\hsize 159 truemm
\hoffset -5truemm
\vsize 240 truemm
\voffset -5truemm
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head
{\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 13.\\
\\
Ca�ka I
\endhead

\medskip
\proclaim{13.1. Twierdzenie o zamianie zmiennych} Niech $\varphi$
bedzie funkcj� r�niczkowaln� na $(\alpha,\beta)$, a $f$ bedzie funkcj�
ci�g�� na zbiorze warto�ci $\varphi$ (tak aby z�o�enie $f\circ\varphi$
by�o okre�lone). Niech $F$ b�dzie pierwotn� funkcji $f$, czyli
$$
\int f(x)dx=F(x)+C.
$$
 Wtedy
$$
\int f(\varphi(t))\varphi'(t) dt = F(\varphi(t))+C.
$$
U�ywaj�c zapisu w postaci r�niczkowej, bardzo w tej sytuacji wygodnej, cz�sto piszemy
$$
\int f(\varphi(t))\varphi'(t) dt=\int f(\varphi(t))d\varphi(t).
$$
\endproclaim
\demo{Dow�d} Istotnie, wykorzystuj�c regu�� �a�cuchow� $$ \align
\frac{dF(\varphi(t))}{dt}&= F'(\varphi(t))\varphi'(t)\\
&=f(\varphi(t))\varphi'(t),
\endalign
$$
czyli $F(\varphi(t))$ jest istotnie funkcj� pierwotn�
$f(\varphi(t))\varphi'(t)$.\qed
\enddemo
Twierdzenie o zamianie zmiennych cz�sto wykorzystuje si� do znalezienia
pierwotnej $\int f(x) dx$. Dobieramy odpowiedni� funkcj� $\varphi$ i podstawiamy
$x=\varphi(t)$, $dx=\varphi'(t)dt$. Wtedy $\int f(x) dx= \int f(\varphi(t))\varphi'(t) dt$.
Je�li praw� stron� da si� policzy�, to musimy jeszcze znale�� funkcj� odwrotn� do
$\varphi$, �eby wyrazi� $t$ przez $x$.
\medskip

13.2 Przyk�ady.
\roster
\item"(a)"
Dla dowolnej funkcji ci�g�ej $f$ i dla dowolnego $a\neq0$ mamy
$$
\int f(a\cdot x) dx = \frac{1}{a}F(ax) dx+C\quad\text{gdzie}\quad F'=f.
$$
Istotnie, podstawiamy $z=ax$ wi�c (stosuj�c zapis w postaci r�niczkowej)
 $dz=adx$ czyli $dx=\frac{1}{a}dz$, wi�c $\int f(a\cdot x) dx = \frac{1}{a}\int f(z)
dz$.
\item"(b)" Stosuj�c podstawienie $x=\varphi(t)$, czyli, w zapisie w postaci r�niczkowej
$dx=\varphi'(t)dt$, obliczamy
$$
\int \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)^2} dt = \int \frac{d\varphi(t)}{\varphi(t)^2} = \int
\frac{dx}{x^2}.
$$
Ostatnia ca�ka jest bardzo prosta do obliczenia, i wynosi
$$
\int\frac{dx}{x^2}=-\frac1x+C,
$$
wi�c wracaj�c do zmiennej $t$ otrzymujemy
$$
\int \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)^2} dt=-\frac1{\varphi(t)}+C.
$$
\item"(c)" Obliczymy nast�puj�c� ca�k�
$$
\int\frac{dx}{\root 3\of{1+5x}}=\int(1+5x)^{-\frac{1}{3}}dx.
$$
Podstawiamy (dla wprawy zamieniamy rolami literki $x$ i $t$) $1+5x=t$ st�d $5dx =dt$
czyli $dx=\frac{1}{5}dt$. Mamy wi�c
$$
\int(1+5x)^{-\frac{1}{3}}dx =\frac{1}{5}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=
\frac{1}{5}\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{10}(1+5x)^{\frac
{2}{3}}+C.
$$

