\hsize 160 truemm
\vsize 247 truemm
\def\arctg{\text{\rm arctg}\,}
\def\ctg{\text{\rm ctg}\,}
\def\tg{\text{\rm tg}\,}
\document
\nologo
\NoBlackBoxes
\head {\bf Wyk�ad z analizy}\\
\\
Tydzie� 21.\\
\\
Wz�r Taylora
\endhead

\medskip
\head �wiczenia
\endhead

\medskip

\item{c21.1} (a) Niech $F(x) =2x+1$, $G(x)=3x-4$, znale��
wszystkie liczby
$\xi$ , $1<\xi<3$ takie, �e
\newline$\frac{F(3)-F(2)}
{G(3)-G(2)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$,
\newline (b) Niech $F(x)=1/x$,
$G(x)=x^2$, znale�� wszystkie liczby $\xi$ , $1<\xi<2$ takie, �e
$\frac{F(2)-F(1)}{G(2)-G(1)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$,
\newline (c) Niech $F(x) =\log x$, $G(x)=1/x$, znale�� wszystkie liczby $\xi$ ,
$1<\xi<e$ takie, �e $\frac{F(e)-F(1)}{G(e)-G(1)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$,
\newline (d) Niech $F(x) =\sqrt{x^2+9}$,
$G(x)=x^2+1$, znale�� wszystkie liczby $\xi$ , $0<\xi<4$ takie, �e
\newline $\frac{F(4)-F(0)}{G(4)-G(0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}$.

\item{c21.2} U�ywaj�c liniowej aproksymacji znale�� przybli�one warto�ci i
oszacowa� b��d:
\newline (a) $\sqrt{50}$, (b) $\log (0,98)$, (c) $\cos(0,01)$, (d) $e^{-0,01}$.

\item{c21.3}  Dla funkcji podanych poni�ej znale�� wszystkie warto�ci $\xi$
pomi�dzy $x_0$ i $x_1$ takie, �e
$$
f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)+\frac12 f''(\xi)(x_1-x_0)^2.
$$
\newline (a) $f(x)=x^3,\ x_0=1,\ x_1=1/2$,
\newline (b) $f(x)=1/x,\ x_0=1,\ x_1=1/8$,
\newline (c) $f(x)=\log x,\ x_0=1,\ x_1=e$.

\item{c21.4} U�ywaj�c przybli�enia wielomianem kwadratowym
znale�� warto�ci i oszacowa� b��d:
\newline (a) $\sqrt{50}$, (b) $(0,025)^{1/3}$, (c) $\cos(0,01)$, (d) $e^{-0,01}$.

\item{c21.5} (a) Znale�� trzeci wielomian Taylora funkcji $x\to1/(1+x)$ w punkcie $x_0=0$,
\newline (b) Znale�� czwarty wielomian Taylora funkcji $x\to (1+x)^{4/3}$ w punkcie $x_0=0$,
\newline (c) Znale�� czwarty wielomian Taylora funkcji $x\to\cos x$ w punkcie $x_0=0$.

\head Zadania\endhead

\item{z21.1} Dla funkcji podanych poni�ej znale��
warto�ci $\xi$ pomi�dzy $x_0$ i $x_1$ takie, �e
$$
f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)+\frac12 f''(x_0)(x_1-x_0)^2+\frac{1}{6}f'''(\xi)(x_1-x_0)^3.
$$
(a) $f(x)=x^3,\ x_0=1,\  x_1=\frac12$,
\newline (b) $f(x)=\frac{1}{x},\ x_0=1,\ x_1=\frac{1}{8}$,
\newline (c) $f(x)=\log x,\ x_0=1,\ x_1=e$.

\item{z21.2} (a) Znale�� trzeci wielomian Taylora funkcji
$x\to\log(x^2+1)$ w punkcie $x_0=0$,
\newline (b) Znale�� czwarty
wielomian Taylora funkcji $x\to\log^2x$ w punkcie $x_0=1$,
\newline (c) Znale�� trzydziesty pierwszy wielomian Taylora funkcji
$x\to\int_0^x\arctg u^{10} du$ w punkcie $x_0=0$.

\item{z21.3} Oszacowa� warto�� bezwzgl�dn� reszty we wzorze Taylora
$R(x) = f(x)- P(x)$.
\newline (a) $f(x) = x^4$, $P(x)$ jest trzecim wielomianem Taylora w punkcie
$x_0=0$, $x=1/2$,
\newline (b) $f(x) = x^{13/3}$, $P(x)$ jest
trzecim wielomianem Taylora w punkcie $x_0=0$, $x=1/2$,
\newline (c) $f(x) = \cos x$, $P(x)$ jest pi�tym wielomianem Taylora w
punkcie $x_0=\pi/2$, $3\pi/8\xleq x\xleq 5\pi/8$,
\newline (d) $f(x) = \arctg x$, $P(x)$ jest trzecim wielomianem Taylora w
punkcie $x_0=0$, $-1/2\xleq x\xleq 1/2$.
\enddocument
