\hsize 160 truemm \vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\def\li{\lim_{n\to+\infty}}
\document
\nologo \NoBlackBoxes \head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 24.\\
\\
Ci�gi, szeregi
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip
\item{c24.1} Udowodni�: (a) $\forall_n\quad a_n\xgeq M\rightarrow\li
a_n\xgeq
M$,
\newline (b) ci�g $a_n $, gdzie $a_n=2+\frac{1}{n}$ spe�nia
warunek Cauchy'ego
\newline (c) je�li ci�g $\alpha_n$ jest malej�cy i ograniczony,
to jest zbie�ny,
\newline (d) je�li wszystkie wyrazy ci�gu $\alpha_n$ s�
wi�ksze od zera i ci�g jest nierosn�cy, to jest zbie�ny i
jego granica jest nieujemna.

\item{c24.2} Poda� przyk�ad  (a) ci�gu, kt�ry jest ograniczony i nie jest zbie�ny,
\newline (b)  ci�gu, kt�ry jest ograniczony, nie jest zbie�ny i ma
podci�g zbie�ny do zera,
\newline (d) funkcji, kt�rej zbi�r warto�ci $A$ na przedziale $(0,1)$ jest ograniczony,
ale nie ma punktu $a\in(0,1)$ takiego, �e $f(a)=\sup A$.

\item{c24.3} Znale�� ci�g rosn�cy $\alpha_n$,
taki, �e $\li \cos(a_n)=1$.


\item{c24.4} Udowodni�, �e $\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{1}{2k+1}=\frac{\pi}{4}$.

\item{c24.5} (a) Udowodni�, �e szereg $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt
k}$ nie jest zbie�ny.
\newline (b) Korzystaj�c ze wzoru Taylora udowodni�, �e szereg
$\sum_{k=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ jest zbie�ny.

\head Zadania\endhead

\item{z24.1} Udowodni�, �e funkcja ci�g�a na przedziale
domkni�tym przyjmuje swoje minimum.

\item{z24.2} Udowodni�, �e szereg $\sum_{k=0}^\infty x^k$ jest
zbie�ny dla $|x|<1$. Obliczy� $\sum_{k=0}^\infty (1/2)^k$.

\item{z24.3} Czy istnieje ci�g $\{a_n\}$ taki, �e (poda�
przyk�ad lub dowie��, �e nie istnieje):
(a) $a_n >\frac{1}{n}$ dla niesko�czenie wielu $n$, $\forall_{n\in \bold N}\quad a_n>0$,
szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbie�ny.
\newline (b)  $a_n= \frac{1}{2^n}$ dla niesko�czenie wielu $n$,
$\sum_{n=1}^\infty a_n $ jest zbie�ny.
\newline (c) $\forall_{n\in \bold N}\quad a_{n^2}=1/n$,
 $\sum_{n=1}^\infty a_n=0$.
\newline (d) $\forall_{n\in \bold N}\quad a_n\in \bold Z$,
$a_n=n$ dla $n\xleq 100$, szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbie�ny.
\newline (e) Szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbie�ny, szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$
jest rozbie�ny

\item{z24.4}  Udowodni�, �e je�li szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest
zbie�ny, to $\li a_n =0$.
\enddocument