\item"(d)" Znajdziemy
$$
\int \frac{(x-1)^3dx}{(1+(x-1)^4)^{\frac{1}{3}}}.
$$
Podstawiamy $x-1 = y$, $dx=dy$, a nast�pnie znowu podstawiamy $1+y^4=z$,
$y^3dy=\frac{1}{4}dz$.  Wtedy
$$
\int \frac{(x-1)^3dx}{(1+(x-1)^4)^{\frac{1}{3}}}=
\int
\frac{y^3dy}{(1+y^4)^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{4}\int\frac{dz}
{z^{\frac{1}{3}}}
=\frac{3}{8}z^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{8}(1+y^4)^{\frac{2}{3}}+C=
\frac{3}{8}(1+(x-1)^4)^{\frac{2}{3}}+C.
$$
�atwo sprawdzi�, r�niczkuj�c, �e uzyskali�my prawid�ow� odpowied�.
\endroster

\medskip

\proclaim{13.3. Definicja} Funkcja $f$ okre�lona na odcinku $(a,b)$
nazywa si� {\bf kawa�kami
ci�g�a} je�eli jest ci�g�a, albo nieci�g�a w co najwy�ej sko�czonej ilo�ci
punkt�w. Innymi s�owy odcinek $(a,b)$ mo�na rozbi� na sko�czenie
wiele odcink�w
$(a,x_1],\ [x_1,x_2],\ [x_2,x_3],\dots,[x_n,b)$ takich, �e $f$ jest
ci�g�a na ka�dym z odcink�w rozbicia $(a,x_1),\  (x_1,x_2),\ (x_2,x_3),...,(x_n,b)$.
\endproclaim

\proclaim{13.4. Definicja} Niech $M$ b�dzie podzbiorem $\bold R$. Funkcj�
okre�lon� na $\bold R$ tak�, �e dla $x\in M$ jej warto�� jest
r�wna $1$ a dla $x\notin M$ jej warto�� jest $0$ nazywamy
funkcj� charakterystyczn� zbioru $M$ i oznaczamy $\bold 1_M$. Innymi
s�owy
$$
\bold1_M(x)=\cases 1&\text{ dla } x\in M\\
0&\text{ dla } x\notin M\endcases
$$
\endproclaim
\proclaim{13.5. Definicja} Funkcja $f$ okre�lona na odcinku $[a,b]$
nazywa si� {\bf prosta},
 je�li odcinek $(a,b)$ mo�na rozbi� na sko�czenie wiele
odcink�w roz��cznych na kt�rych $f$ jest
sta�a.
\endproclaim
Niech funkcja prosta $\varphi$, okre�lona na $[a,b]$ b�dzie okre�lona przez
$$
\varphi(x)=\cases \gamma_0 & \text{dla } x\in [a,x_1)\\
\gamma_1 & \text{dla } x\in [x_1,x_2)\\
\gamma_2 & \text{dla } x\in [x_2,x_3)\\
\ \vdots &  \quad \quad\quad\vdots\\
\gamma_n & \text{dla } x\in [x_n,b]
\endcases\tag13.6
$$
Wtedy, jak �atwo zauwa�y�, mo�emy napisa�
$$
\varphi(x) = \gamma_0\bold1_{[a,x_1)}(x)+ \gamma_1\bold1_{[x_1,x_2)}(x)+
\gamma_2\bold1_{[x_1,x_2)}(x)+\dots+ \gamma_n\bold1_{[x_n,b]}(x).
$$
Oczywi�cie, funkcja prosta jest kawa�kami ci�g�a.
\medskip

13.7. Niech $f$ b�dzie funkcj� nieujemn� na
przedziale $[a,b]$.
Przez
$$
\int^b_a f(x) dx
$$
oznaczamy ,,pole" obszaru ograniczonego wykresem funkcji od g�ry,
osi� $x$-�w od do�u
i prostymi $x=a$ oraz $x=b$ bo bokach. Je�li f przyjmuje warto�ci ujemne, to jej
wykres, o� $x$-�w i proste $x=a$ oraz $x=b$ ograniczaj� pewien obszar powy�ej osi
$x$-�w (nazwijmy jego pole $a_1$) i pewien obszar poni�ej (nazwijmy jego pole $a_2$).
Przyjmujemy wtedy nast�puj�c� definicj�
$$
\int^b_a f(x) dx=a_1-a_2.
$$
Rzecz jasna ,,pole" nie jest poj�ciem matematycznym i dlatego
powy�sza definicja $\int^b_a f(x) dx$, cho� intuicyjnie poprawna, wymaga u�ci�lenia.
Dla funkcji prostej (13.6) jednak
definicja ta jest oczywista, gdy� obszar pod wykresem �atwo roz�o�y� na kilka nie
zachodz�cych na siebie prostok�t�w, i ich pola mo�na �atwo policzy�.
$$
\int^b_a \varphi(x) dx= \gamma_0(x_1-a)+\gamma_1(x_2-x_1)+\dots+\gamma_n(b-x_n).
$$
Tak zdefiniowana wielko�� $\int^b_a f(x) dx$ musi mie� nast�puj�ce trzy podstawowe w�asno�ci,
wynikaj�ce z intuicyjnie oczywistych w�asno�ci ,,pola".
\roster
\item"(i)" Je�li $f$ jest funkcj� sta��, r�wn� $c$, to
$$
\int_a^bf(x)dx=c(b-a).
$$
\item"(ii)" Je�li $a\xleq c\xleq b$, to
$$
\int^c_a f(x)dx+\int^b_c f(x)dx=\int^b_a f(x)dx.
$$
\item"(iii)" Je�li $f\xleq g$, to
$$
\int^b_a f(x) dx\xleq \int^b_ag(x) dx.
$$
\endroster
\medskip

