\magnification=1200
\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 25.\\
\\
Szeregi
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip
\item{c25.1} Znale�� szereg, kt�rego $n$-ta suma cz�ciowa
jest r�wna: (a) $\frac{n}{n+1}$, (b) $\frac{2^n}{n!}$.

\item{c25.2} Znale�� $n$-ty wielomian Taylora $P_n(x)$ funkcji
$f$ w punkcie $x_0$ i znale�� szereg $\sum_{j=0}^\infty  a_j$, kt�rego $n$-ta
suma cz�ciowa jest r�wna $P_n(x)$. Czy znaleziony szereg jest zbie�ny w ka�dym punkcie?
\newline (a) $f(x) = e^{x^2},\ x_0=0$, (b) $f(x)=\cos x^3,\ x_0=0$.

\item{c25.3} Rozstrzygn��, kt�ry z podanych szereg�w jest
zbie�ny, a kt�ry rozbie�ny:
\newline (a) $\sum_{n=1}^\infty \frac{n+1}{2n-1}$,
(b) $\sum_{n=1}^\infty  \big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\big)$,
(c) $\sum_{n=1}^\infty \big(\sin\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n+1}\big)$.


\item{c25.4} Kt�ry z podanych ni�ej szereg�w jest zbie�ny, a
kt�ry rozbie�ny. W przypadku szeregu zbie�nego znale�� jego
sum�: (a) $\sum_{n=0}^\infty  (10^{-n}+9^{-n})$, (b) $\sum_{n=0}^\infty  (10^{-n}+2^{n})$,
\newline (c) $\sum_{n=0}^\infty  |x|^{n/3},\ |x|<1$,
(d) $\sum_{j=0}^\infty  (-1)^j t^{j/2},\ 0\xleq t<1$,
(e) $\sum_{n=1}^\infty  nz^n,\ |z|<1$,
\newline (f) $\sum_{n=0}^\infty  u^n(1+u^n),\ |u|<1$,
(g) $ \sum_{j=0}^\infty x^j\cos\frac{j\pi}{2},\ |x|<1$, (h) $\sum_{n=0}^\infty  \sin^{2n} x,\
|x|<\frac{\pi}{2}$.

\head Zadania\endhead

\item{z25.1} Znale�� $n$-ty wielomian Taylora $P_n(x)$ funkcji
$f$ w punkcie $x_0$ i znale�� szereg $\sum_{j=0}^\infty  a_j$, kt�rego $n$-ta
suma cz�ciowa jest r�wna $P_n(x)$
\newline (a) $f(x)=\frac{1}{\sqrt x}\ x_0=1$,
\newline (b) $f(x) = x^{-1/3},\ x_0=1$,
\newline (c) $f(x) =\frac{1}{\sqrt {2-x}},\ x_0=1.$

\item{z25.2} Kt�ry z podanych ni�ej szereg�w jest zbie�ny, a
kt�ry rozbie�ny. W przypadku szeregu zbie�nego znale�� jego
sum�: (a) $\sum_{j=1}^\infty \frac{j}{\sin j}$,
\newline (b) $\sum_{n=0}^\infty  \cos\frac{n\pi}{2}$,
\newline (c) $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\log\frac{n}{n+2}$, {\bf Wskaz�wka:} Zapisa�
$\log\frac{n}{n+2}=\log\frac{n}{n+1}+\log\frac{n+1}{n+2}$,
\newline (d) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$.

\item{z25.3} U�ywaj�c test�w na zbie�no�� szereg�w zbada�
zbie�no�� nast�puj�cych szereg�w:
\newline (a) $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos^2 n}{2^n}$,
(b) $\sum_{j=1}^\infty  \frac{2+\cos j}{j}$,
(c) $ \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{3^j-\sin j}$,
(d) $\sum_{n=0}^\infty  \frac{\log(n+1)}{2^n}$,
\newline (e) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!-n}$,
(f) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+2)\log(n+2)}$
(g) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+2)(\log(n+2))^2}$,
(h) $\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n^2}$,
\newline (i) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+2)\log^\l(n+2)}\quad\l>0$ (rozwi�zanie zale�y od $\l$),
(j) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1\cdot3\cdot \dots\cdot(2n+1)}{2\cdot4\cdot
\dots\cdot(2n+2)}$,
\newline (k) $\sum_{n=0}^\infty \frac{1\cdot3\cdot \dots\cdot(2n+1)}{2\cdot7\cdot \dots\cdot(3n+2)}$,
(l) $\sum_{n=0}^\infty \frac{e^n}{n!}$,
(m) $\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{n+1}\arctg (n+1)$,
(n) $\sum_{n=0}^\infty  \frac{n!}{(n+1)^{n+1}}$.


\item{z25.4} Kt�re z podanych szereg�w s� zbie�ne, kt�re bezwzgl�dnie zbie�ne, a kt�re rozbie�ne:
\newline (a) $\sum_{n=0}^\infty  p^n\quad |p|<1$,
(b) $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}$,
(c) $\sum_{n=0}^\infty  \frac{(-1)^n}{(n+1)^{3/2}}$,
(d) $\sum_{n=0}^\infty \frac{\cos n}{2^n}$,
\newline (e) $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2-n}$,
(f) $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n\log n}$,
(g) $\sum_{n=2}^\infty\frac{(-1)^n}{n\log^2 n}$.
\enddocument
