(x)$.
$$
g'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f(x)-f(x))=0.
$$
Czyli
$g$ jest funkcj� sta��, ale $g(0)=f(0)=1$, wi�c $e^{-x}f(x)=1$,
sk�d $f(x)=e^x$.

\medskip

18.12. Podobnie funkcja
$$
f(x) = Ae^{\alpha x}
$$
jest jedynym rozwi�zaniem r�wnania r�niczkowego
$$
f'(x) =\alpha f(x)\quad\text{z warunkiem pocz�tkowym}\quad f(0)=A.
$$

\medskip

18.13. Poka�emy, teraz, �e dla du�ych $x$ funkcja wyk�adnicza
jest wi�ksza od dowolnej funkcji pot�gowej. To znaczy, �e dla ka�dego $\alpha$
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=+\infty.\tag10
$$
Oczywi�cie wystarczy udowodni� (10) dla $\alpha>0$, czyli w przypadku gdy i licznik i mianownik
d��� do $+\infty$. Rozwa�my
funkcj� pomocnicz� $\varphi(t)=e^t-1+t$. Mamy $\varphi'(t)=e^t+1$,
wi�c funkcja $\varphi$ jest rosn�ca. Poniewa� $\varphi(0)=0$, wi�c
$\varphi(t)>0$ dla $t>0$, czyli
$$
e^t-1-t>0\quad\text{dla}\quad t>0.
$$
St�d
$$
e^t>1+t\quad\text{czyli}\quad
\frac{e^t}{t}>1+\frac{1}{t}>1,\quad t>0.
$$
We�my dowolne $\alpha>0$ i niech $N>\alpha$ b�dzie liczb� naturaln�.
Podstawiaj�c $t=x/N$ i dziel�c przez $N$ otrzymujemy
$$
\frac{e^{x/N}}{x}>\frac{1}{N}\quad\Rightarrow\quad
\frac{e^x}{x^N}=\bigg(\frac{e^{\frac{x}{N}}}{x}\bigg)^N>\frac{1}{
N^N}.
$$
mamy wi�c, wobec (8)
$$
\frac{e^x}{x^\alpha}=\frac{e^x}{x^N}x^{N-\alpha}> \frac{1}{N^N}
x^{N-\alpha}\to+\infty\quad\text{gdy}\quad x\to+\infty.
$$

\medskip

18.14. Jako wniosek otrzymujemy nast�puj�c� granic�. Dla dowolnego $\alpha>0$
$$
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{\log
x}=+\infty.\tag11
$$
Podstawmy $\log x =y$.
$$
\frac{x^\alpha}{\log x}
=\frac{e^{\alpha y}}{y}=\bigg(\frac{e^y}{y^{\frac{1}{\alpha}}}\bigg)^\alpha.
$$
Gdy $x\to+\infty$ to $y\to+\infty$, wi�c z (10) $e^y/y^{(1/\alpha)}\to+\infty$, a wtedy,
z (8) mamy
$$
\bigg(\frac{e^y}{y^{\frac{1}{\alpha}}}\bigg)^\alpha\to+\infty.
$$
co poci�ga (11). W skr�cie mo�na powiedzie�, �e funkcja wyk�adnicza ro�nie szybciej od ka�dej
pot�gowej, a dowolna pot�gowa szybciej od logarytmu. Warto pami�ta�, �e funkcja wyk�adnicza ro�nie
bardzo szybko, a logarytm bardzo wolno.

\medskip

\proclaim{Twierdzenie 18.15} Dla dowolnego $\alpha$ mamy
$$
\lim_{x\to+\infty}\bigg(1+\frac{\alpha}{x}\bigg)^x = e^\alpha.\tag12
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Wstawiaj�c $x=\frac{1}{h}$ (12) przyjmuje posta�
$$
\lim_{h\to 0^+}(1+\alpha h)^{1/h}=e^\alpha.
$$
Poniewa� $e^x$ jest funkcj� ci�g��, wystarczy udowodni�
$$
\lim_{h\to 0^+}\log(1+\alpha h)^{1/h}=\alpha.
$$
Dowodzimy tego nast�puj�co
$$
\log(1+\alpha h)^{1/h}=\frac{1}{h}\log(1+\alpha
h)=\frac{1}{h}\left(\log(1+\alpha h)-\log 1\right)
=\alpha\ \frac{\log(1+\alpha h)-\log 1}{\alpha h}.
$$
Gdy $h\to0^+$ ostatni u�amek d��y do pochodnej logarytmu w 1.
$$
\lim_{h\to0^+}\frac{\log(1+\alpha h)-\log 1}{\alpha h}=
\alpha \frac{d\ \log x}{dx}\bigg|_{x=1}=\alpha\ \frac{1}{x}\bigg|_{x=1}=\alpha.\qed
$$
\enddemo

\medskip

19.14. Mamy nast�puj�cy znany wz�r, w niekt�rych podr�cznikach przyjmowany jako definicja liczby
$e$
$$
e=\lim_{n\to \infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n.
$$
\enddocument