\proclaim{13.8. Twierdzenie} Niech $f$ b�dzie funkcj� kawa�kami
ci�g�a i ograniczona w przedziale $[a,b]$. Istnieje wtedy
dok�adnie jedna liczba $A$ taka, �e
$$
\int_a^b\psi(x) dx\xleq
A\xleq \int_a^b\varphi(x) dx\tag13.9
$$
dla wszystkich funkcji
prostych $\psi$ i $\varphi$ spe�niaj�cych $\psi(x)\xleq f(x)\xleq
\varphi(x)$ dla ka�dego $x\in [a,b]$.
\endproclaim
Dow�d tego twierdzenia zostawimy na p�niej.
Piszemy
$$
A=\int_a^b f(x) dx.
$$
$A$ jako pole pod wykresem funkcji $f$ (je�li $f$ jest nieujemna)
dobrze oddaje intuicj�. Zbi�r $M=\{(x,y): a\xleq x\xleq b\quad 0\xleq y\xleq f(x)\}$
,,pod wykresem funkcji $f$" ma ,,pole", kt�re nie jest wi�ksze ni� pole ka�dej
sumy prostok�t�w zawieraj�cych $M$ i nie jest mniejsze ni� pole
ka�dej sumy prostok�t�w zwartych w $M$.

\medskip

13.10.
Poka�emy teraz jak dla funkcji $f$ kawa�kami monotonicznych
mo�na obliczy� $\int_a^b f(x) dx $ z dowoln� dok�adno�ci�.

Poniewa� dla dowolnych punkt�w $a<x_1<\dots<x_n<b$ mamy $$
\int_a^b f(x) dx = \int_a^{x_1} f(x) dx+ \int_{x_1}^{x_2} f(x)
dx+\dots+\int_{x_n}^{b} f(x) dx, $$ wi�c wystarczy przybli�y�
ka�d� z ca�ek $\int_a^{x_1} f(x) dx,\  \int_{x_1}^{x_2} f(x)
dx,\dots\int_{x_n}^{b} f(x) dx $, a potem sum� przybli�y� sum�.
Funkcja $f$ jest kawa�kami monotoniczna, wi�c wybierzmy punkty
$x_1,\dots x_n$ tak, aby ka�dym z powy�szych odcink�w ca�kowania
$f$ by�a monotoniczna.

Za��my wi�c, �e funkcja $f$ jest niemalej�ca na odcinku
$[a,b]$. Dla funkcji nierosn�cej post�pujemy podobnie.

Podzielmy odcinek $[a,b]$ na $N$ r�wnych cz�ci $[a,b]= [a,x_1)\cup
[x_1,x_2)\cup\dots\cup[x_{N-1},b]$. Cz�ci s� r�wne, czyli
$$
x_1-a=x_2-x_1=\dots=b-x_{N-1}=\frac{b-a}{N}.
$$
Niech
$$
\gather
\varphi(x)=f(x_1)\bold1_{[a,x_1)}(x)+f(x_2)\bold1_{[x_1,x_2)}(x)+
\dots+f(b)\bold1_{[x_{N-1},b]}(x)\\
\psi(x)=f(a)\bold1_{[a,x_1)}(x)+f(x_1)\bold1_{[x_1,x_2)}(x)+
\dots+f(x_{N-1})\bold1_{[x_{N-1},b]}(x).
\endgather
$$
Poniewa� funkcja $f$ jest niemalej�ca, wi�c dla $x\in[x_k,x_{k+1})$
$$
\psi(x)=f(x_k)\xleq f(x)\xleq f(x_{k+1})=\varphi(x)\quad\text{czyli}\quad\psi(x)\xleq
f(x)\xleq\varphi(x),
$$
czyli
$$
\gather
\int_a^b\varphi(x) dx = \frac{b-a}{N}\left(
f(x_1)+f(x_2)+\dots+f(b)\right),\\
\int_a^b\psi(x) dx = \frac{b-a}{N}\left( f(a)+f(x_1)+\dots+f(x_{N-
1})\right),
\endgather
$$
sk�d
$$
\int_a^b\varphi(x) dx -\int_a^b\psi(x) dx=\frac{b-a}{N}(f(b)-f(a)).
$$
Wynika st�d, �e poniewa�
$$
\int_a^b \psi(x) dx \xleq \int_a^b f(x)
dx\xleq \int_a^b\varphi(x) dx
$$
mamy
$$
\left|\int_a^b\varphi(x) dx -\int_a^bf(x) dx\right| \xleq
\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{N}.
$$
\medskip

