\hsize 159 truemm
\hoffset -5truemm
\vsize 240 truemm
\voffset -5truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 15.\\
\\
Pola figur p�askich i obj�to�ci bry�
\endhead

15.1. Niech $R$ b�dzie obszarem na p�aszczy�nie ograniczonym
prostymi $x=a$, $x=b$ , przy czym $a<b$, oraz wykresem funkcji
ograniczonej, nieujemnej i kawa�kami ci�g�ej $[a,b]\ni x\to
f(x)$.
Wtedy pole obszaru $R$ jest {\it zdefiniowane} jako
$$
\int_a^bf(x)dx.
$$
Poniewa� funkcja $f$ jest nieujemna pole $R$ jest liczb�
nieujemn�, zgodnie z nasz� intuicj� pola. Je�li $R$ jest
obszarem ograniczonym przez proste $x=a$, $x=b$ , przy czym $a<b$,
oraz wykresem funkcji
ograniczonej, kawa�kami ci�g�ej $[a,b]\ni x\to f(x)$ od g�ry i
wykresem funkcji
ograniczonej, kawa�kami ci�g�ej $[a,b]\ni x\to g(x)$ od do�u, przy czym
$f(x)\xgeq g(x)$, to pole $R$ {\it definiujemy} jako
$\int_a^bf(x)dx-\int^b_ag(x)dx =\int_a^b(f(x)-g(x))dx\xgeq 0$.
Innymi s�owy ca�kujemy d�ugo�� $l(x)=f(x)-g(x)$ odcinka
$[g(x), f(x)]$ od $a$ do $b$.
\medskip

15.2. Przyk�ady

(a) Niech $R$ b�dzie obszarem ograniczonym przez wykres paraboli
$y=x^2$, prost� $x=0$ oraz prost� $y=1$. Wtedy $l(t)= 1-t^2$
$a=0,\ b=1$ a pole $R$ jest r�wne
$$
\int_0^1(1-t^2)dt = t-\frac{t^3}{3}\bigg|_0^1= 1-\frac{1}{3} =
\frac{2}{3}.
$$
Zamieniaj�c rolami o� $x$-�w z osi� $y$-�w,  wtedy
d�ugo�� odcinka poziomego $[0, x(y)]$ na poziomie $y$
przecinaj�cego obszar $R$ wynosi $l(y)=\sqrt y$ dla $0\xleq y\xleq
1$.  Pole obszaru $R$ mo�e by� obliczone jako
$$
\int_0^1l(y)dy= \int_0^i\sqrt y dy =\frac{2}{3}\sqrt{t^3}\bigg|_0^1
= \frac{2}{3}.
$$
(b) Niech $R$ b�dzie obszarem ograniczonym przez wykresy funkcji
$y=x^3$ i $y=x$. Wtedy $a=-1$, $b=1$,
$$
l(x) = \cases x^3-x&\text{ dla } -1\leq x\leq 0\\
x-x^3&\text{ dla } 0<x\leq 1\endcases
$$
St�d pole $R$ wynosi
$$
\int_{-1}^1l(x) dx= \int_{-1}^0(x^3-x)dx+\int_0^1(x-x^3) dx=
\bigg(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\bigg)\bigg|_{-1}^0+
\bigg(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\bigg)\bigg|_{0}^{1}=\frac12 .
$$
(c) Niech $R$ b�dzie obszarem ograniczonym przez parabol�
$y=x^2$ i prost� styczn� do paraboli w punkcie $(1,1)$ i o� $y$-
�w. Prosta styczna ma r�wnanie $y=2x-1$, $a=0$, $b=1$,
$l(x)= x^2-2x+1$. Pole $R$ wynosi
$$
\int_0^1(x^2-2x+1) dx =\frac{x^3}{3}-x^2+x\bigg|_0^1=\frac{1}{3}.
$$
(d) Obliczmy pole ko�a o promieniu $r$. Wtedy $a=-r$, $b=r$
$f(x) =\sqrt{r^2-x^2}$, $g(x)= - \sqrt{r^2-x^2}$,
$l(x)=2\sqrt{r^2-x^2}$.
St�d pole ko�a wynosi
$$
\int_{-r}^r2\sqrt{r^2-x^2}dx.
$$
Podstawiaj�c $t=rx$, $dt=r dx$ otrzymujemy
$$
\align
\int_{-r}^r2\sqrt{r^2-x^2}dx &=2\int_{-1}^1 \sqrt{r^2-r^2t^2}\,rdt\\
&=2r^2\int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2}dt.
\endalign
$$
{\it Zdefiniujmy} liczb� $\pi$ wzorem
$$
\pi=2\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}dx=4\int_{0}^1 \sqrt{1-x^2}dt.
$$
Otrzymujemy znany wz�r na pole ko�a o promieniu $r$ pole = $\pi r^2$.


15.3. Niech $B$ b�dzie bry�� w przestrzeni tr�jwymiarowej. Dla
ustalonego $t$ niech $A(t)$ b�dzie polem przekroju p�aszczyzny
$\{(x,y,z): z=t\}$ z bry�� $B$. Za��my, �e funkcja $\bold R\ni
t\to A(t)$ jest funkcj� kawa�kami ci�g�� ograniczon� i
przyjmuj�c� warto�� $0$ poza sko�czonym przedzia�em $[a,b]$.
Wtedy {\it definiujemy} obj�to�� bry�y $B$ jako
$$
V(B) = \int_a^b A(t) dt.
$$

15.4 Przyk�ady

(a) Obliczymy obj�to�� kuli $B$ o promieniu $r$. Mamy
$$
B=\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2=r^2\}.
$$
Dla ustalonego $-r\xleq t \xleq r$
$\{(x,y,z): z=t\}\cap B$ jest ko�em o promieniu $\sqrt{r^2-t^2}$,
czyli $A(t) =\pi (r^2-t^2)$. St�d
$$
\align
V(B) &=\int_{-r}^r[\pi(r^2-t^2] dt\\
&= \pi \left.\left(r^2t-\frac{1}{3}t^3\right)\right|_{-r}^{r}\\
&=\pi 2\frac{2}{3}r^3\\
&=\pi\frac{4}{3}r^3.
\endalign
$$

(b) Obliczmy obj�to�� bry�y obrotowej $S$, ograniczonej
powierzchni� jak� otrzymujemy obracaj�c parabol� $z=x^2$
dooko�a osi $z$-�w i p�aszczyzn� poziom� $z=h$. Wtedy dla
$0\xleq t\xleq h$
$\{(x,y,z): z=t\}\cap S$ jest ko�em o promieniu $\sqrt t$, wi�c
$A(t) =\pi t$ czyli
$$
V(S) =\int_0^h\pi t dt = \pi\frac{h}{2}.
$$
\enddocument