13.11. Przyk�ady. (a) Obliczymy $\int_0^{0,5}(1+x^2)dx$ z
dok�adno�ci� $0,03$.
\roster
\item Poniewa�  $b-a = 0,5$, $f(b)-f(a)= 1,25 -1=0,25$, wi�c
$(b-a)(f(b)-f(a))=0,125$. Aby otrzyma� b��d mniejszy
ni� $0,03$ musimy wzi�� $N$ takie aby $\frac{0,125}{N}<0,03$.
Bierzemy $N=5$, i dzielimy $[0,\ 0,5]$ na 5 podprzedzia��w jednakowej d�ugo�ci
\item Tworzymy tablic� warto�ci $f$:
$$
\matrix x&0&0,1&0,2&0,3&0,4&0,5\\
f(x)&1&1,01&1,04&1,09&1,16&1,25
\endmatrix
$$
\item Obliczamy ca�k� funkcji prostej $\varphi$:
$$
\int\varphi(x) dx=0,1\cdot\left(1,01+1,04+1,09+1,16+1,25\right)=0,555.
$$
Dok�adna warto�� naszej ca�ki wynosi: $\int_0^{0,5}(1+x^2) dx
=0,541(6)$.
\endroster
\noindent (b) Wykres funkcji $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ dla $-1\xleq
x\xleq 1$ jest zbiorem punkt�w $(x,y)$ takich, �e $x^2+y^2=1$, $y\xge0$.
Jest to wi�c g�rna
po��wka okr�gu. Pole pod tym okr�giem jest polem po��wki
ko�a. Poniewa� $f$ jest rosn�ca w przedziale $[-1,0]$ i
malej�ca
w przedziale $[0,1]$ dla przybli�onego obliczenia ca�ki
$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2} dx$ rozdzielamy j� na $\int_{-
1}^0\sqrt{1-x^2} dx$ oraz  $\int_{0}^1\sqrt{1-x^2} dx$, kt�re s�,
ze wzgl�du na symetri�, r�wne. Obliczymy pierwsz� ca�k� $\int_{-1}^0\sqrt{1-x^2} dx$
z dok�adno�ci� do $0,11$, i pomno�ymy j� przez 2.
\roster
\item Poniewa� $(b-a)|f(b)-f(a)| =1$, wi�c bierzemy $N=10$.
\item Tworzymy tablic�
$$
\matrix x&  &-1&-0,9&-0,8&-0,7&-0,6&-0,5&-0,4&-0,3&-0,2&-0,1&0\\
f(x)&&0&0,436&0,6&0,715&0,8&0,867&0,917&0,954&0,980&0,9
95&1
\endmatrix \tag13.12
$$
\item Obliczamy
$$
\gather
\int_{-1}^0\varphi(x) dx =
\frac{1}{10}(0,436+0,6+0,715+0,8+0,867+0,917+0,954+0,980+0,995+1)
=0,8264\\
\int_{-1}^0\psi(x) dx
=\frac{1}{10}(0+0,435+0,6+0,714+0,8+0,866+0,916+0,953+0,979+0,99
4)=0,7257
\endgather
$$
Widzimy, �e $0,7257\xleq \int_{-1}^0\sqrt{1-x^2}\xleq 0,8264$.
Pami�tamy ze szko�y, �e pole �wiartki ko�a o promieniu 1 wynosi
$\frac{\pi}{4}=0,785...$.
\endroster
\enddocument
